1. 实数基本定理
实数的构造理论为实数及其完备性奠定了严格的基础，但为了研究分析学的方便，我们需要更符合“直觉”的结论。在这之前，先来了解一些重要的概念。
对于一个基本序列，我们的直觉是它将逐渐逼近某个数，这个数一般称为数列的极限。极限的严格定义由维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出：一个实数列({x_n})如果满足条件(1)，则称它为收敛的（converge）或收敛于(a)，而(a)称为({x_n})的极限（limit），记作(limlimits_{n oinfty}{x_n}=a)或(x_n o a)。容易证明极限如果存在，则必是唯一的。不收敛的数列称为是发散的（divergence），其中如果满足条件（2），也可以说成是极限为(infty)，同样可以定义极限(+infty)和(-infty)。极限定义澄清了无穷的概念，而且可以更好地描述实数的连续性，它将成为我们的常用语言。
[forallvarepsilon>0exists N(n>NRightarrowleft|{x_n-a} ight|<varepsilon) ag{1}]
[forall E>0exists N(n>NRightarrowleft|{x_n} ight|>E) ag{2}]
数列是关于自然数的函数，如果将定义域换成实数集，就成为我们所熟悉的一般意义上的函数。关于实数集，大家最熟悉的就是区间（开区间、闭区间、半开半闭区间），开区间((a-varepsilon,a+varepsilon))叫做(a)的(varepsilon)-邻域（neighborhood），而((x-delta,x)cup(x,x+delta))叫(x)的去心(delta)-邻域。类似地我们可以有函数的极限定义：若函数(f(x))在(a)处满足条件（3），则称(f(x))在(a)处收敛于(A)，记作(limlimits_{x o a}{f(x)}=A)或(f(x) o A,(x o a))。类似地可以有单侧极限(x o a^+,x o a^-)，以及无穷极限(x o+infty,x o-infty)。
[forallvarepsilon>0existsdelta>0(left|{x-a} ight|<deltaRightarrowleft|{f(x)-A} ight|<varepsilon) ag{3}]
关于数列还有几个有用的概念，比如逐渐递增或递减的数列称为单调数列，数列中任取无穷个元素按原序组成的数列称为其子列。如果数列或实数集的所有数不大于(M)，(M)称为数列或实数集的上界，上界中的最小数称为上确界，记作(sup{X})。类似地有下界和下确界(inf{X})，同时有上界和下界的数列或数集称为是有界的（bounded）。若(a)的任何(varepsilon)-邻域内都含有数集(X)的元素（不包含(a)），(a)称为(X)的聚点。闭区间序列([a_n,b_n])如果满足([a_0,b_0]supset[a_1,b_1]supset[a_2,b_2]supsetcdots)，它称为区间套。能涵盖数集(X)的开区间集(sum)称为它的覆盖，若数集(X)的任何覆盖都有有限子集能覆盖数集(X)，则(X)称为紧集。
有了这些基本概念，我们就来看看实数的基本定理，它们又叫实数连续性（continuuity）的基本原理。其中定理（3）（8）对函数也同时成立，相关定理请自行脑补。
（1）戴德金分割定理：实数集的戴德金分割的右集总有最小值；
（2）确界存在定理：有上（下）界的实数集必有上（下）确界；
（3）单调有界定理：单调有界的数列必收敛；
（4）区间套定理：至少有一个实数属于所有区间套；
（5）有限覆盖定理：闭区间是紧集。
（6）聚点定理：有界实数集至少有一个聚点；
（7）子列定理：有界数列必有收敛子列；
（8）柯西判定定理：实数基本序列收敛。
大部分定理都很“直观”，我们希望可以直接使用它们，而不是通过实数定义来证明。这样的要求并不过分，况且我们在上一篇中也已经证明了（1）或（8）是成立的。当抛开实数定义时，我们唯一的顾虑是：它们之间互相兼容吗？是否存在矛盾呢？答案是让人欣慰的，它们不仅兼容，甚至是等价的！也就是说以任何一个作为公理，都可以成功推导出其他7个定理。相信你已经明白我的意思了，现在我们就来构造一个推导环路，来串联这8个定理。
((1)Rightarrow(2))。若(A)有上界，定义分割(X={x<a|ain A})，可以证明(overline{X})的最小值即为(A)的上确界。
((2)Rightarrow(3))。考察单调数列的确界，它就是数列的极限。
((3)Rightarrow(4))。闭区间的边界构成单调数列，且它们互为界限，则必有极限(a,b)，闭区间([a,b])包含于任一个区间。
((4)Rightarrow(5))。假设不能有限覆盖，每次取有无限覆盖的那一侧，考察区间套的公共点，它必能被一个开区间覆盖，矛盾。
((5)Rightarrow(6))。假设实数集(X)没有聚点，考察能包含它的的闭区间([a,b])，在区间上每一点(y)都可以取足够小的领域，使其不包含(X)除(y)之外的点。则这些领域中有限个可以覆盖([a,b])，但它们仅包含有限个(X)中的点，这与(X)有无穷项矛盾。
((6)Rightarrow(7))。考虑集合元素组成的集合，它必有聚点，总可以选取一个收敛于聚点的子列。
((7)Rightarrow(8))。容易证明基本序列有界，它必有收敛子列，证明所有数都收敛到该子列的极限值。
((8)Rightarrow(1))。用中分法取一个逐渐靠近分割的数列，容易证明它是基本序列，证明它的极限即为右集的最小值。
这里选取的环是最讨巧的证明方法，你可以尝试其它路径，也许会有有趣的发现。有界集的聚点也必然是有界的，可以证明这些聚点的确界也是聚点，它们的上（下）确界也称为变量的上（下）极限，记作(overline{lim},underline{lim})或(limsup,liminf)，有时用上（下）极限会使表达更简洁，这里就不展开说了。
2. 极限理论
接下来的内容将数列和函数合并讨论，为了论述方便统一用“变量”来表示它们。关于极限我们有三个层次的问题需要解决：（1）证明变量收敛于某个值；（2）判断变量的敛散性；（3）求变量的极限值。下面就从这三方面介绍一些常用方法和结论，有些方法技巧性很强，需要多加思考和练习，而某些结果被广泛应用，需要作为基本结论看待。
2.1 证明收敛
判断变量收敛于某个值往往出现于已经知道极限的情形，经常用于检验一些比较直观的结论，比如初等函数的极限值。还有一些场合，我们可以先猜测极限值，然后再用定义去证明。证明中会涉及到不少表达式变换和不等式，需要较好的综合素养，我打算另开课题介绍常用的等式和不等式。有时证明中还要用到极限的一些简单性质，比较常用的有以下4个。
• 收敛数列有界，收敛函数在足够小的领域内有界；
• 变量最终都会落在任一包含极限值的区间内；
• 变量四则运算的极限等于变量极限的四则运算；
• 复合函数的极限即是极限的函数值。
下面来几个习题来锻炼一下，请务必从极限定义出发来证明。作几点提示：（1）二项式定理是连接指数变量到幂变量的桥梁，要善用二项式定理产生合适的不等式；（2）均值不等式是把万能钥匙，随意尝试都会有神奇的效果；（3）熟练地使用极限的简单性质，对表达式做适当的缩放和限制。
• 证收敛：(sqrt[n]{a} o 1)，(sqrt[n]{n} o 1)，((n+1)^k-n^k oinfty(k>1))；
• 证收敛：(sqrt[k]{x} osqrt[k]{a},(x o a))；
• 已知(x_n-x_{n-2} o 0)，求证(dfrac{x_n-x_{n-1}}{n} o 0)；
• 已知(x_n o a,y_n o b)，求证(dfrac{sumlimits_{k=0}^n{x_ky_{n-k}}}{n+1} o ab)；
• 求证(x o a)充要条件是(ln x oln a)；
• (a_n o a)，(t_{nk}geqslant 0)，(t_{nk} o 0)，(sumlimits_{k=1}^n{t_{nk}}=1)，证明(sumlimits_{k=1}^n{t_{nk}a_k}=a)。
两个比较特殊的极限是(0)和(infty)，对应的变量称为无穷小（量）和无穷大（量），(infty-infty,0cdotinfty,dfrac{0}{0},dfrac{infty}{infty})型的极限计算称为不定型。无穷大（小）可以作为一个实在的数看待，但却不能用极限值简单替代，它必须含有趋势的性质，也就是说还有动态的概念。这样的话，两个无穷大（小）就不能仅根据极限值来进行比较，“变化趋势”也成为一个重要的参数。考察变量(dfrac{x}{y})，对以下三种情况分别定义无穷大（小）的阶。
（1）(dfrac{x}{y} o 0)，(x,y)对另一个变量称为低阶的或高阶的，记作(x=o(y))；
（2）(dfrac{x}{y} o A)，(A)是有限非0数，(x,y)称为同阶的，记作(x=O^*(y))；若(A=1)，(x,y)称为等阶的，记作(xsim y)；
（3）(left|dfrac{x}{y} ight|<A)，(A)有限，记作(x=O(y))。
初等函数具有以下大小关系，其中(1<a<b,x oinfty)，(mll n)表示(n)是(m)的高阶无穷大。这些关系经常被用到，你可以作为练习自己证明。
[{log_b}xll{log_a}xll x^all x^bll a^xll b^xll x!ll x^x]
容易证明，等价变量在乘除法的极限运算中可以互相替换，这将大大简化计算。以下是常用的等价关系((x o 0))，它们更深入的结论将被泰勒公式彻底揭示，这里就不举例说明了。
• (sin{x}sim an{x}sim xsimarcsin xsimarctan x)，(1-cos{x}simdfrac{1}{2}x^2)；
• (sumlimits_{k=0}^n{a_kx^k}sim a_nx^n)，(sqrt[k]{x^l+o(x^l)}sim x^{frac{l}{k}})；
• ((1+x)^a-1sim ax)，(ln{(1+x)}sim e^x-1sim x)。
2.2 判断敛散性
我们的第二个任务是判断变量的敛散性，广义地讲这个问题有一定难度，但借助于一些结论我们可以解决某些类型的变量。这里就介绍几种常用的结论，有时候我们可以顺便得到极限值，但更多时候只能判断敛散性。
首先就是大家可能还有印象的夹逼法则，它是说如果(xleqslant yleqslant z)，且(x o a,z o a)，则(y o a)。这个结论比较容易证明，它能解决的问题在形式上特点也很明显，变量在低阶的变化可以化简表达式，比如下面的问题：
• 求极限(sqrt[n]{sumlimits_{k=1}^m{a_k^n}},(a_k>0))；
• 求极限(sumlimits_{k=1}^n{dfrac{1}{sqrt{n^2+k}}})。
有些变量是累加型的，局部变量的变化趋势最终可以表现为累加量的趋势，这就是Stolz定理：(y_n)严格单调上升至(+infty)，且(limlimits_{n oinfty}{dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}=A)存在，则有(limlimits_{n oinfty}{dfrac{x_n}{y_n}}=A)。证明本身是比较好的习题，你可以从定义出发试试。Stolz定理将变量的趋势转化为片段的趋势，它是L'Hospital定理的离散形式，很多时候能化腐朽为神奇，但其形式多变，要善于辨识和变换。一些无穷小数列以递推式出现，利用Stolz定理甚至可以计算它的等价无穷小。尝试一下下面的问题吧：
• 已知(a_n o a)，求证(dfrac{sumlimits_{k=1}^n{a_k}}{n} o a)；
• 求证(dfrac{n}{sqrt[n]{n!}} o e)；
• (0<x_0<1)，(x_{n+1}=x_n(1-x_n))，求证(nx_n o 1)；
• (x_0>0)，(x_{n+1}=sin{x_n})，求证(sqrt{dfrac{n}{3}}x_n o 1)。
有时候我们并没有极限值作为参考，判断敛散性就只能借助单调有界定理和柯西判定定理（Cauchy's criteria）。单调有界定理的使用难点往往是单调性的证明，需要用到缩放、归纳等方法，针对某些递推式还可以顺便求得极限值。来思考几个问题：
• 证明收敛并求极限：(x_{n+1}=dfrac{3(1+x_n)}{3+x_n},(x_0>0))，(sqrt{c+sqrt{c+cdots+sqrt{c}}},(c>0))；
• 证明收敛：(sumlimits_{k=1}^n{dfrac{1}{k^2}})，(prodlimits_{k=1}^n{(1+dfrac{1}{2^k})})；
• (u_0<v_0)，(u_{n+1}=dfrac{1}{2}(u_n+v_n))，(v_{n+1}=dfrac{1}{3}(u_n+2v_n))，求证({u_n},{v_n})收敛至相同值。
着重介绍一下数列(x_n=(1+dfrac{1}{n})^n)和(y_n=(1+dfrac{1}{n})^{n+1})，同过二项式的缩放容易证明(x_n)单调递增而(y_n)单调递减，且互为彼此的上（下）界。所以它们都收敛于某一有限值，而由(y_n=x_n(1+dfrac{1}{n}))可知它们的极限相等，一般记作(e)，它就是自然对数的底数，也称欧拉数。
另外，由((1+dfrac{1}{n})^n<e<(1+dfrac{1}{n})^{n+1})得到(dfrac{1}{n+1}<ln{dfrac{n+1}{n}}<dfrac{1}{n})，进而可以证明(sumlimits_{k=1}^n{dfrac{1}{k}}-ln{n})收敛，收敛值称为欧拉常数(gamma)。
使用(x_n=(1+dfrac{1}{n})^n)可以计算(e)的近似值，但它的收敛速度太慢。考察(z_n=sumlimits_{k=0}^{n}{dfrac{1}{k!}})，同样用缩放方法可以得到(x_n<z_nleqslant e)，故有(z_n o e)。其实还容易得到以下误差估计，并且结合这个式子使用反证法，还可以证明(e)是无理数。
[e=sumlimits_{k=0}^n{dfrac{1}{k!}}+dfrac{ heta}{n!n},(0< heta<1) ag{4}]
将以上结论推广到函数，也容易有(e=limlimits_{x o+infty}{(1+dfrac{1}{x})^x})。它们能很好地解决了一类极限(1^infty)的值，来试试求下面的极限吧：
• ((dfrac{n}{n+1})^n)，(nln{(1+dfrac{1}{n})})。
容易证明柯西判定定理和极限的定义其实是等价的，它是变量收敛的充要条件，并且不依赖于未知的极限值。在其它方法都走不通时，那就求助于柯西判定定理吧。需要强调的是，不管是极限定义还是柯西判定定理，你都要能准确地说出其否定定理，毕竟大部分数列都是发散的。考虑以下习题：
• 证明调和数列之和发散：(sumlimits_{k=1}^n{dfrac{1}{k}})；
• 已知(dfrac{sumlimits_{k=1}^n{x_k}}{n} o a)，求证(dfrac{x_n}{n} o 0)。
2.3 求极限
最后一个任务是求变量的极限，前面其实已经包含了不少求极限的问题，除此之外还有许多问题需要用综合的方法求解，来挑战一下下面的问题吧：
• 求极限：(prodlimits_{k=2}^n{dfrac{k^3-1}{k^3+1}})，(prodlimits_{k=1}^n{dfrac{2k-1}{2k}})；
• 求极限：(limlimits_{x o 1}{(dfrac{m}{1-x^m}-dfrac{n}{1-x^n})})；
• 已知(x_n o a,x_n>0)，求(sqrt[n]{prodlimits_{k=1}^n{x_k}})。
证得这么辛苦，一定有人要问为什么要研究极限？向前看，你已经了解到它是无穷的一个精确模型，另外极限理论还揭示了实数的本质。向后看，目前还看不到，但可以告诉你，它是分析学的基础，是人们征服“连续”所迈出的第一步。而一定意义上“连续”是包含“离散”的，它是对世界的精确度量，所以连续有时还可以应用到离散场景，比如说分析数论。另外，紧接着的微积分课程就是从极限开始的，至于微积分的重要性就不用我强调了。如果向应用学科看，数值解和逼近理论也是极限的用武之地，用足够精确的近似值来替代准确值是工业生产中常见需求。看这个简单的递推数列(x_{n+1}=dfrac{1}{2}(x_n+dfrac{D}{x_n}))，容易证明(x_n osqrt{D})，所以这个递推式是求(sqrt{D})的一个很好的途径。类似的方法数不胜数，更多高级的应用要等到学完级数理论才能展开，级数是傅里叶变换的基础，而后者的大名想必大家并不陌生吧。