1. 势
在上一篇我提过自然数“量”和“序”的双重性质，如果再仔细斟酌，“量”其实是由“序”产生和决定的，把有限的元素按某个顺序排列起来，正是我们确定其数量的过程。那么对于无穷集，“量”和“序”还有这样的关系吗？无穷集的“量”和“序”又该如何定义呢？既然它们产生于自然数，那么答案自然就在自然数的扩展中。对于有限集的量(n)，可以看作是有限集的元素与(n)的元素的一一对应。这个直观的方法同样适用于无穷集，如果能找到一个标尺，将无穷集的元素和标尺的元素一一对应，那就能得到无穷集的“量”。
暂且不管这个标尺是什么，我们需要先检验这个方法的合理性，至少“相等”是可以被定义的。直觉上我们往往采用大小或包含关系来推导集合是否一样大，但这样的直觉却是不可靠的，也不是一种良性的定义，数学上需要“好”的定义。对于存在一一映射的两个集合(A)、(B)称其为等势（equinumerous），记做(Aapprox B)，容易证明，等势可以作为“量相等”的定义。有时可以找到一些函数，使得局部和整体能一一映射，比如(2n)映射了自然数和偶数，(cotpi x)映射了((0,1))和实数(Bbb R)，所以它们也是“一样大”的。
“大于”、“小于”也可以用类似的方法定义：如果从集合(A)到集合(B)存在单射，则称(A)受制于(B)，记作(Apreccurlyeq B)。如果(A)、(B)不等势，称(A)严格受限于(B)，记作(A prec B)。受制的良性需要保证，这就是如下的SB定理（Schröder-Bernstein）。证明中假设分别有单射(f:A o B)和(g:B o A)，需要构造(A)、(B)的分割，使得(f(A_1)=B_1)、(g(B_2)=A_2)。对(Xin A)，记(X^*=A-g(B-f(X)))，从(A)开始逐渐缩小(X)，并保证(X^*subseteq X)，最小的那个（满足条件的(X)的交）便是(A_1)。SB定理是判断集合等势的有力武器，用它可以轻松证明任何区间都与实数集(Bbb R)等势。有受制关系的集合称为可较的，它是比较集合大小的“好”定义，但问题是所有集合都可较吗？这个问题需要暂且搁置，后面再提。
[Apreccurlyeq Bwedge Bpreccurlyeq ARightarrow Aapprox B]
利用等势，“有限”和“无穷”就可以被精确定义了：和某个自然数等势的集合称为有限集，否则称为无穷集。这个定义的良性也是需要证明的，即证不同的自然数不等势（需用归纳原理），从而有限集(A)只与一个自然数等势，这个自然数也叫集合的势，记作(N(A))。用归纳原理可以证明有限集(A)的真子集(B)也是有限集，且有(N(A)>N(B))。反之，如果集合与其真子集等势，则它必是无穷集，这也可以作为无穷集的定义。无穷集中以(omega )最为特殊，受制于( omega )的集合叫可数集，它的每个元素都可以被“数”到。偶数集、整数集(Bbb Z)等都是可数集（容易证明），由下图还可以证明(omega imes omega)可数，即可数个可数集可数，这个结论可以直接推到2维、3维...可数维空间的整数点都是可数的。有理数都可以表示成分数，而分数可看作2维空间的子集，所以有理数集(Bbb Q)也是可数的。
那么有没有不可数的无穷集呢？康托尔本人给出了否定的答案，这就是著名的“对角论证法”。这里稍作修改，考虑区间([0,1))，假设它是可数的，用二进制数表示它们。再构造一个数(x)，它的第(i)位小数与(a_i)的第(i)位小数相反，则(x)不能被数到，矛盾。一般地有，任何集合的幂集与该集合不等势（(Xprecmathscr P(X))），证明思想和“对角证明法”如出一辙。假设存在一个一一映射(f:X omathscr P(X))，构造(B={xin X|xin f(x)} )，则(B)没有原像（反证），矛盾。由于(mathscr P(X)approx 2^X)，该定义还可以写成(Xprec 2^X)，从而任何集合都有比它还“大”的集合。
(omega )的势一般用(aleph _0)表示，(Bbb R)的势一般用(C)表示，([0,1])的二进制表示可以看做是自然数子集的比特表示，所以有(Bbb Rapprox 2^{omega})和(C= 2^{aleph _0})。(aleph _0)是最小的无穷势，假设下一个无穷势记作(aleph _1)，那么它会是(C)吗？更一般地问题是，是否有(2^{aleph _{alpha}}=aleph _{alpha +1})？这就是著名的连续统假设（CH，Continuum Hypothesis，((0,1))称为连续统）和广义连续统假设，由康托尔提出并尝试证明，但并未完成。希尔伯特（Hilbert）在1900年提出了20世纪待解决的23个重要数学问题，连续统假设被列在问题之首。后来哥德尔证明了它与ZFC的兼容性，科恩（Cohen）用力迫法证明了其独立性，也就是说连续统假设并不能在ZFC系统内证明，但至今仍未找到合适的公理使其成立。
Hilbert（1862 - 1943） Cohen（1934 - 2007）
2. 良序
有一个常用的证明方法，它从给定的一簇集合中各选取一个代表元素，这些元素能否组成集合并不能由前面的公理推得。策梅洛为这个方法专门提出了选择公理（AC），后人证明了AC与ZF的兼容性和独立性。当集合数量无穷时，这样的操作并不能通过有限步的推理完成，因此这个方法一直被构造派所抵制。但数学中的很多重要结论都无法绕开AC，甚至反对者自己也在不自觉地使用着它，后来反对的声音自然也就变弱了。AC可以从之前的概念中得出许多有用的结论，比如如果存在满射(f:A o B)，则存在单射(g:B o A)，再比如无穷集中可以抽取出和(omega)等势的子集，从而无穷集总是和其真子集等势（可以做无穷集的定义）。
【ZFC-8】选择公理（Atom of Choice）：对集簇((A_i)_{iin I})，存在簇((a_i)_{iin I})。
现在继续讨论对自然数的扩展，以得到我们的标尺，标尺上是有序排开的刻度。满足自反性、反对称性和传递性的关系称为偏序（partial order），偏序中可以方便地引入(leqslant)、(<)等符号，它们将元素组成了一个网状。标尺当然要是线状的，这需要每个元素都可较，这样的偏序称为全序（total order）或线性序（linear order）。要扩展自然数，它还要满足最小数原理（任何子集有最小元），这样的全序叫良序（well order），良序集几乎包含了自然数的所有特性。对于线状的全序，截取其左边部分称为截断，而(s(a)={xin A|x<a})称为(a)在(A)中的前段（initial segment），不同于截断的是，前段都有一个“后继者”。由最小数原理容易得知良序的截断都是前段，这是它区别于一般全序的重要特性，并由此可以得出以下的超限归纳原理和超限递归原理：
超限归纳原理（Transfinite Induction Principle）：若(A)是良序(W)的子集，且有(forall ain W(s(a)subset ARightarrow ain A))，则(A=W)。
超限递归原理（Transfinite Recursive Theorem）：存在满足递归定义(u_a=f(u estriction s(a)))的函数。
结构相同（同构）的良序可以看做是“相等”的，准确地说对于良序((X,leqslant _X))和((Y,leqslant _Y))，如果存在双射(f:X o Y)使得(aleqslant _XbLeftrightarrow f(a)leqslant _Yf(b))，则称(X)、(Y)相似（isomorphic），记作(X simeq Y)。可以直观地想象，全序集上的相似映射可以左右移动，但有头无尾的偏序只能向右移动，从而良序到其子集的相似映射总有(xleqslant f(x))，进而可以得出良序不能和其截断相似和良序间相似映射的唯一性。对于任意两个良序的比较，自然是选择头部对齐，看看谁更长，由超限递归原理容易证明它们要么相似，要么一个相似于另一个的前段。
标尺的框架（良序）已经有了，一个自然的问题是，任何集合的元素都可以对应到标尺的刻度上吗？换句话说，任何集合都可以良序化吗？康托尔提出了这个问题（良序化原理），但却未能解决，策梅洛提出了选择公理并给出了证明。证明过程完全基于选择公理，并反复用到超限归纳原理，只是要注意归纳原理仅作用于良序，证明中需要一些常用技巧和处理。有了良序化原理，就可以回答任何集合是否可较的问题，因为任何集合可以良序化，而良序集可较，所以任何集合可较，即(Aapprox B)、(Aprec B)和(Bprec A)恰有其一成立（三歧性）。
良序原理可以得到另一个基本结论，它就是Zorn引理：如果序集的任意链有上界，则它有极大值。证明中可以将(M)良序化来构造想要的极长链，从而得到极大值。在没有选择公理和良序原理时，如果承认Zorn引理，也是可以证明选择公理的，它等价于证明一个关系中有一个定义域相同的函数，可以通过将所有函数组成包容序来解决。至此，选择公理、良序原理和Zorn原理可互相推导，它们可以看做是等价的。
3. 序数和基数
标尺的框架和可行性已经解决了，接下来就是来标刻度了。按照自然数的定义，我们自然想到这些刻度应该是(1,2,3,cdots ,omega ,omega ^+,cdots)，但想用一句话概括它们还是得有严格的定义：满足条件(forall xinalpha (s(x)=x))的良序集(alpha)称为序数。容易证明自然数都是序数，而且如果(alpha)是序数，则(alpha ^+)也是序数，所以(omega ,omega ^+,cdots)都是序数。容易证明任何序数中都含有(0)，而且其元素也是序数，用超限归纳原理还可以证明相似的序数必是相等的，从而序数的“唯一性”就得到了保证。序数都是良序集，它们也就满足三歧性，所以它们可以一字排开，而且每个序数的“后序数”都是它的后继者。
那么还有最后一个问题：所有集合（或良序集）都有其对应的序数吗？回答这个问题之前需引进另一个公理，这就是下面的替换公理。替换公理在没有限制集的情况下承认一类集合的存在，因为这类集合受制于已知集合，它们的存在也是合理的。但替换公理却不是独立于其它公理的，它可以完全取代子集公理，它还可以证明偶集公理。ZFC公理系统还有最后一个略显多余的正则公理，它避免了过大集合的产生，但其它9条公理其实构造不出那样的集合。
【ZFC-9】替换公理（Atom Schema of Replacement）：如果给定集合的任一元素都有唯一的集合与之对应，这些集合可以组成集合。
[forall xin A,forall y_1forall y_2(varphi (x,y_1) wedgevarphi (x,y_2)Rightarrow y_1=y_2)Rightarrowexists B={y|exists x(varphi (x,y))}]
【ZFC-10】正则公理（Atom of Regularity）：对任意非空集合(A)，存在一个元素(x)使得(xcap A=varnothing)。
[forall Aexists x(xin Awedge xcap A=varnothing)]
有了替换公理就可以构造良序集的序数了，考察良序集中那些有序数的前段，这些序数的并（替换公理）就是要找的序数，这就是我们要的计数原理：任何良序集(X)都相似于唯一序数(alpha)，记作(alpha ={ m ord}(X))。序数可以作为自然数的扩展，不是自然数的序数叫超限数，可以按如下方法定义序数的加法和乘法，它们满足大部分运算定律，但乘法不满足交换律和右分配律。
（1）(alpha +eta ={ m ord}(hatalphacuphateta ))，其中(hatalpha ={(x,0)|xinalpha})、(hateta ={(1,y)|yineta})；
（2）(alphacdoteta ={ m ord}(alpha imeseta ))。
序数仅能扩展自然数“序”的性质，但却不能体现“量”的性质，因为不同的序数可以是等势的。这些等势的序数有最小者，把它作为“量”的度量，称为基数（cardinal number），记作({ m card}(X))。基数是势的量化描述，非自然数的基础称为超限基数，显然(aleph _0)是最小的超限基数。由序数原理自然可知每个序集都有都有对应基数，这样SB定理变得十分显然，但要知道序数定理是基于选择公理的，而SB定理本身不依赖选择公理。基数的加法、乘法和幂都容易定义，以及一般的运算律都容易证明，这里不再赘述，值得一提的是以下运算律，它们可以通过Zorn引理和反证来证明。
（1）加法吸收律：(b)为超限基数，且(aleqslant b)，则(a+b=b)；
（2）乘法吸收律：(b)为超限基数，且(1leqslant aleqslant b)，则(acdot b=b)；
（3）幂的降底律：(b)为超限基数，且(2leqslant aleqslant b)，则(a^b=2^b)。
看起来我们在无穷的道路上已经走远，但其实这只是个开始，当沿着(omega ,2omega ,cdots ,{omega ^2},{omega ^3},cdots ,{omega ^omega},{omega ^{{omega ^omega}}},cdots)一路思考下去，你将彻底迷失……
【全篇完】