数论--快速幂,矩阵快速幂

1.快速幂：

当求a的b次方的时候，我们可以写一个函数一次循环求出，又可以用math文件里面的pow(double a,double b)解决

但是，当b非常大还要取模呢？O（n）的时间复杂度也不行怎么办？

可以用快速幂的方法：

要求a^b时，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时

　　　　　　　　　　　　 a^11=a^(2^0+2^1+2^3)=a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)

实现时要用到位运算：

b&1是取b二进制的末尾

b>>1是去掉b二进制的末尾

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
 
#define ll long long 
 
ll pow_mod(ll a,ll b,ll p)  //(a^b)%p 
{
     ll ans=1;
     while(b)
     {
         if(b&1)
         {
             ans=(ans*a)%p;
         }
         a=(a*a)%p;
         b>>=1;
     }
     return ans;
 }
 
 
 int main()
 {
     ll a,b,p;
     cin>>a>>b>>p;
     cout<<pow_mod(a,b,p)<<endl;  
 }

其中，a=(a*a)%p理解起来就是：第0次a=a^(2^0)；//初始值 ,第一次a=a*a相当于a^(2^1),第二次相当于a^(2^2).......a^(2^n)，再结合上面a^11=a^1011(二进制）=a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),

对应的就是，在第0次，第1次，第3次的时候,ans=(ans*a)%p;

而在第0次，第1次，第3次的时候ans要更新,是因为11的二进制1011的第0位，第1位，第3位是1（即if(b&1)，当前b的末尾是1）

讲解over，例题POJ 1995

2.矩阵快速幂：

原理与快速幂一样，不过就是把整数换成了矩阵，把整数的乘法换成了矩阵的乘法

先贴出代码：

# include<cstdio>
# include<cstring>
using namespace std;

#define NUM 50
int MAXN,n,mod;

struct Matrix//矩阵的类
{
    int a[NUM][NUM];
    void init()           //将其初始化为单位矩阵
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<MAXN;i++)
            a[i][i]=1;
    }
} A;

Matrix mul(Matrix a,Matrix b)  //(a*b)%mod  矩阵乘法
{
    Matrix ans;
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
        for(int j=0;j<MAXN;j++)
        {
            ans.a[i][j]=0;
            for(int k=0;k<MAXN;k++)
                ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
            ans.a[i][j]%=mod;
        }
    return ans;
}

Matrix pow(Matrix a,int n)    //(a^n)%mod  //矩阵快速幂
{
    Matrix ans;
    ans.init();
    while(n)
    {
        if(n%2)//n&1
            ans=mul(ans,a);
        n/=2;
        a=mul(a,a);
    }
    return ans;
}

void output(Matrix a)//输出矩阵
{
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
        for(int j=0;j<MAXN;j++)
            printf("%d%c",a.a[i][j],j==MAXN-1?'
':' ');
}
int main()
{
    Matrix ans;
    scanf("%d%d%d",&MAXN,&n,&mod);
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
        for(int j=0;j<MAXN;j++)
        {
            scanf("%d",&A.a[i][j]);
            A.a[i][j]%=mod;
        }
    ans=pow(A,n);
    output(ans);
    return 0;
}

请看到，mul() 函数，这个是矩阵的乘法

再看到第33行pow()函数，这个就是矩阵快速幂，跟上面的快速幂比较，是不是很像？

只不过用mul() 函数代替了  a=(a*a)%p的运算罢了

讲解over