挑战程序设计竞赛2.3节习题选解

poj2385

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-2385

设dp[i][j]表示经过i秒移动了j次能接到的最多苹果数，则dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-k][j-1]+sum[i][j%2+1]-sum[i-k][j%2+1]);（第i-k秒从一棵树移动到另一棵树，之后在另一棵树下不动）tree[i][1]=1表示第i秒第一棵树掉下来一个苹果，tree[i][2]=1同理，tree[i][1]或tree[i][2]=0表示当前的树不掉苹果，sum[i][1]和sum[i][2]分别为tree[i][1]和tree[i][2]的前缀和，用这个求出在一段时间内在某一棵树底下不移动时，能拿到多少苹果

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100+10;
const int maxw=30+10;
int main()
{
    int tree[maxn][3],sum[maxn][3];
    int dp[maxn][maxw];
    int i,j,k,t,n,w,s,ans,x;
    cin>>n>>w;
    memset(tree,0,sizeof(tree));memset(sum,0,sizeof(sum));
    for (i=1;i<=n;i++)
      {
          cin>>x;
          if (x==1) tree[i][1]=1;else tree[i][2]=1;
      }
    for (i=1;i<=n;i++)
      {
          sum[i][1]=sum[i-1][1]+tree[i][1];
          sum[i][2]=sum[i-1][2]+tree[i][2];
      }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for (i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=sum[i][1];
    for (i=1;i<=n;i++)
      for (j=1;j<=min(i,w);j++)
        for (k=1;k<=i-j+1;k++)
          dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-k][j-1]+sum[i][j%2+1]-sum[i-k][j%2+1]);
    ans=0;
    for (i=0;i<=w;i++) ans=max(ans,dp[n][i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
} 

poj3616

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-3616

LIS问题的变形。用f[i]表示到第i个区间内最高的价值，dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[j].v),若j的右边端点<=i的左边端点

当然，要先按开始时间（左端点）排个序

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm=100+10;
struct node
{
    int l,r,v;
}a[maxm];
bool cmp(node p,node q)
{
    return p.l<q.l;
}
int main()
{
    int i,j,k,n,m,rr,ans;
    int dp[maxm];
    cin>>n>>m>>rr;
    for (i=1;i<=m;i++) cin>>a[i].l>>a[i].r>>a[i].v;
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for (i=1;i<=m;i++) dp[i]=a[i].v;
    for (i=1;i<=m;i++)
      for (j=1;j<=i-1;j++)
        if (a[j].r+rr<=a[i].l) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i].v);
    ans=0;
    for (i=1;i<=m;i++) ans=max(ans,dp[i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

poj3280题解：https://www.cnblogs.com/edmunds/p/12783673.html

poj1742题解：https://www.cnblogs.com/edmunds/p/12442642.html

poj3046:

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-3046

2.3节多重集组合数的练习题，基本和例题一样。设dp[i][j]表示选到第i种，一共选出了j个的方案数

可以很容易写出一个转移方程:dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]+...+dp[i-1][j-min(a[i],j)]

但是这样会时间复杂度过高。注意这一段 dp[i-1][j-1]+...+dp[i-1][j-min(a[i],j)]应该和dp[i][j-1]有关系。下面分情况讨论：

1) 若a[i]>=j，dp[i][j]=dp[i-1][j]+(dp[i-1][j-1]+...+dp[i-1][0]）=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]；

2) 若a[i]<j，dp[i][j]=dp[i-1][j]+(dp[i-1][j-1]+...+dp[i-1][j-a[i]])=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-a[i]-1]

这样递推的时间复杂度就降到O(T*A)

注意取模。我也不知道为啥一开始算出来是负数，然后在第二个递推式子里加上一个mod再模mod就对了......按理说应该不可能会算出来负数的啊？？

还要注意边界：dp[i][0]=1；i=0-t

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e6;
const int maxt=100+10;
const int maxa=1000+10;

int dp[maxt][maxa],num[maxt];
int t,a,s,b,i,j,ans,k,x;

int main(){
    //freopen("poj3046.txt","r",stdin);
    cin>>t>>a>>s>>b;
    memset(num,0,sizeof(num));
    for (i=1;i<=a;i++){
        cin>>x;num[x]++;
    }
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for (i=0;i<=t;i++) dp[i][0]=1;
    for (i=1;i<=t;i++)
      for (j=1;j<=a;j++){
          if (num[i]>=j) dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])%mod;
          else dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-num[i]-1]+mod)%mod;
      }
    ans=0;
    for (i=s;i<=b;i++) ans=(ans+dp[t][i])%mod;
    cout<<ans<<endl;
    //fclose(stdin);
    return 0;
}

 另外，如果空间不够（比如poj1742那样），可以用滚动数组优化，因为注意到dp[i][j]只和dp[i][...]和dp[i-1][...]有关

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxt=3000+10;
const int mod=1000000;
int main()
{
    int n,i,j,k,t,b,ans,s,m;
    int a[maxt],f[2][maxt];
    cin>>t>>n>>s>>b;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for (i=1;i<=n;i++) {
          cin>>k;a[k]++;
       } 
    ans=0;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for (i=0;i<=1;i++) f[i][0]=1;
    for (i=1;i<=t;i++)
          for (j=1;j<=b;j++){             
              if (j>a[i]) f[i%2][j]=(f[(i-1)%2][j]+f[i%2][j-1]-f[(i-1)%2][j-1-a[i]]+mod)%mod;  //滚动数组 
            else f[i%2][j]=(f[(i-1)%2][j]+f[i%2][j-1])%mod;
        }
    for (i=s;i<=b;i++) ans=(ans+f[t%2][i])%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

poj1065

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-1065

套路题。对一个端点排序后，由dilworth定理对另一个端点求最长严格下降子序列即可

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500+10;
struct node{int l,w;};int f[maxn];
node a[maxn];
bool cmp(node p,node q){
    if (p.l==q.l) return p.w<q.w;
    else return p.l<q.l;
}
int main()
{
    int i,j,k,ans,t,n;
    //freopen("poj1065.txt","r",stdin);
    cin>>t;
    while (t--){
          cin>>n;
          memset(f,0,sizeof(f));
          for (i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].l>>a[i].w;
          sort(a+1,a+n+1,cmp);
          f[1]=1;
        for (i=2;i<=n;i++){
          f[i]=1; 
          for (j=1;j<=i-1;j++)
            if (a[j].w>a[i].w) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        }
        ans=0;
        for (i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i]);
        cout<<ans<<endl;
       } 
    //fclose(stdin);
    return 0;
}

poj1631以前做过了......还是求LIS的问题

poj3666题解:https://www.cnblogs.com/edmunds/p/12306923.html

poj2392题解:https://www.cnblogs.com/edmunds/p/12783660.html

poj2184题解:https://www.cnblogs.com/edmunds/p/12783708.html