答复：“判断一个整数的二进制位中有多少个1”的提问

朋友发来了一个链接，看来原来是很久之前写的一篇关于“判断一个整数的二进制位中有多少个1”的Blog，yjdlut问了关于第三种判断方法的原理。这里先把原文中的第三种方法列出来：
     循环： x = x & ( x - 1 ); count++; 直到x为0为止。该方法的时间复杂度是O(m)

在此，不妨把x的二进制位表示为
          x=a_n-1a_n-2...a_0。
按从低位到高位的顺序，不失一般性，假设x的第i位为第一个为1的二进制位，即：a_i=1。此时有：
          x       =a_n-1a_n-2...a_i+1100...0              <1>
         (x-1)  =a_n-1a_n-2...a_i+1011...1              <2>
很明显，从式1和式2可以得出，在第一次 x & (x-1) 后：
          x=a_n-1a_n-2...a_i+1000...0
之后重复同样操作，直到x的二进制位中没有1为止
从上面可以看出，每执行过一次 x & (x-1) 后，都会将x的二进制位中为1的最低位的值变为0，并记数加1。
目前而言，一个整数最大64bit，所有三种方法执行起来都可以认为是0(1)。