【数据结构】树状数组

树状数组主要用于解决查询修改等区间操作的问题。

其实它也是线段树的一部分：线段树能做的，树状数组不一定能做；树状数组能做的，线段树一定能做（可能会比较慢）。

那么，树状数组的优点：

1.代码简洁好记。

2.由于使用位运算，跑得快。

当然也有缺点：

1.相对来说难以理解。

2.解决问题的广度不如线段树。

这个算法到底是怎样的？

树状数组的核心是lowbit。

lowbit是一个函数，lowbit(x)代表着x的二进制中从右往左数第一个1以及1之后的0组成的二进制数。

lowbit可以用简单的一行代码实现：

lowbit(x) = x*(-x)

至于具体原理，在此不表。

我们利用lowbit来将一个数组分成许多块，每一块维护着这个区间的信息。（分块？）

这里有一张图：

其中，红色线左边的棕色线代表这个元素维护的区间（块）。

比如，1的二进制是1，那么 lowbit(1) = 1，于是它维护 1 这个区间。

比如，4的二进制是100，那么 lowbit(4) = 4，于是它维护 1~4 这个区间。

比如，6的二进制是110，那么 lowbit(6) = 2，于是它维护 4~6这个区间。

  . . . . . .

发现两个小规律：单数总是维护长度为1的块。原因也很简单，因为单数的二进制最右边一位永远是1，因此它们维护的长度也是1 。

而2的次方维护的总是以它自身为长度的区间，原因也很简单，因为2的次方在二进制中意味着最高一位是1，其余全是0 。

所以，形如1000000···这样的二进制，代表了从前往后到这个数所有元素，而1100000···代表了它的一半，1010000···则代表了它的1/4，以此类推，1000···1正好是个单数，维护了最小的区间，然后在它之上的1000···10则维护这个数本身和1000···1 。对半维护区间，是不是让你想起了线段树？而线段树是一个二叉树，意味着树状数组也是一个二叉树。只要画出它的右儿子，整棵树正是一棵二叉树：

 

蓝线是加上的右儿子。

因此，树状数组相对于线段树减少了一半的空间。

那么我们看代码：

代码:

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=99999999;
const int MAXN=500002;
inline int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
int n,m;
int a[MAXN];
int t[MAXN*4];
void add(int p,int x){
    for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)){
        //将之后的数组也更新,所以是+=lowbit
        t[i]+=x;
    }
}
int query(int p){
    int re=0;
    for(int i=p;i>0;i-=lowbit(i)){
        //查询从起始到p的和
        re+=t[i];
    }
    return re;
}
int main()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //枚举每一个输入
        for(int j=i-lowbit(i)+1;j<=i;j++){
            //从比i小lowbit(i)的地方(这里要+1,至于为什么 反正这样写是对的)
            t[i]+=a[j];
            //构造数组
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        if(a==1){
            add(b,c);
        }
        if(a==2){
            cout<<query(c)-query(b-1)<<endl;
            // 从后面-前面的,但是注意一定减后面的时候要-1
            // 举个例子,从1到1,如果是query(1)-query(1)的话就是0了
        }
    }
    return 0;
}

1.单点加入

void add(int p,int x){
	for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)){
		t[i]+=x;
	}
}

　注意从编号开始，是每次+=lowbit(i)操作。另外，t[i]是+=而不是=。

之所以每次加上lowbit能够“到达”下一个区间，原因在于树状数组本质上是一个二叉树。我们知道lowbit(i)代表这个元素维护的区间长度，加上自己为什么就能到达下一个区间呢？

原因是树状数组是一个左右相等的二叉树（不知道怎么说，原谅我的不严谨），所以左儿子加上它自己相当于到达了它的父亲。它的父亲维护两倍于它的区间。 

2.区间查询

int query(int p){
	int re=0;
	for(int i=p;i>0;i-=lowbit(i)){
		re+=t[i];
	}
	return re;
}

　　注意从p~1,是每次-=lowbit(i)。

从最右边往前跳。这里也可以使用 i != 0，原因是每次减去自身区间长度，最后一定会到达第0个元素。这是我们已经统计完毕，可以退出了。

3.初始化

for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i-lowbit(i)+1;j<=i;j++){
			t[i]+=a[j];
		}
	}

　　注意从i-lowbit(i)+1开始，j<=i；t[i]是+=。（i枚举每一个未处理的线性元素）

对于每一个区间加上区间加上其中的元素。

4.别忘了lowbit

inline int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

　　这里使用内联函数（inline）会更好。

5.求区间值

求a到b的区间和的时候注意应该是query(b)-query(a-1)

query(b)-query(a-1)