我恨数论
因为打这篇的时候以为a|b是a是b的倍数，但是懒得改了，索性定义 a|b 为 a是b的倍数
咳咳，那么进入正题，如何证明gcd，也就是 gcd(a,b) = gcd(b,a%b)？
首先，设
p = a/b,c = a mod b
则a = p*b + c
m = gcd(a,b),n = gcd(b,c)
因为m = gcd(a,b)，所以 a | m 且 b | m
因为 b | m
所以 b * p | m // a|b，则a*k|b (k为整数)
因为a | m
所以a - b * p | m // a|b，则k*b - a | b (k为整数)
因为 a = p*b + c
所以 c = a - p*b
所以 c | m
因为c | m，且b | m
所以m为 c,b的公约数
因为n为 c,b的最大公约数
所以m <= n
因为n = gcd(b,c)
所以 b | n , c | n
因为 b | n
所以 b * p | n
因为 c | n
所以 b * p + c | n
因为 a = b * p + c
所以a | n
因为a | n,且 b | n
则n为a,b的公约数
因为m为a,b的最大公约数
所以 n <= m
因为m <= n
所以m = n
所以gcd(a,b) = gcd(b,c)
所以gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
整体思路是：
先设出一个关系，然后通过关系证明它们的另一个关系
从gcd(a,b)转换得到b,c是公约数关系，
从gcd(b,c)转换得到a,b是公约数关系，
分别得到它们的大小关系，最后求公共解集，得到两个gcd相等
然后把c带上去，得到我们要证的式子
证完了gcd，下面可以证exgcd
exgcd 可以求
ax + by = gcd(a,b) 中的x,y
那么，我们设
ax1 + by1 = gcd(a,b)
由gcd得出
ax1 + by1 = gcd(b,a mod b)
设bx2 + a mod b y2 = gcd(b,a mod b)
下面用x2开始化简：
gcd(b, a mod b) = b * x2 + a mod b *y2
gcd(b, a mod b) = b * x2 + (a - floor(a/b) * b) * y2
gcd(b, a mod b) = b * x2 + a * y2 - floor(a/b) * b * y2
gcd(b, a mod b) = a * y2 + b * x2 - floor(a/b) * b * y2
gcd(b, a mod b) = a * y2 + b * (x2 - floor(a/b) * y2)
所以
ax1 + by1 = gcd(b, a mod b) = bx2 + a mod b y2 = a * y2 + b * (x2 - floor(a/b) * y2)
所以第一个式子与最后一个式子等量代换得到
x1 = y2
y1 = x2 - floor(a/b) * y2
然后可以通过以上等价式子写出递归，得到x1、y1。