ABC207:D - Congruence Points #几何# #数学#
题目
https://atcoder.jp/contests/abc207/tasks/abc207_d
大意:给定两个二维平面,各有(n)个点,问,第一个平面上的点经过若干次整体平移或整体旋转(任意角度),能否和第二个平面的点重合
横纵坐标范围:([-10,10]),(n)范围:([1,100]),均为整数
思路
前置知识
已知坐标求角度
坐标为((x,y))调用atan2(y,x)
可求得 (该点与原点连线) 与(x)轴所成角
绕原点旋转坐标变化
高一以下学历慎入
设(A)坐标为((x,y)),((rcdot cos alpha , rcdot sin alpha)),则(cos alpha=frac{x}{r},sin alpha = frac{y}{r}),设(A)逆时针旋转(eta)得到(B),则(B(rcdot cos (alpha-eta) , rcdot sin (alpha-eta) ))
[egin{align}
rcdot cos(alpha -eta) &=rcdot (cosalphacdot cos eta+sin alpha cdot cos eta) \
&=rcdot (frac{x}{r} cdot cos eta+frac yr cdot sin eta) \
&=x cdot cos eta+y cdot sin eta\
end{align}
]
同理,
[egin{align}
rcdot sin(alpha -eta) &=rcdot (sinalphacdot cos eta-cos alpha cdot sin eta) \
&=rcdot (frac yr cdot cos eta-frac xr cdot sin eta) \
&=y cdot cos eta-x cdot sin eta\
end{align}
]
所以,用(x,y)表示(B)为((x cdot cos eta+y cdot sin eta , y cdot cos eta-x cdot sin eta))
二维平面点的重心
定义(n)个点,坐标依次((x_i,y_i)),它们的重心为
[(frac{ sum^n_{i=1}x_i} {n} , frac{ sum^n_{i=1}y_i} {n})
]
若每个点坐标变为((x_i+a,y_i+b)),则重心坐标变为:
[(frac{ sum^n_{i=1}x_i} {n}+a , frac{ sum^n_{i=1}y_i} {n}+b)
]
正式思路
我们可以通过平移,将两个平面的点的重心都放到原点上.这样,我们就不用考虑原题平移的问题了.
所以,我们只需判断是否旋转重合,复杂度要求不高,直接枚举对应点即可
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define N 110
#define eps 1e-6
#define sqr(_) ((_) * (_))
bool equ(double _ , double __) {return fabs((_) - (__)) < eps;}
int n;
double a[N] , b[N] , c[N] , d[N];
void input(double *x , double *y) {
double gx , gy;
gx = gy = 0;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
cin >> x[i] >> y[i];
gx += x[i] , gy += y[i];
}
gx /= (double)n , gy /= (double)n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
x[i] -= gx , y[i] -= gy;//平移
}
}
int main() {
cin >> n;
input(a , b);
input(c , d);
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)//必须保证(a[1],b[1])不在原点(否则角度为0,无意义)
if(a[i] != 0 || b[i] != 0) {
swap(a[1] , a[i]);
swap(b[1] , b[i]);
break;
}
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
if(equ(sqr(a[1]) + sqr(b[1]) , sqr(c[i]) + sqr(d[i])) == false) continue;//若A能绕原点旋转B,它们到原点的距离一定相等
double angle = atan2(b[1] , a[1]) - atan2(d[i] , c[i]);//旋转角
int cnt = 0;
for(int j = 1 ; j <= n ; j++) {
double x , y;
x = a[j] * cos(angle) + b[j] * sin(angle);//旋转变换
y = b[j] * cos(angle) - a[j] * sin(angle);
for(int k = 1 ; k <= n ; k++) {
if(equ(x , c[k]) && equ(y , d[k]))
++cnt;//没有重合点,直接这样就可以了
}
}
if(cnt == n) {
puts("Yes");
return 0;
}
}
puts("No");
return 0;
}