1. 连续有理系统
1.1 系统函数
很多物理模型的系统都可以表示为式（1）的线性常微分方程，它显然是一个LIT系统。后面将会看到，这样的系统实现简单，却可以满足复杂的需求。需要注意的是，从系统角度，(x(t),y(t))分别是输入、输出；但从方程角度，这里(t)是变量，(x(t))为确定的函数，(y(t))则是待求的变量。而且我们知道（回顾常微分方程），这个方程由特解(y_0(t))和齐次解组成（式（2），如果(z_0)是(sum_{k=0}^n b_kz^k=0)的(r)重根，那么(e^{z_0t},te^{z_0t},cdots,t^{r-1}e^{z_0t})都是齐次解）。它有无穷多组解，即可以代表无穷多个系统。
[sum_{k=0}^ma_kx^{(k)}(t)=sum_{k=0}^nb_ky^{(k)}(t) ag{1}]
[y(t)=y_0(t)+sum_{i=1}^nc_ie_i(t),;;sum_{k=0}^nb_ke_i^{(k)}(t)=0 ag{2}]
然而，现实中的系统往往满足初始松弛条件：如果(t<t_0)时(x(t)=0)，那么(t<t_0)时也有(y(t)=0)。这个条件其实暗含了系统的因果性，且由(y^{(n)}(t))的存在性（以及所有式子非奇异），可知(y(t))满足边界条件(y(t_0)=y'_t(t_0)=cdots=y_t^{(n-1)}(t_0)=0)，这个边界条件可以确定式（2）的唯一解。满足式（1）和初始松弛的系统，可以认为是唯一的，下面就是分析它的特性。如果想知道系统的单位冲激响应，需把(x(t)=delta(t))带入方程，然而对奇异函数的求解是十分困难的。
时域上暂时无法分析，下面转向(s)域（频域），来看看系统函数(H(s))。记(x(t),y(t))的(s)域系数是(X(s),Y(s))，根据微分性质计算式（1）的(s)域系数，整理后便有系统函数式（3），它是一个实数域的分式，这样的系统称为有理系统。我们知道，分式可以分解为一阶分式和二阶分式之和，结合ROC便能得知系统的单位冲激响应。然而在没有初始松弛的限定时，分式并不能确定唯一系统。
[H(s)=dfrac{Y(s)}{X(s)}=dfrac{sum_{k=0}^ma^ks^k}{sum_{k=0}^nb^ks^k} ag{3}]
分式在分母为(0)时无意义，所以它在分母的根上一定不收敛，这些值称为分式的极点。其实，通过繁杂的论证（使用分式分解）可以知道，极点就是有理系统ROC的天然边界。特别地，因果有理系统的ROC是右平面，且以右平面为ROC的有理系统也必然是因果的。还有就是，有理因果系统稳定的充要条件是：所有极点的实部都是负数。
1.2 一阶、二阶系统
这里简单讨论一下一阶、二阶微分方程(b_0y(t)+b_1y'(t)+b_2y''(t)=x(t))所代表的因果系统。为了简化讨论，先将系统增益缩为(1/b_0)使得(y(t))的系数为(1)，再进行频域的伸缩将(y''(t))或(y'(t))的系数也化为(1)。得到的标准式如式（4）所示（只考虑稳定系统，故最高次系数为正），可以先讨论标准系统的特征，再考虑频域的缩放对原系统的影响。
[y'(t)+y(t)=x(t);;;y''(t)+2zeta y'(t)+y(t)=x(t) ag{4}]
先看一阶系统，它的频率响应为(dfrac{1}{1+jomega})，单位冲激响应为(e^{-t}u(t))。Bode图上（图见上一篇）的分贝数为(-10log_{10}(1+omega^2))，当(omega o 0)时趋于(0)，当(omega oinfty)时趋于(-20log_{10}omega)。在对数尺度上它们是两条直线，相交点(omega=1)称为转折频率，此处与原值有最大偏差3dB。Bode图上的相移，当(omega o 0)时趋于(0)，当(omega oinfty)时趋于(-pi/2)，在(omegain[0.1,10])上也有近似直线。这个例子就体现了Bode图的优势。
再看二阶系统，其频谱响应为(dfrac{1}{(jomega)^2+2zeta(jomega)+1})，也是一个近似低通滤波，请自行讨论其Bode图的性质。(zeta>0)称为阻尼系数，当(zeta>1)时可以拆分为两个一阶系统之和，它称为过阻尼的。当(zeta<1)时为一般的二阶系统，前面知道，它的单位冲激响应有波动和超量（含正弦函数），称为是欠阻尼的。而(zeta=1)时为一阶二次系统，称为临界阻尼，它比过阻尼系统有更快的响应速度，又没有欠阻尼系统的波动和超量。
2. 离散有理系统
2.1 系统函数
离散信号也有类似的有理系统，它一般表示为式（5）的常系数差分方程，它也是LIT系统。这个方程的解也可以表示为特解和齐次解的线性和（式（6）），如果(z_0)是(sum_{k=0}^Nb_kz^{N-k}=0)的(r)重根，则(z_0^n,nz_0^n,cdots,n^{r-1}z_0^n)都是齐次解。现实中的系统还要满足初始松弛条件：如果(n<n_0)时(x[n]=0)，那么(n<n_0)时(y[n]=0)。初始松弛了确保了系统的因果性，而且确定了唯一的输出信号，因为式（5）可以看成是递归方程(y[n]=cdots)。当(N=0)时方程是非递归的，这时可以直接写出单位脉冲响应（式（7），根据脉冲响应的累加性），它是一个有限脉冲响应系统（FIR）。
[sum_{k=0}^Ma_kx[n-k]=sum_{k=0}^Nb_ky[n-k] ag{5}]
[y[n]=y_0[n]+sum_{i=1}^nc_ie_i[n],;;sum_{k=0}^nb_ke_i[n-k]=0 ag{6}]
[y[n]=sum_{k=0}^Ma_kx[n-k];Rightarrow;h[n]=a_n,;(0leqslant nleqslant M) ag{7}]
接着利用LT的时移性质，不难得到系统函数为式（8），仍然可以把它看成关于(z^{-1})的分式。分式的极点其实就是多项式(sum_{k=0}^Nb_kz^{N-k})的根，可以证明极点是有理系统ROC的天然边界。特别地，因果有理系统的ROC是一个圆外区域，且以圆外区域为ROC的有理系统也必然是因果的。还有有理因果系统稳定的充要条件是：所有极点都在单位圆内。这些性质都与连续系统相对应。
[H(z)=dfrac{Y(z)}{X(z)}=dfrac{sum_{k=0}^Ma_kz^{-k}}{sum_{k=0}^Nb_kz^{-k}} ag{8}]
有了系统函数，便可以将它分解为多个一阶、二阶系统之和，也就能得到单位脉冲响应。另外根据(delta[n-n_0]overset{Z}{leftrightarrow}z^{-n_0})可知，如果系统函数能写成式（9）左，则可以直接写出单击脉冲响应（式（9）右）。回看式（7）便有了另外一种解释，对于其它系统函数（不限于有理系统），也可以通过泰勒级数得到式（9）左的格式。
[H(s)=sum_{kinBbb{Z}} a_kz^{-k};;Rightarrow;;h[n]=a_n ag{9}]
2.2 一阶、二阶系统
现在简单讨论一下一阶、二阶差分方程所代表的系统，由于频域的缩放不同于连续系统，这里的标准式仅将(b_0)统一为(1)。一阶系统（式（10））的频率响应为(dfrac{1}{1-ae^{-jomega}})，单位脉冲响应为(a^nu[n])（只讨论稳定的因果系统），其中(0<|a|<1)。(a>0)时表现为一个低通滤波，(a o 1)时往低频集中；(a<0)时则表现为一个高通滤波，但它有震荡和超量。
[y[n]-ay[n-1]=x[n] ag{10}]
二阶差分有标准式（11），其中(0<r<1,0leqslant hetaleqslantpi/2)，它是一个低通滤波，(r o 1)时往低频集中。这里只讨论稳定的因果系统，且不讨论过阻尼系统（可分解为两个一阶系统之和）。当( heta>0)时，系统的单位脉冲响应是式（12），它是一个欠阻尼系统，有震荡和超量（( heta opi/2)时震荡加剧、但过渡带变窄）。当( heta=0)时，系统的单位脉冲响应是式（12）的极限，它是一个临界阻尼系统，没有震荡和超量。
[y[n]-2rcos heta y[n-1]+r^2y[n-2]=x[n] ag{11}]
[h[n]=dfrac{sin\,(n+1) heta}{sin heta}r^nu[n] ag{12}]
3. 线性反馈系统
3.1 线性反馈系统
为了实现有理系统，这里需要展开讨论一下反馈系统的概念和性质，限定在LIT中也叫线性反馈系统。反馈系统可以根据之前的输出调整输入信号，以修改后续的输出结果，它有较强的纠错性和抗干扰性。典型的反馈系统如图所示，其中LIT系统(H(s))和(G(s))所在的分别叫正向通路和反馈通路，整个构成一个闭环系统，没有反馈通路的系统也叫开环系统。
根据(R(s)=X(s)+G(s)Y(s))和(Y(s)=H(s)R(s))，可有式（13）成立，也就是说整个闭环系统还是LIT系统，且其系统函数为(Q(s))（一般假定为因果系统）。(Q(s))的分式形式会为系统设计带来很大的发挥空间，这里简单举几个例子。比如式（14）是(P(s))的近似逆系统；式（15）利用稳定的衰减器(K)得到一个稳定的放大器，其中普通放大器(H(s))是不稳定的。
[Q(s)=dfrac{Y(s)}{X(s)}=dfrac{H(s)}{1-G(s)H(s)} ag{13}]
[dfrac{K}{1+KP(s)}approxdfrac{1}{P(s)},;;(Kgg 1) ag{14}]
[dfrac{H(s)}{1+KH(s)}approxdfrac{1}{K},;;(|KH(s)|gg 1) ag{15}]
反馈系统另一种广泛的应用是调节稳定性。比如一阶系统(H(s)=dfrac{1}{s-a})，加上常数反馈(K)便得到可调节系统(dfrac{1}{s-a-K})。二阶系统(dfrac{1}{s^2+as+b})需要同时调节一次项和常数项，也只需加上反馈(K_1s+K_2)，其中(s)是微分系统。对离散一阶系统(dfrac{1}{1-az^{-1}})，可以使用时移反馈(Kz^{-1})使其变成可调节系统(dfrac{1}{1-(a+K)z^{-1}})。
3.2 稳定性判定-根轨迹法
稳定性在系统设计中，往往是首先要满足的，而稳定性的判定就变得尤为重要。在闭环系统中，一般会给(H(s)或(G(s))设定一个可调系数，使得系统分母为(1-KG(s)H(s))。系统稳定的充要条件是，式（16）的根不出现在虚轴及其右半平面上，这里把(D(s))与(K)分隔开来，是为了分析过程不受(K)的影响。记(D(s))分子、分母中较高的次数为(N)，则式（16）有(N)个根（可能有重根，对特殊(K)也许少于(N)）。另外我们有理由相信，随着(K)从(-infty)到(+infty)连续变化，这(N)个根的轨迹一定也是连续的。
[D(s)=G(s)H(s)=dfrac{1}{K} ag{16}]
观察根的轨迹、以判定系统稳定性的方法，就叫根轨迹法。对于简单的分式(D(s))（次数小且只有一阶因式），其实是可以根据分式特点描述出精确的根轨迹的。首先易知，当(K o 0)时根趋向于(D(s))的极点，而(K oinfty)时根趋向于(D(s))的零点。可以想象，每一个极点、零点都是根轨迹的端点；如果把根轨迹按(K)的正负分为两个分支，则每个分支都起于零点而终于极点。然后易知实数轴上的每一点都在根轨迹上，而且被(2N)个极点、零点分隔为(2N)段（两个无穷大视为同一个点，重根之间视长度为(0)），(D(s))在每一段的值正负交替（最右段为正）。
接下来看实轴上的分段与根轨迹分支的关系。如果分段的两端分别为极点、零点，那么这个分段一定是根轨迹的一个分支。否则分段的两端是两个分支的端点（包括重根处），这两个分支在分段上的某一点分道扬镳，进入到实轴外的复平面。而实轴之外的根轨迹一定是以实轴对称的，故两个分支走向相反的反向。当然，出走的分支终会和另一个符号相同、端点互异的分支衔接，极点、零点的成对性可以保证这一点。
至于实轴外根轨迹的形状，这里只能做简单讨论。首先，两个分支的相遇点(s_0)其实就是式（16）的重根，所以有(D'(s_0)=0)。然后看伸向无穷远的分支（与无穷远的极点、零点会合），记(D(s))的零点、极点之和分别为(p,q)（不包含无穷点），当(s oinfty)时有式（17）成立。利用该式对比(D(s)=-1/K)和((s-sigma)^l=-1/K)根，可知它们的差随着(s oinfty)而趋于(0)。后者的根是(l)条经过((sigma,0))、角度为(2kpi/l)的直线，它们就是根轨迹的渐进线。拿二次式举例来说，如果有两个有穷外出点，它们之间的半圆弧就是根轨迹（需证明）；如果只有一个有穷外出点，垂直平分线就是根轨迹。
[D(s)=dfrac{s^m-ps^{m-1}+cdots}{s^n-qs^{n-1}+cdots}=(s-sigma)^l+o(s^{l-1}),;;(l=m-n,;;sigma=dfrac{p-q}{l}) ag{17}]
3.3 稳定性判定-Nyquist判据
根轨迹法只能适用于简单的分式，而且难以将轨迹与具体的(K)值相对应。如果有计算机辅助，对具体的(K)值，是可以求解式（6）的根的。但这个方法又缺少对动态的(K)的讨论，而本段介绍的奈奎斯特（Nyquist）判据就可以跟踪(K)值做稳定性判断（需要计算机辅助）。
先来复习一下复变分式(D(s))的性质，它的辐角是所有分子因式(s-alpha_i)的辐角和、减去所有分母因式(s-eta_j)的辐角和。当(s)沿某个闭环（单环）顺时针绕转一周时，对不在闭环内的极点、零点，因式的辐角恢复原值；但对在闭环内的极点、零点，因式的辐角分别增加、减少了(2pi)；而对闭环上的点则比较复杂，需要单独讨论、或事先排除这种情况。复变函数的辐角变化(2pi)的整数倍，虽然不影响函数值，但在连续性讨论中（值的轨迹、微分）至关重要。设闭环内有(P)个零点、(Q)个极点，可知(D(s))辐角总共减少了(2(P-Q)pi)，即值的轨迹绕原点顺时针旋转了(P-Q)圈。
有了这个结论，下面继续讨论式(1-KD(s))或(F(s)=D(s)-1/K)的零点分布。这里不考虑(K=0)的特殊情况，以及要求(D(s))分母的阶不小于分子的阶，这样(F(s))的零点都是有穷的（极点就是(D(s))的极点，也是有穷的）。构造一个如图所示的闭环，当直径足够大后，它能包含右半平面所有的极点(N_p^+)和零点(N_0^+)。而直径趋于无穷时，圆弧上趋于定值，(F(s))的轨迹长度在这里也趋于(0)，所以(F(s))轨迹最终等价于(F(jomega))的轨迹。
借助计算机画出(D(jomega))的轨迹，它绕((1/K,0))顺时针旋转的次数(N_c)，其实就是(F(jomega))绕原点顺时针旋转的次数。如果((1/K,0))在(D(jomega))的轨迹上，说明(F(jomega))在虚轴有零点，系统不稳定。否则有关系式(N_c=N_0^+-N_p^+)，系统稳定的充要条件是(N_0^+=0)即(N_c=-N_p^+)，描述成(D(jomega))的轨迹绕((1/K,0))逆时针旋转的次数，应当等于右半平面的极点数。顺便说一句，(N_c)当然也能表示左半平面零点极点的关系，但由于总的零点极点数相等，其实并不会有新鲜的结论。
可以看到，把(D(s))和(K)分割开来，可以跟踪动态(K)对系统稳定性的影响，而且(D(jomega))与((1/K,0))的距离也能表示系统允许的波动范围，这个距离称为系统的稳定性裕度。还有至于离散系统，把虚轴映射成单位圆，即有系统稳定的充要条件是：(D(e^{jomega}))在(omegain[0,2pi])上的轨迹绕((1/K,0))逆时针旋转的次数，应当等于单位圆外的极点数。
3.4 有理系统的框图
有理系统不仅功能强大，而且实现简单，本节使用框图来表示有理系统。首先，理论上任何分式都可以分解为简单分式（多项式）的和或者积，只要先构造出简单有理系统，通过级联、并联总可以构造出任何有理系统的框图。然而实际使用中，还要考虑器件的可靠程度和复用程度，比如微分器就没有积分器简易稳定。为了说明问题，先从最简单的一阶分式系统(1/(s-a))讨论起。结合反馈系统的式（13）、以及尽量使用积分器(1/s)，可设(H(s)=1/s,;G(s)=a)。
这个框图还有另外一种解释，为此来看系统的微分方程(y'(t)-ay(t)=x(t))，并改写成(x(t)+ay(t)=y'(t))。(ay(t))是(y(t))放大后的反馈，且与(x(t))合并后做为正向通路的输入。再看正向通路输入(y'(t))、输出(y(t))，(H(s))自然应当是积分器(1/s)。这种视角可以扩展到任何分式(dfrac{1}{f(s)},;f(s)=s^n-a_1s^{n-1}-cdots-a_n)，正向通路上是(n)个积分器，第(k)个积分器的输出放大(a_k)倍后反馈到输入信号。
对于一般分式(dfrac{g(s)}{f(s)})，只需看成两个系统级联(dfrac{1}{f(s)}cdot g(s))。其中多项式(g(s))可直接由微分器和放大器组成，然而利用微分器和积分器的互相抵消，可直接从(dfrac{1}{f(s)})的积分器后引出所需信号。图示是分式(dfrac{s^2+3s+5}{s^2-2s-4})的系统框图，这样的图称为直接型框图。值得提醒的是，虽然分析过程使用了系统函数，结果的框图却是与之无关的。这就更加确定，(s)域分析或基波的选择只是工具和跳板，最终还是要回到对时域的影响。
最后来看离散系统，所有的分析都很类似，但还是要注意方程不同带来的框图差异。比如分式(dfrac{1}{1-az^{-1}})所代表的系统(y[n]-ay[n-1]=x[n])，输出(y[n])移位放大后的(ay[n-1])，反馈给(x[n])后又直接输出为(y[n]) 。这将导致离散系统直接型框图的一些差异，图示为分式(dfrac{1+3z^{-1}+5z^{-2}}{1-2z^{-1}-4z^{-2}})的系统框图（(z^{-1})为移位操作），与差分方程的对应关系还是很直观的。
