1.快速幂：
当求a的b次方的时候，我们可以写一个函数一次循环求出，又可以用math文件里面的pow(double a,double b)解决
但是，当b非常大还要取模呢？O（n）的时间复杂度也不行怎么办？
可以用快速幂的方法：
要求a^b时，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时
a^11=a^(2^0+2^1+2^3)=a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)
实现时要用到位运算：
b&1是取b二进制的末尾
b>>1是去掉b二进制的末尾
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 5 #define ll long long 6 7 ll pow_mod(ll a,ll b,ll p) //(a^b)%p 8 { 9 ll ans=1; 10 while(b) 11 { 12 if(b&1) 13 { 14 ans=(ans*a)%p; 15 } 16 a=(a*a)%p; 17 b>>=1; 18 } 19 return ans; 20 } 21 22 23 int main() 24 { 25 ll a,b,p; 26 cin>>a>>b>>p; 27 cout<<pow_mod(a,b,p)<<endl; 28 }
其中，a=(a*a)%p理解起来就是：第0次a=a^(2^0)；//初始值 ,第一次a=a*a相当于a^(2^1),第二次相当于a^(2^2).......a^(2^n)，再结合上面a^11=a^1011(二进制）=a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),
对应的就是，在第0次，第1次，第3次的时候,ans=(ans*a)%p;
而在第0次，第1次，第3次的时候ans要更新,是因为11的二进制1011的第0位，第1位，第3位是1（即if(b&1)，当前b的末尾是1）
讲解over，例题POJ 1995
2.矩阵快速幂：
原理与快速幂一样，不过就是把整数换成了矩阵，把整数的乘法换成了矩阵的乘法
先贴出代码：
1 # include<cstdio> 2 # include<cstring> 3 using namespace std; 4 5 #define NUM 50 6 int MAXN,n,mod; 7 8 struct Matrix//矩阵的类 9 { 10 int a[NUM][NUM]; 11 void init() //将其初始化为单位矩阵 12 { 13 memset(a,0,sizeof(a)); 14 for(int i=0;i<MAXN;i++) 15 a[i][i]=1; 16 } 17 } A; 18 19 Matrix mul(Matrix a,Matrix b) //(a*b)%mod 矩阵乘法 20 { 21 Matrix ans; 22 for(int i=0;i<MAXN;i++) 23 for(int j=0;j<MAXN;j++) 24 { 25 ans.a[i][j]=0; 26 for(int k=0;k<MAXN;k++) 27 ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]; 28 ans.a[i][j]%=mod; 29 } 30 return ans; 31 } 32 33 Matrix pow(Matrix a,int n) //(a^n)%mod //矩阵快速幂 34 { 35 Matrix ans; 36 ans.init(); 37 while(n) 38 { 39 if(n%2)//n&1 40 ans=mul(ans,a); 41 n/=2; 42 a=mul(a,a); 43 } 44 return ans; 45 } 46 47 void output(Matrix a)//输出矩阵 48 { 49 for(int i=0;i<MAXN;i++) 50 for(int j=0;j<MAXN;j++) 51 printf("%d%c",a.a[i][j],j==MAXN-1?' ':' '); 52 } 53 int main() 54 { 55 Matrix ans; 56 scanf("%d%d%d",&MAXN,&n,&mod); 57 for(int i=0;i<MAXN;i++) 58 for(int j=0;j<MAXN;j++) 59 { 60 scanf("%d",&A.a[i][j]); 61 A.a[i][j]%=mod; 62 } 63 ans=pow(A,n); 64 output(ans); 65 return 0; 66 }
请看到，mul() 函数，这个是矩阵的乘法
再看到第33行pow()函数，这个就是矩阵快速幂，跟上面的快速幂比较，是不是很像？
只不过用mul() 函数代替了 a=(a*a)%p的运算罢了
讲解over