动态规划入门一：钢条切割问题

问题：

求解一个钢条如何切割钢条的简单问题。
给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1, 2, ..., n)，求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。注意，如果长度为n英寸的钢条的价格pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割。

输入：

长度i | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
价格pi | 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30

输出：

切割方案。

解析思路详见算法导论：p205

#define N 11
// recursive    (O(2^n))
int cut_rod_recursive(int *p, int n)
{
	if (n == 0)
		return 0;
	int q = -9999;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		q = max(q, p[i] + cut_rod_recursive(p, n - i));
	return q;
}

// BOTTOM-UP-CUT-ROD(p,n)   (O(n^2))
int cut_rod_bottom_up(int *p, int n)
{
	int r[N] = { 0 };
	for (int j = 1; j <= n; ++j) {
		int q = -9999;
		for (int i = 1; i <= j; ++i)
			q = max(q, p[i] + r[j - i]);
		r[j] = q;
	}
	return r[n];
}

int main(void)
{
	int p[11] = {0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30 };

	for (int i = 0; i < 11; ++i) {
		//cout << "i:" << i << " ri:" << cut_rod_recursive(p, i) << endl;
		cout << "i:" << i << " ri:" << cut_rod_bottom_up(p, i) << endl;
	}
	

	return 0;
}

Reference：
《算法导论》原书第3版中文版 第15章动态规划