欧拉函数及代码实现

对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质，特殊的（φ(1)=1）。

1.根据欧拉函数公式：euler(x) = x*(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pn),p为x的质因数。用公式法求解代码

 int euler(int n){    
     int res=n,a=n;  
     for(int i=2;i*i<=a;i++){  
         if(a%i==0){  
             res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
             while(a%i==0) a/=i;  
         }  
     }  
     if(a>1) res=res/a*(a-1);  
     return res;  
}  

2.O(n^2)的筛法：

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
int phi[N];
void Euler(){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(!phi[i]){
            for(int j = i; j < N; j += i){
                if(!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i-1);
            }
        }
    }
}
int main(){
    Euler();
}

3.线性筛法（最快）：

#include<iostream>    
#include<cstdio>    
#define N 40000    
using namespace std;    
int n;    
int phi[N+10],prime[N+10],tot,ans;    
bool mark[N+10];    
void getphi()    
{    
   int i,j;    
   phi[1]=1;    
   for(i=2;i<=N;i++)//相当于分解质因式的逆过程    
   {    
       if(!mark[i])    
           {    
             prime[++tot]=i;//筛素数的时候首先会判断i是否是素数。    
             phi[i]=i-1;//当 i 是素数时 phi[i]=i-1    
             }    
       for(j=1;j<=tot;j++)    
       {    
          if(i*prime[j]>N)  break;    
          mark[i*prime[j]]=1;//确定i*prime[j]不是素数    
          if(i%prime[j]==0)//接着我们会看prime[j]是否是i的约数    
          {    
             phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;    
          }    
          else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其实这里prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了欧拉函数的积性    
       }    
   }    
}    
int main()    
{    
    getphi();    
}