不同路径(一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。 问总共有多少条不同的路径？)

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
　　从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

下面我们先说用递归如何解决此题：

/**
     * 
     * @param m
     * @param n
     * @return
     * 
     * 递归方法：根据题意我们可以分析得出，计F(m,n)为到达横坐标为m,纵坐标为n的路径数，则
     * F(m,n) = F(m-1,n) + F(m,n-1) 
     * 当m = 1,n = 1时，此时就是起始位置，直接返回1;
     * 当m = 1 时，n为任意值时，则F(1,n) = F(1,n - 1)
     * 当n = 1 时，m为任意值，则F(m,1) = F(m - 1,1)
     * 
     */

    public static int rec_uniquePaths(int m,int n) {
        if(m == 1 && n == 1) return 1;
        if(m == 1) return rec_uniquePaths(m, n - 1);
        if(n == 1) return rec_uniquePaths(m - 1, n);
        return rec_uniquePaths(m-1, n) + rec_uniquePaths(m, n - 1);
    }

递归法,数据如果大的话，重复计算的数据很多，导致编译器崩溃，一般不建议使用递归

下面我们来说用动态规划来如何解？

/**
     * 
     * @param m
     * @param n
     * @return
     * 
     * 动态规划：我们可以定义二维数组arr，横坐标为m，纵坐标为n
     * 根据题意，我们令arr[0][0] = 1,arr[0][j] = 1,arr[i][0] = 1,其中0<i<m,0<j<n
     * arr[i][j] = arr[i-1][j] + arr[i][j - 1]
     * 最后直接返回二维数组最后一个数组
     */
    //动态规划方法
    public static long dp_uniquePaths(int m,int n) {
        if(m == 1 || n == 1) return 1;
        long[][] arr = new long[m][n];
        arr[0][0] = 1;
        for(int i = 1;i<m;i++) {
            for(int j = 1;j<n;j++) {
                if(i - 1 == 0 ) {
                    arr[i - 1][j] = 1;
                }
                if(j - 1 == 0) {
                    arr[i][j - 1] = 1;
                }
                arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i][j - 1];
            }
        }
        return arr[m-1][n-1];
    }