【C/C++】实现龙贝格算法

1. 复化梯形法公式以及递推化

复化梯形法是一种有效改善求积公式精度的方法。将[a,b]区间n等分，步长h = (b-a)/n，分点x_k = a + kh。复化求积公式就是将这n等分的每一个小区间进行常规的梯形法求积，再将这n的小区间累加求和。 公式如下：

 

使用复化梯形法积分时，可以将此过程递推化，以更方便的使用计算机实现。设积分区间[a,b]，将此区间n等分，则等分点共有n+1个，使用复化梯形积分求得T_n。进行二分，二分结果记为T_2n，则有：

 

2. 龙贝格积分公式

龙贝格积分实际上是提高收敛速度的一种算法。由于复化梯形法步长减半后误差减少至 ，即有：

 

 

整理得：

 

 

根据此思路，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这就是龙贝格算法，加工算法流程如下：

实现：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std; 
int Rk=0;
int Tk=0;
double fx(double x)   //被积函数
{
    //if(x==0.0)return 1.0;
    return 3*x*x*x+2*x*x+1 + sin(x);
}
double getReal(double a,double b){
    double r1 = 3.0/4.0 * b*b*b*b + 2.0/3.0*b*b*b + b - cos(b);
    double r2 = 3.0/4.0 * a*a*a*a + 2.0/3.0*a*a*a + a - cos(a);
    return r1 - r2;
}
double getS(double a,double b,double h)
{
    double res=0.0;
    for(double i=a+h/2.0; i<b; i+=h){
        res+=fx(i);    
    }
        
    return res;
}
double Romberg(double a,double b,double e)
{
    int k=1;
    double T1,T2,S1,S2,C1,C2,R1,R2;
    double h=b-a;
    double s;
    T1=(fx(a)+fx(b))*h/2.0;
    int counter=0;
    while(1)
    {
        Rk++;
        counter++;
        s=getS(a,b,h);
        T2=(T1+h*s)/2.0;
        S2=(4.0*T2-T1)/3.0;
        h/=2.0;
        T1=T2;
        S1=S2;
        C1=C2;
        R1=R2;
        if(k==1)
        {
            k++;
            continue;
        }
        C2=(16.0*S2-S1)/15.0;
        if(k==2)
        {
            k++;
            continue;
        }
        R2=(64.0*C2-C1)/63.0;
        if(k==3)
        {
            k++;
            continue;
        }
        if(fabs(R1-R2)<e||counter>=100)break;
    }
    return R2;
}
double Tn(double a,double b,double e)
{
    double T1,T2;
    double h=b-a;
    T1=(fx(a)+fx(b))*h/2.0;
    while(1)
    {
        Tk++;
        double s=getS(a,b,h);
        T2=(T1+h*s)/2.0;
        if(fabs(T2-T1)<e)break;
        h/=2.0;
        T1=T2;
    }
    return T2;
}
int main()
{
    double a,b,e;
    printf("输入积分限和精度： a b e:");
    //输入区间[a,b],和精度e
    scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&e);
    double t=Romberg(a,b,e);
    //分别输出龙贝格算法和梯形法的计算结果和相应二分次数
    printf("
Romberg:积分值：%.7lf  --  二分次数：%d
",t,Rk);
    t=Tn(a,b,e);
    printf("     Tn:积分值：%.7lf  --  二分次数：%d
",t,Tk);
    double tf = getReal(a,b);
    printf("    Real:%.7lf",tf);
    return 0;
}