当从这里开始的时候，你的行囊里不需要太多的东西，只要会整数的加减乘除即可。东西多了不仅帮不了你，反而会成为前进的负担。正如在前两篇中一样，你需要首先抛开一切固有思维，清空大脑，带着孩童般的好奇心重新认识这个世界。由于数论经常出现于奥数和智力题中，它往往被当成一种智力游戏，但随着研究的深入，你需要建立一套理论才能看清本质。我们可以从最简单的定义出发，利用理性思维建立这些理论。做题是学习数论的必经途径，你需要在不断地思考中才能有更深刻的理解，但这里我只打算叙述最基础的思想和结论。
1. 整除
数论研究整数本身（或自然数，语境自明），初等数论主要研究整数之间的关系。整数的运算中，加减是最平凡的，得不出什么深入的结论，从而乘除法是唯一可以着手的地方。考虑一个简单的等式(ma=b)（以后若不作特殊说明，所有符号表示整数），任何两个整数之间都可以有(m,a)这样的乘法运算，但却并不是所有整数都有等式中(a)与(b)的关系。为此，当(a e 0)时，定义满足等式的(a)能整除(b)，或(b)被(a)整除，(a)称为(b)的约数，(b)称为(a)的倍数，记作(amid b)，否则记为(a mid b)。
仅从定义出发可以得到整除的许多基本性质，这里就不一一列举了，只给出一个最具代表性的：式子（1），即(a)的倍数的线性组合仍是(a)的倍数。整数集线性组合的这一性质体现了元素之间的共性，以后还会继续深究，这里先举一例来感受其意义。若(amid n,bmid n)，则有(abmid nb,abmid na)，进而有(abmid n(ax+by))，所以如果有(ax+by=1)，则有(abmid n)。
[amid b_{k},(k=1,2,cdots,n):Rightarrow: amid b_1x_1+b_2x_2+cdots+b_nx_n ag{1}]
考虑(n)的所有倍数的集合({kn})，它的元素有无穷多个，且性质是平凡的，不多阐述。现在来考虑(n)的所有约数，显然它们是有限的，但我们似乎还得不出更多的结论。不妨先考察一类特殊的数：如果(p>1)除了(pm 1)和(pm p)外没有其它约数，(p)称为质数或素数，反之叫合数，今后我们会约定俗成地用(p,q)表示素数。直观上素数是不能再分解的数，它们是整数的基本因子，任何整数都可以通过有限步分解为素数的乘积。
一个自然的问题是，这样的分解唯一吗？你固有的知识可能使你对这个问题相当地自信，但如果冷静思考地一番，就会发现这种自信其实是没有根据的。它的证明并不十分显然，这里通过反证法来推导。假设有某些整数的素数分解不唯一，则存在最小的这样的数，并设它有两个分解式(a=p_1p_2cdots p_n=q_1q_2cdots q_m)，其中(m,n>1)，并且素数按大小排列。由(a)的最小性知(p_i e q_j)，假设(p_1>q_1)，考察式（2）。容易证明后一分解式中不含(q_1)，从而(b<a)有两个不同的分解式。这与(a)的最小性矛盾，故所有整数都存在唯一的的素数分解式，即表达式（3）唯一。这个证明最早由高斯给出，被称为算术基本定理，它使得整数可以被完全解析。
[b=a-q_1p_2cdots p_n=q_1(q_2cdots q_m-p_2cdots p_n)=(p_1-q_1)p_2cdots p_n ag{2}]
[a=p_1^{e_1}cdot p_2^{e_2}cdotcdots p_s^{e_s} ag{3}]
现在来看数(a)的所有约数，容易知道它们的分解式必定是式子（4）。若记(a)共有( au(a))个约数，且它们的和为(sigma(a))，则有公式（5）（6）。
[p_1^{e'_1}cdot p_2^{e'_2}cdotcdots p_s^{e'_s},quad(0leqslant e'_kleqslant e_k) ag{4}]
[ au(a)=prod_{k=1}^s{ au(p_k^{e_k})}=prod_{k=1}^s{(e_k+1)} ag{5}]
[sigma(a)=prod_{k=1}^s{sigma(p_k^{e_k})}=prod_{k=1}^s{dfrac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}} ag{6}]
来思考几个问题热热身吧：
• 求满足( au(n)=6)的最小整数；
• 求(sumlimits_{dmid a}{dfrac{1}{d}})的值。
2. 公约数
有了算术基本定理，整数之间的倍数关系就基本清楚了。而对于两个任意的整数（不一定有倍数关系），只能通过它们共同的约数或倍数来取得联系。两个数(a,b)共同的约数称为它们的公约数，最大的那个叫最大公约数，记作((a,b))，类似还有公倍数和最小公倍数([a,b])的概念，最大公约数为(1)的两个数称为互素或既约的。这些概念都有一些比较简单的性质，可以通过算术基本定理去证明，后面会罗列。公约（倍）数为研究整数之间的关系提供了便利，但它们的定义并不依赖于算术基本定理，你完全可以仅从定义出发得到那些常用结论，算术基本定理只是提供了一种方法而已。
公约数一定程度上体现了整数之间的相关程度，互素则表现了整数之间的无关性。这个观念为我们分析整数集的结构提供了一个好的思想，不大于(m)的所有数可以按照和(m)的相关程度分类，这个话题我们会在后面展开。现在来考虑一下与(m)无关的（互素）数的个数(varphi(m))，对素数(p)显然有(varphi(p)=p-1)和(varphi(p^e)=p^{e-1}(p-1))，利用容斥原理排除掉不互素的数之后可以得到公式（7）（下一篇会有另一种方法证明）。
[varphi(m)=mprod_{k=1}^s{(1-dfrac{1}{p_k})}=prod_{k=1}^s{varphi(p_k^{e_k})} ag{7}]
算术基本定理虽然很强大，但用它来求公约数或进行整数关系分析的代价太大，并且也很难得到进一步的结论，这时必须引入别的工具。在不做素数分解的情况下，分析整数关系最直观的方法就是带余除法，对任意整数(a e 0,b)，存在唯一数对(m,r)满足式子（8）。由(r=b-ma)知(a,b)的公约数必定是(r)的约数，并且(r)更小。如果继续对(a,r)做这样的运算，我们一定可以得到(a,b)的最大公约数。这便是辗转相除法的基本思想，早在欧几里得的《几何原本》中就有记载（故又称Euclid算法），熟悉算法的你一定也不陌生，这里就不展开细节了。
[b=ma+r,quad(0leqslant r<left|a ight|) ag{8}]
带余除法为整数的分析提供了一个简单有效的方法。比如我们再回头考虑一下式（1）中的所有线性组合，首先((b_1,b_2,cdots,b_n))显然也是每个线性组合的约数。考察线性组合中的最小正数(c)，如果它不是(b_k)的约数，使用带余除法(b_k=mc+r)，(r=b_k-mc)也是线性组合但却更小。所以(c)是(b_1,b_2,cdots,b_n)的公约数，结合刚才的结论可知(c=(b_1,b_2,cdots,b_n))。
最大公约数可以看做是整数间的一个基本代数运算，我们已经看到有很多不同的途径来得到它，而这些途径并不依赖于最大公约数的定义。这就让我们想到，其实可以将它们看成是最大公约数的等价定义，在不同的场合灵活使用，可以得到更简洁的方法。以下便列举了这些等价定义，你可以尝试证明它们的等价性。
（1）原始定义：最大的公约数；
（2）约数的公倍数：是所有公约数的最小公倍数；
（3）素数基本定理：素数分解式的公共部分；
（4）线性组合：线性组合的最小正数；
（5）辗转相除法：辗转相除法得到的最小正数。
作为一个基本运算，需要稍微研究一下最大公约数的基本性质，请尝试通过不同途径证明下面的基本性质：
（1）(m(a_1,a_2,cdots,a_n)=(ma_1,ma_2cdots,ma_n))；
（2）((a_1,a_2,cdots,a_n)=((a_1,a_2),cdots,a_n))；
（3）若((m,a)=1)，则有((a,mb)=(a,b))；
（4）若(mmid ab,(m,a)=1)，则(mmid b)；
（5）若(amid m,bmid m,(a,b)=1)，则(abmid m)；
（6）((a,b)[a,b]=ab)。
公约数虽然定义简单，但却变化多端，当和其它知识结合起来时，问题会变得很困难。你需要熟练掌握初等数学中各种变形技巧，并需要足够的想象力和创造力。课本中的习题是最好的锻炼场所，你不能绕过那一步，这里仅列几例以抛砖引玉。
• 已知(ad-bc=pm 1)，(u=am+bn,w=cm+dn)，求证((u,w)=(m,n))；
• (a)为奇数，则必有(d<a)使得(amid 2^d-1)。设这样数最小为(d_0)，则(amid 2^h-1)成立的充要条件是(d_0mid h)；
• 证明梅森（Mersenne）数(M_p=2^p-1)两两互素；
• 求证(1+dfrac{1}{2}+cdots+dfrac{1}{n})不是整数；（提示：构造一个整数与之相乘后不为整数）
• 若((a,b)=1)，则对任意(m)，(a+kb,k=0,1,2,cdots)中有无数个与(m)互质的数。（提示：无穷递降）
3. 闲话素数
话说素数的确非常重要，后面我们还会看到它更多的性质，这里再多说两句。首先，欧几里得在《几何原本》回答了素数的个数问题，假设仅有有限个素数(p_1,p_2,cdots,p_n)，考察表达式(p_1p_2cdots p_n+1)。它不以任何(p_k)为约数，从而它也是素数，与假设矛盾，这就证明了素数有无穷多个。该证明使用了构造法和反证法，它的美妙是数学史上惊艳的一笔，你不妨可以用同样的方法解决以下问题。
• 相邻素数之间的间隔可以有任意大；
• 证明费马数(F_n=2^{2^n}+1)的素因子互不相同，从而素数有无穷多个；
• 使用数列(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1,(a_0=2))，证明素数有无穷多个；
• 求证形如(4k+3)的素数有无穷多个；
• 如果(nmid (n-1)!-1)，则(n)必为素数。
根据算术基本原理，并使用级数理论（后续课程），容易有以下著名的欧拉公式（式子（9））。这个神奇的公式将调和级数与所有素数扯上了关系，这也成为了研究素数的一个突破口，巍峨耸立的黎曼猜想就是对它的扩展研究。顺便提一句，因为调和级数是发散的，故由此此也可以证明素数有无穷多个。
[1+dfrac{1}{2}+cdots+dfrac{1}{n}+cdots=prod_{k=1}^{infty}{(1-dfrac{1}{p_k})^{-1}} ag{9}]
关于素数，还有一些自然的问题是：如何判定一个数是否为素数？如何找出一定范围内的所有素数？它们的分布是怎样的？是否有素数的通项公式？这些问题是很难回答的，它们也是数论的难点，很多问题都还没有被解决。古希腊时期的Eratosthenes筛法是目前仍在使用的筛选素数的方法，它逐步划去每个素数的倍数，从而仅余下素数，这在一般的算法教材里都有介绍。另外一般用(pi(x))表示不大于(x)的素数的个数，公式（10）是就是著名的素数定理，它表明了素数的平均密度。该定理最早由勒让德和高斯作为猜想提出，将近一百年后才被人用复变函数的理论所证明，再过了50年才有了初等证法。关于素数的问题我们就不深究了，它们也不是这里能回答得了的。
[pi(x)sim dfrac{x}{ln{x}},quad(x oinfty) ag{10}]