CF1188D Make Equal

CF1188D Make Equal

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有 (n) 个非负整数 (a_1, a_2, dots, a_n)。每次操作，你可以从中任选一个数，并把它加上 (2) 的任意非负整数次幂。求使得 (n) 个数相等所需的最小操作次数。可以证明答案不超过 (10^{18})。

数据范围：(1leq nleq 10^5)，(1leq a_ileq 10^{17})。

本题题解

先将 (a) 序列排序。

假设最终所有数相等时等于 (y)。那么所需的最小操作次数一定是：

[sum_{i = 1}^{n}mathrm{bitcnt}(y - a_i) ]

其中 (mathrm{bitcnt}(x)) 表示 (x) 在二进制下 (1) 的个数。

显然 (ygeq a_n)。因为减法比加法复杂，我们稍微转化一下。设 (x = y - a_n)，(b_i = a_n - a_i)，则上式等于：

[sum_{i = 1}^{n}mathrm{bitcnt}(x + b_i) ]

问题转化为，求一个 (x)，使得该式的值最小。

按二进制位，从低到高 DP，假设当前考虑到第 (k) 位。考虑 ((x + b_i)) 第 (k) 位的数值（(0) 还是 (1)），会受到哪些因素影响：

1. (b_i) 第 (k) 位的数值。
2. (x) 第 (k) 位的数值。
3. 第 (k - 1) 位有没有进位。

1 是已知的。2 在转移时分两种情况讨论即可。关键是 3，因为 (n) 个数第 (k - 1) 位的进位情况是不同的，也就是说有 (2^n) 种可能的状态，全记下来的话状态数爆炸了。

下面是本题的核心：因为每个数加上的 (x) 相同，所以 (b_imod 2^k) 越大的数，越有可能进位。也就是说，如果把 (b) 序列按照 (b_imod 2^k) 从小到大排序，那么在上一位发生进位的数是一段后缀。于是，我们在状态里，只需要记录上一位有几个数发生了进位，就相当于知道了哪些数发生了进位。

具体来说，转移时枚举上一位发生进位的数的数量，记为 (j)。将 (b) 序列按照 (b_imod 2^k) 的大小排序后，分为前 (n - j) 个数（没发生进位的）和后 (j) 个数（发生了进位的），再根据 (b_i) 第 (k) 位是 (0) 还是 (1)，分为四小类。转移考虑 (x) 的第 (k) 位是 (0) 还是 (1)。那么：

[egin{array}{|c|c|} hline & ext{前}0 & ext{前}1 & ext{后}0 & ext{后}1 \ hline x_k = 0 & 0 ext{,不进位} & 1 ext{,不进位} & 1 ext{,不进位} & 0 ext{,进位}\ hline x_k = 1 & 1 ext{,不进位} & 0 ext{,进位} & 0 ext{,进位} & 1 ext{,进位}\ hline end{array} ]

这张表格描述的是 (n) 个 ((x + b_i))，共有 (4 imes 2 = 8) 种情况：第一行里的四类表示，(b_imod 2^k) 是前 (n - j) 个数还是后 (j) 个数（这决定了它在上一位有没有进位），以及 (b_i) 的第 (k) 位是 (0) 还是 (1)。第一列里的两类，表示 (x) 的第 (k) 位是 (0) 还是 (1)。表格中，“进位/不进位”决定了转移到的 DP 状态；(0, 1) 也就是 ((x + b_i)) 第 (k) 位的值，这决定了新的 DP 值。具体可以见代码。

接下来还有最后一个问题，(x) 要枚举到多大（有多少位）？可以证明，一定存在最优解，满足 (x leq max{b_i})。

证明：

设 (B = max{b_i})。

如果，(x > B)。设 (s) 表示 ((x + B)) 的最高位。那么 (2^{s + 1} > x + B geq 2^{s})。所以 (2x > 2^{s})，(x > 2^{s - 1})。设 (x' = x - 2^{s - 1})。

对任意位置 (i)，((x + b_i)) 的最高位要么为 (s)，要么为 (s - 1)。

• 若 ((x + b_i)) 的第 (s - 1) 位为 (1)，那么 (mathrm{bitcnt}(b_i + x') = mathrm{bitcnt}(x + b_i) - 1)。
• 若 ((x + b_i)) 的第 (s - 1) 位为 (0)，那么第 (s) 位一定为 (1)，所以 (mathrm{bitcnt}(b_i + x') = mathrm{bitcnt}(x + b_i))。

可以发现，(x') 的结果一定不差于 (x)。所以只要最优的 (x > B)，我们就不断将它减去 (2^{s - 1})，最终一定能得到 (xleq B) 的最优解。

因为 (xleq max{b_i}leqmax{a_i})，所以 DP 只需要进行 (mathcal{O}(log a)) 位，每一位要排序，所以总时间复杂度 (mathcal{O}(ncdot log acdot log n))。

有一个优化是，在上一位排好序的序列的基础上，根据当前位是 (0) 还是 (1)，拆成两个子序列，再拼起来。这样就不用每一位都重新排序了，时间复杂度 (mathcal{O}(nlog a))。

参考代码

// problem: CF1188D
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())

typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;

template<typename T> inline void ckmax(T& x, T y) { x = (y > x ? y : x); }
template<typename T> inline void ckmin(T& x, T y) { x = (y < x ? y : x); }

const int MAXN = 1e5;
const int MAXBIT = 57; // [0, 57]
const int INF = 1e9;

int n;
ull a[MAXN + 5];

int id[MAXN + 5], id0[MAXN + 5], id1[MAXN + 5];
int dp[MAXBIT + 1][MAXN + 5];
int pre[MAXN + 5][2], suf[MAXN + 5][2];

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> a[i];
	}
	sort(a + 1, a + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		a[i] = a[n] - a[i];
	}
	
	for (int i = 0; i <= MAXBIT; ++i)
		for (int j = 0; j <= n; ++j)
			dp[i][j] = INF;
	
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if ((a[i] & 1) == 0)
			id[++cnt] = i;
	
	dp[0][0] = n - cnt;         // x 当前位填 0, 0 人进位, 结果中有 n - cnt 个 1
	ckmin(dp[0][n - cnt], cnt); // x 当前位填 1, n - cnt 人进位, 结果中有 cnt 个 1
	
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if ((a[i] & 1) == 1)
			id[++cnt] = i;
	assert(cnt == n);
	
	for (int i = 1; i <= MAXBIT; ++i) {
		// sort(id + 1, id + n + 1, cmp);
		
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			pre[j][0] = pre[j - 1][0] + (((a[id[j]] >> i) & 1) == 0);
			pre[j][1] = pre[j - 1][1] + (((a[id[j]] >> i) & 1) == 1);
		}
		for (int j = n; j >= 1; --j) {
			suf[j][0] = suf[j + 1][0] + (((a[id[j]] >> i) & 1) == 0);
			suf[j][1] = suf[j + 1][1] + (((a[id[j]] >> i) & 1) == 1);
		}
		
		for (int j = 0; j <= n; ++j) if (dp[i - 1][j] != INF) {
			ckmin(dp[i][suf[n - j + 1][1]], dp[i - 1][j] + pre[n - j][1] + suf[n - j + 1][0]); // x 当前位填 0
			if (i < MAXBIT)
			ckmin(dp[i][pre[n - j][1] + j], dp[i - 1][j] + pre[n - j][0] + suf[n - j + 1][1]); // x 当前位填 1
		}
		
		// 相当于排序:
		int cnt0 = 0, cnt1 = 0;
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			if (((a[id[j]] >> i) & 1) == 0)
				id0[++cnt0] = id[j];
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			if (((a[id[j]] >> i) & 1) == 1)
				id1[++cnt1] = id[j];
		for (int j = 1; j <= cnt0; ++j)
			id[j] = id0[j];
		for (int j = 1; j <= cnt1; ++j)
			id[cnt0 + j] = id1[j];
	}
	
	int ans = INF;
	for (int j = 0; j <= n; ++j)
		ckmin(ans, dp[MAXBIT][j]);
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
}