【正睿2019暑假集训】正睿889 小D与计算

task1

相当于要把第一位取反。可以先把寄存器(1)取反，放到寄存器(2)。然后对寄存器(2)，先左移(63)位，再右移(63)位。利用自然溢出，就相当于只保留了最低位。

需要(3)次操作。

task2

考虑三个寄存器(x), (y), (z)。当我们说，对(x), (y), (z)进行“计算”时，表示的其实是对这三个寄存器里对应的值操作。

我们要求出(x+y)（也就是编号为(x)的寄存器和编号为(y)的寄存器里对应的值相加）。

先考虑不进位的加法，也就是异或。先令(z:=xoperatorname{xor}y)。然后再考虑进位的部分，它等于((xoperatorname{and}y)ll 1)。令(y:=(xoperatorname{and}y)ll 1)。我们惊喜地发现，问题就转化为了(y)和(z)的加法！并且，每次(y)一定会左移(1)位，那么至多(64)次之后，(y)就会变成(0)，此时加法就完成了！

每轮操作，根据当前轮数的奇偶性不同，考虑是用(x+y)还是(z+y)。相当于每隔一轮，(x), (z)这两个编号的含义会交换一下。这样的好处是避免了每一轮结束时我强行set x z，这样就多一次操作了。因为总轮数(64)是一个偶数，你会发现，最终答案一定存储在(z)的位置。

因为每轮需要用到xor, and, shl共三次操作，所以总共用到(3 imes64=192)次操作。实际可能更多或更少（例如最后一次左移可以不做）。

task3

依次考虑每一位（每次左移(1)位，再(operatorname{and} 1)。这个(1)可以提前预处理好，方法是not t t, shr t 63）。对当前位，得到的是一个(0)或(1)的数字。调用task2里的加法，让答案加上这个数字即可。每次加法不需要加(64)位，因为答案数字很小，只需要加到当前可能的最高位即可。

大约需要(1100)次操作。

另外，这个task也有一些奇妙方法，可以压到(300)次操作以内。具体见黄队的博客。

task4

考虑(xoperatorname{xor}y)的最高位，也就是(x), (y)第一个不同的位。如果我们能只保留这一位上的数字，不妨记为(z)。那么用(zoperatorname{and}x)，如果结果不为(0)，则(x>y)，否则(xleq y)。

于是问题转化为如何只保留一个数的最高位。

考虑如下的操作：

x|=(x>>1);
x|=(x>>2);
x|=(x>>4);
x|=(x>>8);
x|=(x>>16);
x|=(x>>32);

这样(6)次操作后，实现的效果是：(x)的最高位以下，全都是(1)。原理其实就是倍增法：先把最高位的下一位变成(1)，再用这两位一起去把下两位变成(1)，以此类推。另外，虽然看上去是(6)步操作，但实际实现时，每步操作需要(3)条指令，所以这个过程共需要(18)条指令。

用这个方法，我们可以先把(z)的最高位以下全都变成(1)。然后，我们用三次操作，令(z:=zoperatorname{xor}(zgg1))。这样就相当于只保留了(z)的最高位。拿新的(z)去和(x) (operatorname{and})。

最后判断结果是否为(0)，可以再用一次倍增法，把最高位的(1)（如果有的话）推向最低位，然后左移(63)位再右移(63)位，就能只保留最低位的值。

共需要(43)次操作。

task5

我们还是依次考虑每一位。维护一个当前答案。如果当前位是(1)，就令：( ext{ans}:= ext{ans} imes2+1)。

这相当于要实现一个三目运算符：如果条件为真，就令( ext{ans})等于(x)，否则令( ext{ans})等于(y)（这里(x), (y)，是一般性的表述。在这里就等于( ext{ans} imes2+1)和( ext{ans})）。然而我们没有( exttt{if})语句，如何实现三目运算符呢？

考虑如果条件为真，就构造一个全(1)的数（也就是(2^{64}-1)），这可以用task4里的倍增法来实现；条件不为真时，这个数自然为全(0)。然后用构造出的这个（全(1)或全(0)的）数，去(operatorname{and} x)。再将其取反，去(operatorname{and}y)。发现这两个结果，必有一个是(0)，另一个是我们想要的值，所以将它们(operatorname{or})起来，赋给( ext{ans})即可。

本task里，这个“条件为真”，就相当于当前位上的数是否是(1)。所以具体来说就是把当前位上的数，用倍增法铺满所有位即可。

这只是一个大致的思路，朴素实现的话操作次数比较多（(1600sim 1800)左右），需要做一些优化，例如：

• 从小到大考虑所有二进制位，对于第(i)位，( ext{ans})的位数一定小于等于(i)。所以不需要铺满所有(64)个二进制位，只需要把前(i)位铺满即可。
• 发现三目运算要选择的两个数(x), (y)，只有一个二进制位不同。所以不需要把条件取反再(operatorname{and})。直接先(operatorname{and})一遍较大的那个数（( ext{ans} imes2+1)），然后把两者(operatorname{or})起来即可。

task6

可以选择“冒泡排序”或者“选择排序”。核心是要实现：if(x>y) swap(x,y);。

可以用task4实现比较。再用倍增法把比较的结果铺满所有位，记这个结果为(t)（(tin{0,2^{64-1}})）。

有了比较结果之后，剩下的又相当于一个三目运算符。不过朴素实现还是操作数量太大（(7)次）。考虑“交换”操作的特性。可以用(operatorname{xor})来实现。先搞一个(z=xoperatorname{xor}y)。那么如果需要交换，就相当于让两个数都异或上(z)。所以可以令(z:=zoperatorname{and}t)。然后再把(x), (y)分别(operatorname{xor}z)即可。共需要(4)次操作。

我实现下来，总共是(2268)次操作。常数大一些应该也不会超过(2400)。

制造答案的代码

//problem:ZR889
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

template<typename T>inline void ckmax(T& x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T>inline void ckmin(T& x,T y){x=(y<x?y:x);}

int get_highbit(ull x){
	int ans=0;
	while(x)ans++,x>>=1;
	return ans;
}

int add(int xpos=1,int ypos=2,int anspos=3,int highbit=64) {
	//不需要a[anspos]=0
	//不还原a[xpos],a[ypos]
	int x=xpos;
	int y=ypos;
	int z=anspos;
	
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=highbit;++i){
		cout<<"xor "<<z<<" "<<x<<" "<<y<<endl;++cnt;
		cout<<"and "<<y<<" "<<x<<" "<<y<<endl;++cnt;
		swap(x,z);
		if(i<highbit){
			cout<<"shl "<<y<<" "<<1<<endl;++cnt;
		}
	}
	if(x!=anspos){
		cout<<"set "<<anspos<<" "<<x<<endl;++cnt;
	}
//	if(highbit!=64){
//		cout<<"shl "<<anspos<<" "<<64-highbit<<endl;++cnt;
//		cout<<"shr "<<anspos<<" "<<64-highbit<<endl;++cnt;
//	}
	return cnt;
}
int popcnt(int pos=1,int anspos=2){
	//默认a[anspos]=0
	//不还原a[pos]
	int cnt=0;
	int t1=40;
	cout<<"not "<<t1<<" "<<t1<<endl;++cnt;
	cout<<"shr "<<t1<<" "<<63<<endl;++cnt;
	int v=39;
	int s1=38;
	int s2=anspos;
	for(int i=1;i<=64;++i){
		cout<<"and "<<v<<" "<<pos<<" "<<t1<<endl;++cnt;
		//cout<<"set "<<s1<<" "<<anspos<<endl;++cnt;
		cnt+=add(s1,v,s2,get_highbit(i));
		swap(s1,s2);
		if(i<64){
			cout<<"shr "<<pos<<" "<<1<<endl;++cnt;
		}
	}
	if(s1!=anspos){
		cout<<"set "<<anspos<<" "<<s1<<endl;++cnt;
	}
	return cnt;
}
int push_highbit(int pos,int highbit=64){
	//anspos=pos
	//把最高位以下全部搞成1
	int cnt=0;
	int t=20;
	for(int i=1;i<highbit;i<<=1){
		cout<<"set "<<t<<" "<<pos<<endl;++cnt;
		cout<<"shr "<<t<<" "<<i<<endl;++cnt;
		cout<<"or "<<pos<<" "<<pos<<" "<<t<<endl;++cnt;
	}
	return cnt;
}
int compare(int xpos=1,int ypos=2,int anspos=3){
	//不需要a[anspos]=0
	//不会改变a[xpos],a[ypos]
	int cnt=0;
	int t1=40;
	int t2=39;
	cout<<"xor "<<t1<<" "<<xpos<<" "<<ypos<<endl;++cnt;
	cnt+=push_highbit(t1);
	
	cout<<"set "<<t2<<" "<<t1<<endl;++cnt;
	cout<<"shr "<<t2<<" "<<1<<endl;++cnt;
	cout<<"xor "<<t1<<" "<<t1<<" "<<t2<<endl;++cnt;//现在t1只有最高位是1了
	
	cout<<"and "<<anspos<<" "<<t1<<" "<<xpos<<endl;++cnt;
	cnt+=push_highbit(anspos);
	//task6里可以注释掉:
	cout<<"shl "<<anspos<<" "<<63<<endl;++cnt;
	cout<<"shr "<<anspos<<" "<<63<<endl;++cnt;
	return cnt;
}
int pow_of_popcount(int pos=1,int anspos=2){
	//默认a[anspos]=0
	int cnt=0;
	int flagpos=40;
	//cout<<"shl "<<flagpos<<" "<<64<<endl;++cnt;
	cout<<"not "<<flagpos<<" "<<flagpos<<endl;++cnt;
	cout<<"shr "<<flagpos<<" "<<63<<endl;++cnt;
	int t1=39;
	int t2=38;
	int t3=37;
	cout<<"set "<<t1<<" "<<flagpos<<endl;++cnt;
	for(int i=1;i<=64;++i){
		if(i!=1){
			cout<<"set "<<t2<<" "<<anspos<<endl;++cnt;
			cout<<"shl "<<t2<<" "<<1<<endl;++cnt;
		}
		cout<<"or "<<t2<<" "<<t2<<" "<<t1<<endl;++cnt;//t2=anspos<<1|1
		
		cout<<"and "<<t3<<" "<<pos<<" "<<flagpos<<endl;++cnt;
		cnt+=push_highbit(t3,i);
		cout<<"and "<<t2<<" "<<t2<<" "<<t3<<endl;++cnt;
		
		cout<<"or "<<anspos<<" "<<anspos<<" "<<t2<<endl;++cnt;
		
		if(i<64){
			cout<<"shl "<<flagpos<<" "<<1<<endl;++cnt;
		}
	}
	return cnt;
}
int push_lowbit(int pos){
	int cnt=0;
	int t=20;
	for(int i=1;i<=32;i<<=1){
		cout<<"set "<<t<<" "<<pos<<endl;++cnt;
		cout<<"shl "<<t<<" "<<i<<endl;++cnt;
		cout<<"or "<<pos<<" "<<pos<<" "<<t<<endl;++cnt;
	}
	return cnt;
}
int bubble_sort(){
	int cnt=0;
	int t1=10;
	int t2=11;
	for(int i=1;i<9;++i){
		for(int j=i+1;j<=9;++j){
			cnt+=compare(i,j,t1);
			cnt+=push_lowbit(t1);
			cout<<"xor "<<t2<<" "<<j<<" "<<i<<endl;++cnt;
			cout<<"and "<<t2<<" "<<t2<<" "<<t1<<endl;++cnt;
			cout<<"xor "<<i<<" "<<i<<" "<<t2<<endl;++cnt;
			cout<<"xor "<<j<<" "<<j<<" "<<t2<<endl;++cnt;
			
//			cout<<"and "<<t2<<" "<<t1<<" "<<j<<endl;++cnt;
//			cout<<"and "<<t3<<" "<<t1<<" "<<i<<endl;++cnt;
//			cout<<"not "<<t1<<" "<<t1<<endl;++cnt;
//			cout<<"and "<<t4<<" "<<t1<<" "<<j<<endl;++cnt;
//			cout<<"and "<<t5<<" "<<t1<<" "<<i<<endl;++cnt;
//			
//			cout<<"or "<<j<<" "<<t3<<" "<<t4<<endl;++cnt;
//			cout<<"or "<<i<<" "<<t2<<" "<<t5<<endl;++cnt;
		}
	}
	return cnt;
}

void task1(){
	freopen("calculate1.ans","w",stdout);
	cout<<"not "<<2<<" "<<1<<endl;
	cout<<"shl "<<2<<" "<<63<<endl;
	cout<<"shr "<<2<<" "<<63<<endl;
	cerr<<"cnt "<<3<<endl;
}
void task2(){
	freopen("calculate2.ans","w",stdout);
	int cnt=add();
	cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task3(){
	freopen("calculate3.ans","w",stdout);
	int cnt=popcnt();
	cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task4(){
	freopen("calculate4.ans","w",stdout);
	int cnt=compare();
	cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task5(){
	freopen("calculate5.ans","w",stdout);
	int cnt=pow_of_popcount();
	cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
void task6(){
	freopen("calculate6.ans","w",stdout);
	int cnt=bubble_sort();
	cerr<<"cnt "<<cnt<<endl;
}
int main() {
	//...
	return 0;
}