P3366 【模板】最小生成树

kruskal

1.基本思想（可忽略）

先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点，之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。 

 

2.步骤（可忽略）

（1）.新建图G，G中拥有原图中相同的节点，但没有边；

（2）.将原图中所有的边按权值从小到大排序；

（3）.从权值最小的边开始，如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中，则添加这条边到图G中；

（4）.重复3，直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中。

 

3.证明（可忽略）

1. 这样的步骤保证了选取的每条边都是桥，因此图G构成一个树。
2. 为什么这一定是最小生成树呢？关键还是步骤3中对边的选取。算法中总共选取了n-1条边，每条边在选取的当时，都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边
3. 要证明这条边一定属于最小生成树，可以用反证法：如果这条边不在最小生成树中，它连接的两个连通分量最终还是要连起来的，通过其他的连法，那么另一种连法与这条边一定构成了环，而环中一定有一条权值大于这条边的边，用这条边将其替换掉，图仍旧保持连通，但总权值减小了。也就是说，如果不选取这条边，最后构成的生成树的总权值一定不会是最小的。

4.时间复杂度（可忽略）

平均时间复杂度为O(|E|log|E|)，其中E和V分别是图的边集和点集。

题目

题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出orz

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，表示该图共有N个结点和M条无向边。（N<=5000，M<=200000）

接下来M行每行包含三个整数Xi、Yi、Zi，表示有一条长度为Zi的无向边连接结点Xi、Yi

输出格式：

输出包含一个数，即最小生成树的各边的长度之和；如果该图不连通则输出orz

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出样例#1： 复制

7

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于20%的数据：N<=5，M<=20

对于40%的数据：N<=50，M<=2500

对于70%的数据：N<=500，M<=10000

对于100%的数据：N<=5000，M<=200000

样例解释：

所以最小生成树的总边权为2+2+3=7

分析

以上我全部都是从百度上复制的，所以比较难懂，然而总的来说就是把一颗没有边的树，把权值小的边一个一个加上去而已，如果两个点已经在一个集合，那么不加上这条边。

题解

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,cnt,ans,fa[400005];
struct zxj{
    int u,v,w;//u起点，v中点，w权值 
}e[400005];
void init(){//每个的祖先都是自己 
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
}
int find(int x){//寻找祖先 
    if(fa[x]==x) return x;
    return find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){//合并两个集合 
    x=find(x),y=find(y);
    if(x<y) fa[y]=x;
    else fa[x]=y;
}
bool cmp(zxj x,zxj y){//排序很重要，这样就可以得出最小的生成树 
    return x.w<y.w;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
    }
    init();//初始化 
    sort(e+1,e+m+1,cmp);//排序 
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(find(e[i].u)!=find(e[i].v)){//如果两点不在一个集合 
            ans+=e[i].w;//加上权值 
            merge(e[i].u,e[i].v);//加上这条边（合并集合） 
            cnt++;//边数+1 
        }
        if(cnt==n-1) break;//如果边数够，则停止循环 
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}