LOJ3340 「NOI2020」命运

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博主有幸参加了NOI2020，考场上的经历和心得请见这篇文章。这里就不唠叨了。

本题题解

为了方便表述，我们把边重要、不重要，称为：颜色为(1)、(0)。本题相当于要求对给边染色的方案计数。

前(40)分部分分，是对(m)个限制做容斥。也就是(2^m)枚举哪些路径强制设为(0)，不在这些路径上的边可以随意。问题转化为求路径并，可以用树链剖分或虚树维护。由于与正解做法关联不大，这里不细讲了。

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正解的起点是一个DP。设(dp[u][i])表示假设(u)的子树外边的颜色都已经确定，且(u)的“祖先边”（(u)到根路径上所有边）中，深度最大（离它最近）的颜色为(1)的边，深度为(i)，此时(u)的子树内所有边合法的染色方案数。

容易发现，一个子树内的染色方案数，只和这个子树“祖先边”中深度最大的颜色为(1)的边的深度有关，而这个东西我们已经写在了状态里（就是(i)）。因此这个状态非常合理。

更具体来讲，我们定义点的深度为它到根路径上的边数。边的深度为它连接的儿子节点的深度。因为根节点（深度为(0)）没有父亲边，所以不存在深度为(0)的边。不过我们可以假装有这样一条边，且这条边的颜色永远是(1)。则DP的答案就是(dp[1][0])，其中(0)就是我们假想出来的这条边的深度。

至于(m)条限制，我们对每个点(u)，维护它“祖先边”中，离它最近的、颜色为(1)的边，深度至少是多少，记为( ext{lim}[u])。初始时，( ext{lim}[u]=0)，也就是我们假想的那个颜色永远是(1)的边。每读入一条限制((u,v))，就令( ext{lim}[v]:=max( ext{lim}[v], ext{dep}[u]+1))。同时，每个节点的( ext{lim})，还要对( ext{lim}[fa(u)])取(max)。

容易发现，对于(i otin [ ext{lim}[u], ext{dep}[u]])，(dp[u][i]=0)。

对于其他的(i)，可以从儿子转移过来。不难写出：

[dp[u][i]=[ ext{lim}[u]leq ileq ext{dep}[u]] imes prod_{vin ext{son}(u)}(dp[v][i]+dp[v][ ext{dep}[v]]) ]

这样直接DP是(O(n^2))的。

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继续优化，对于每个点(u)，考虑把(dp[u])的第二维搬到线段树上，然后做线段树合并。考虑在转移过程中，我们的线段树需要做哪些操作。

1. 假设线段树初值全部为(0)。那我们要先把([ ext{lim}[u], ext{dep}[u]])这个区间赋值为(1)。
2. 我们要对所有(0leq i< ext{dep}[u])，令(dp[u][i] exttt{+=}dp[u][ ext{dep[u]}])，这是为了从(u)向父亲转移时更方便（看一下转移式就知道了）。
3. 在第2条的基础上，转移时，我相当于要合并两棵线段树，并实现把所有对应位置相乘。

前两条操作，可以看成区间加。第3条操作又涉及乘法。所以我们的线段树，维护区间加法和乘法两个懒标记。

这里需要注意一下，下放标记的顺序。更新乘法标记时，把已有的加法标记也乘上这个数。更新加法标记时则不动乘法标记。下放标记（push_down）时，先下放乘法标记，再下放加法标记。这里面的原因并不复杂，可以自行思考一下。

同时我们还要支持单点查询。这个在访问到线段树叶子节点时，直接反回它的加法标记值即可。

这样合并(O(n))次，做(O(n))次修改，时间复杂度是(O(nlog n))的。

参考代码（建议使用读入优化，详见本博客公告）：

//problem:LOJ3340
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;

template<typename T>inline void ckmax(T& x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T>inline void ckmin(T& x,T y){x=(y<x?y:x);}

const int MAXN=5e5,MAXM=5e5;
const int MOD=998244353;
inline int mod1(int x){return x<MOD?x:x-MOD;}
inline int mod2(int x){return x<0?x+MOD:x;}
inline void add(int& x,int y){x=mod1(x+y);}
inline void sub(int& x,int y){x=mod2(x-y);}
inline int pow_mod(int x,int i){int y=1;while(i){if(i&1)y=(ll)y*x%MOD;x=(ll)x*x%MOD;i>>=1;}return y;}

int n,m;
vector<int>G[MAXN+5];
struct Request{
	// u是祖先,v是后代
	int u,v;
}q[MAXM+5];

int fa[MAXN+5],dep[MAXN+5];
int lim[MAXN+5];
void dfs_prep(int u){
	for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
		int v=G[u][i];
		if(v==fa[u]) continue;
		fa[v]=u;
		dep[v]=dep[u]+1;
		dfs_prep(v);
	}
}

struct SegmentTree{
	int rt[MAXN+5];
	int cnt;
	vector<int>bin;
	int ls[MAXN*100+5],rs[MAXN*100+5];
	int tag_add[MAXN*100+5],tag_mul[MAXN*100+5];
	int new_node(int _mul=1,int _add=0){
		int x;
		if(SZ(bin)){
			x=bin.back();
			bin.pop_back();
		}
		else{
			x=++cnt;
		}
		ls[x]=rs[x]=0;
		tag_mul[x]=_mul;
		tag_add[x]=_add;
		return x;
	}
	void upd_mul(int x,int v){
		tag_mul[x]=(ll)tag_mul[x]*v%MOD;
		tag_add[x]=(ll)tag_add[x]*v%MOD;
	}
	void upd_add(int x,int v){
		add(tag_add[x],v);
	}
	void push_down(int x){
		if(tag_mul[x]!=1){
			if(!ls[x]) ls[x]=new_node();
			if(!rs[x]) rs[x]=new_node();
			upd_mul(ls[x],tag_mul[x]);
			upd_mul(rs[x],tag_mul[x]);
			tag_mul[x]=1;
		}
		if(tag_add[x]){
			if(!ls[x]) ls[x]=new_node();
			if(!rs[x]) rs[x]=new_node();
			upd_add(ls[x],tag_add[x]);
			upd_add(rs[x],tag_add[x]);
			tag_add[x]=0;
		}
	}
	void modify_add(int& x,int l,int r,int ql,int qr,int v){
		if(ql<=l && qr>=r){
			upd_add(x,v);
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		push_down(x);
		if(ql<=mid)
			modify_add(ls[x],l,mid,ql,qr,v);
		if(qr>mid)
			modify_add(rs[x],mid+1,r,ql,qr,v);
	}
	int query(int x,int l,int r,int pos){
		if(l==r){
			return tag_add[x];
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		push_down(x);
		if(pos<=mid)
			return query(ls[x],l,mid,pos);
		else
			return query(rs[x],mid+1,r,pos);
	}
	int merge(int x, int y){
		if (!ls[x] && !rs[x]) swap(x, y);
		if (!ls[y] && !rs[y]){
			upd_mul(x,tag_add[y]);
			return x;
		}
		push_down(x), push_down(y);
		ls[x] = merge(ls[x], ls[y]);
		rs[x] = merge(rs[x], rs[y]);
		return x;
	}
	SegmentTree(){}
}T;
/*
int dp[MAXN+5][MAXN+5];
void dfs_dp(int u){
	for(int j=lim[u];j<=dep[u];++j){
		dp[u][j]=1;
	}
	for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
		int v=G[u][i];
		if(v==fa[u]) continue;
		dfs_dp(v);
		for(int j=lim[u];j<=dep[u];++j){
			dp[u][j]=(ll)dp[u][j]*(dp[v][j]+dp[v][dep[v]])%MOD;
		}
	}
}
*/
void dfs_dp(int u){
	lim[u]=max(lim[u],lim[fa[u]]);
	T.rt[u]=T.new_node(0,0);
	T.modify_add(T.rt[u],0,n-1,lim[u],dep[u],1);
	for(int i=0;i<SZ(G[u]);++i){
		int v=G[u][i];
		if(v==fa[u]) continue;
		dfs_dp(v);
		T.rt[u]=T.merge(T.rt[u],T.rt[v]);
	}
	if(u==1) return;
	int v=T.query(T.rt[u],0,n-1,dep[u]);
	T.modify_add(T.rt[u],0,n-1,0,dep[u]-1,v);
}
int main() {
//	freopen("destiny.in","r",stdin);
//	freopen("destiny.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;++i){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		G[u].pb(v);
		G[v].pb(u);
	}
	dfs_prep(1);
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		cin>>q[i].u>>q[i].v;
		ckmax(lim[q[i].v],dep[q[i].u]+1);
	}
	dfs_dp(1);
	cout<<T.query(T.rt[1],0,n-1,0)<<endl;
	return 0;
}