微积分重点：第十六至十八课

1.关于运动的微分方程

 二阶常系数齐次微分方程一般形式 my'' + 2ry'+ ky = 0  

  方程  dy/dx = ay   （指数）

   解 y = Ce^ax 

  方程  d²y/dx²= -w²y   （正弦余弦）

  解 y = C coswt + D sinwt

  方程  d²y/dx²= 0

  解  y= C+Dx

例如弹簧运动 F= ma,其中a是位移的二阶导  

二阶微分方程的通解，对应于二次方程根的三种情况

 简谐振动

2. 关于增长的微分方程

  所有线性方程的解都是由通解和特解组成

  逻辑斯蒂方程 dP/dt = cP - sP²

  令y = 1/P,  可以化成一个线性方程

  捕食-猎物模型

3.六大函数：

积分            原函数        导数

xⁿ⁺¹/n+1      xⁿ             nx^n-1

-cosx            sinx        cosx

sinx               cosx       -sinx

e^cx/c              e^cx           c e^cx

xlnx-x            lnx           1/x

                    分段函数    冲击函数（δ函数，描述瞬间发生的事情）

六大法则：

导数加减，乘，除，逆函数，复合，洛比达法则

六大定理：

1.微积分基本定理

2.介值定理（要求连续）：最大值最小值之间的任意值都能到达

3.中值定理（要求可导）：速度必定在某点达到中值（平均速度）

4.泰勒定理：知道了某一点的情况，那么我们就可以知道该点附近的情况，不断用导数修正

5.拉格朗日余项定理： 截断n之后的泰勒级数，后面的误差项是n+1阶导数

6.二项式定理：杨辉三角， (1+x)^p根据泰勒定理展开，就得到二项式公式