1. 同余
公约数是我们要讨论的主要整数关系，对整数(m)而言，其它整数与它的关系以(m)为周期出现着重复，具体讲就是任何整数和带余除法中的余数是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种等价关系，如果(mmid a-b)，则称(a,b)在模(m)下同余，记做(aequiv bpmod{m})。比较容易证明同余关系是一个等价关系，它将整数限定在一个有限的空间里，大大方便了讨论。同余理论由高斯提出，它是数论的基础语言。由于同余继承自整除的概念，它的性质一般还是用整除来证明，但作为一个强大的语言，它有着自己简洁清晰的特点。以下是一些同余的基础性质，请自行证明并牢记于心：
（1）若(aequiv b,cequiv dpmod{m})，则有(apm cequiv bpm dpmod{m})和(acequiv bdpmod{m})；
（2）若(aequiv bpmod{m})，则(daequiv dbpmod{m})；
（3）(daequiv dbpmod{m})等价于(aequiv bpmod{dfrac{m}{(m,d)}})；
（4）若(aequiv bpmod{m},m'mid m)，则(aequiv bpmod{m'})；
（5）(aequiv bpmod{m_k},(k=1,cdots,n))等价于(aequiv bpmod{[m_1,cdots,m_n]})。
性质（1）比较平凡，（2）（3）是对操作数进行缩放时的性质，（3）中包含了两种极端情况(dmid m)和((d,m)=1)的性质。（4）（5）是对模数进行缩放时的性质，性质（5）可以将问题互相转化，把大模数分解为几个小模数，或者反过来将多个等式合并为一个。性质（2）中没有除法，那是因为“倒数”还没有被定义。当((a,m)=1)时，使用线性组合的定义容易证明，一定存在(d)使得(daequiv 1pmod{m})，(a^{-1}=d)称为(a)的逆。有了逆就可以两边同时“除以”一个数了，但需要注意逆仅对与模互素的数存在。
既然同余是个等价关系，那它的等价类就可以看做是一个整体，所有满足(xequiv rpmod{m})的整数组成的集合称为一个剩余类，记作(rmod{m})，模(m)的所有剩余类组成的集合记作(Z_m={rmod{m}mid 0leqslant rleqslant m-1})。当((r,m)=1)时，(rmod{m})又称为既约剩余类，显然它们共有(varphi(m))个。在一个只有加减乘除的同余式里，任何数都可以等价地看成它的同余类，故以上性质对同余类也是成立的。同余类中同样可以定义逆，容易证明逆存在则必是唯一的，且有((a^{-1})^{-1}=a)。
利用同余的性质解决以下问题：
• 求(3^3cdot 45)的末两位数。
2. 剩余系
虽然剩余类和它的元素是等价的，但元素本身更容易被直接讨论。从每个剩余类中取一个元素组成的集合称为一个完全剩余系，相应地还有既约剩余系的概念。剩余系的元素可以根据需求来选取，而且它们有以下基本性质（证明不难，请自行脑补）：
（1）若({a_k})是一个完全剩余系，则对任何整数(c)，({a_k+c})仍然是一个完全剩余系；
（2）若({a_k})是一个完全（既约）剩余系，且((d,m)=1)，则({da_k})仍然是一个完全（既约）剩余系。
性质（2）告诉我们，如果({r_1,r_2,cdots,r_{varphi(n)}})是(n)的既约剩余系，且((a,n)=1)，则({ar_1,ar_2,cdots,ar_{varphi(n)}})也是既约剩余系。那它们的乘积应该是模(n)同余的，即式子（1），这样就得到了著名的欧拉定理（公式（2））。取(n)为素数(p)时，则又有了费马小定理（公式（3））。欧拉定理给出了一个求元素逆的方法，即(a^{-1}=a^{varphi(n)-1})。另外，欧拉定理还给出了既约剩余系的元素与“单位元”的关系，这里是我们首次讨论既约剩余系元素之间的关系，后面还会继续研究。
[r_1cdot r_2cdotcdots r_{varphi(n)}equiv ar_1cdot ar_2cdotcdots ar_{varphi(n)}pmod{n} ag{1}]
[a^{varphi(n)}equiv 1pmod{n} ag{2}]
[a^pequiv apmod{p} ag{3}]
简单考虑一个的习题：
• 求(m)的 最小正既约剩余系的所有元素之和。
剩余系的提出，最终还是为了研究同余意义下的整数空间，在这里就是要弄清完全（既约）剩余系的结构。既然整数(m)可以进行素数分解，想必把模(m)的剩余系按其素数分解分割会是个不错的想法。具体来说，对于(m)的互质分解(m=m_1m_2cdots m_n)，我们想看到的是(m)的剩余系和(m_k)的剩余系之间的关系。
先从简单的(m=m_1m_2)看起，参考进制数的方法并考察(x=x_1+m_1x_2)，容易证明当(x_k)遍历(m_k)的完全剩余系，则(x)遍历(m)的完全剩余系。使用归纳法可以将这个结论推广到(m=m_1m_2cdots m_n)的情形，但由于其形式不对称，推广的结论并无太大理论价值。由于((m_1,m_2)=1)，可知将上式中的(x_1)换成(m_2x_1)结论任然成立。
另外，当(x_k)遍历(m_k)的既约剩余系时，首先由刚才的结论，(x=m_2x_1+m_1x_2)两两不同余，其次也容易证明它们与(m)互素。综合起来我们就有结论：当(x_k)遍历(m_k)的既约剩余系时，(x=m_2x_1+m_1x_2)正好遍历(m)的既约剩余系。使用对应的证明方法（两类剩余系方法不同），这个结论可以轻易地推广到(m=m_1m_2cdots m_n)的情景，甚至为每一项再乘上任意与(m_k)互素的数，结论任然成立。即当(m_k)两两互素，且有(M_k=dfrac{m}{m_k},(a_k,m_k)=1)，则当(x_k)遍历(m_k)的完全（既约）剩余系时，表达式（4）和（5）都正好遍历(m)的完全（既约）剩余系。
[x=M_1x_1+M_2x_2+cdots+M_nx_n ag{4}]
[x=a_1M_1x_1+a_2M_2x_2+cdots+a_nM_nx_n ag{5}]
表达式中的(x_k)就像(x)的坐标一样，剩余系被分解到了个互相独立的维度，各个维度可以被单独地研究。值得提醒的是，以上表达式的每一项其实刚好是(m_k)的剩余系，它们可以相加得到(m)的剩余系(x=x_1+x_2+cdots+x_n)。有一个自然的问题是，有没有表示为乘法的表达式(x=x_1x_2cdots x_n)，同样满足这样的要求呢？结合前面结论，容易构造出公式（6）中的分解（(a_k,M_k)的意义同上），它的每一项是(m_k)的剩余系，各项相乘后是(m)的剩余系。有趣的是，表达式中各项之和任然遍历完全剩余系，而这对既约剩余系是不成立的（见习题）。
[x=(a_1M_1x_1+M_2+cdots+M_n)(M_1+a_2M_2x_2+M_3+cdots+M_n)cdots(M_1+M2+cdots+a_nM_nx_n) ag{6}]
尝试解决以下问题：
• 求(13)的一个完全剩余系({r_k},(1leqslant kleqslant 13))，满足(r_kequiv kpmod{3})和(r_kequiv 0pmod{7})；
• 若({a_k})是(m)的既约剩余系，则对任何满足((c,m)=1)的整数，({a_k+c})都不可能是既约剩余系。
• 不可能有(m_k)的既约剩余系(x_k)，使得(x=x_1+x_2+cdots+x_n)和(x=x_1x_2cdots x_n)都是(m)的既约剩余系；
以上分解方法从另一方面给出了欧拉函数的性质：如果((m_1,m_2)=1)，则(varphi(m_1m_2)=varphi(m_1)varphi(m_2))。利用这个性质可以得到公式（7），另外，这个公式还可以这样解释：将(1,2,cdots,n)按照与(n)的最大公约数(d)划分为不同的集合，容易知道每个集合有(varphi(dfrac{n}{d}))个元素，所以共有(sumlimits_{dmid n}{varphi(dfrac{n}{d})}=sumlimits_{dmid n}{varphi(d)})个元素，这样就得到公式（8）。换句话说，一个完全剩余系被划分成了若干个既约剩余系，不得不说是一个很新颖的划分方法。
[sum_{dmid n}{varphi(d)}=sum_{e'_1=0}^{e_1}cdotssum_{e'_s=0}^{e_s}{varphi(p_1^{e'_1}cdots p_s^{e'_s})}=sum_{e'_1=0}^{e_1}{varphi(p_1^{e'_1})}cdotssum_{e'_s=0}^{e_s}{varphi(p_s^{e'_s})}=p_1^{e_1}cdots p_s^{e_s}=n ag{7}]
[sumlimits_{dmid n}{varphi(d)}=n ag{8}]
剩余系分解的一个典型应用就是解一次同余方程组，下篇我们会专门研究同余方程，这里只介绍这类方程组（式子（8）的左侧）。当(m_k)两两互素时，根据前面的分解定理可知，在模(m=m_1m_2cdots m_n)下方程有且仅有一解(xequiv M_k^{-1}r_kpmod{m_k})。该结论历史上称为孙子定理（又称中国剩余定理），因为《孙子算经》中“物不知数”的问题其实就是一次同余方程组。
[egin{cases}:xequiv r_1pmod{m_1}\:xequiv r_2pmod{m_2}\:cdots:cdots\:xequiv r_npmod{m_n}end{cases}:Leftrightarrow: x=M_1M_1^{-1}r_1+cdots+M_nM_n^{-1}r_npmod{m} ag{8}]
以上定理限定(m_k)两两互素，且(x)系数为(1)，对于不满足条件的方程组，可以通过前面的结论进行等价变换。请尝试以下习题（一般的一元一次方程可先参考下篇）：
• 求解“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
• 求的(7)一个完全剩余系，每个数模(2,3,5)的余数都是(1)；
• 解方程(19xequiv 556pmod{1155})；
• 解方程组(egin{cases}:xequiv 3::pmod{8}\:xequiv 11pmod{20}\:xequiv 1::pmod{15}end{cases}egin{cases}:3xequiv 1pmod{10}\:4xequiv 7pmod{15}end{cases}egin{cases}:x+2yequiv 1pmod{5}\:2x+yequiv 1pmod{5}end{cases})。
虽然我们还没有完全弄清既约剩余系的结构，但还是可以再做一些有趣的讨论的。既约剩余系中的任何数都有逆，尝试将它们两两配对，所有这样的数的乘积为(1)，如果再将那些逆为自身的数单独研究，也许可以得到既约剩余系的整体性质。先从模(p)看起，对逆为自身的数有((x-1)(x+1)equiv 0pmod{m})，从而，满足条件的只有两个数(pm 1)。这样便有了著名的威尔逊（Wilson）定理（公式（9）），它给出了既约剩余系({a_k})积的整体性质。
[prod_{k=1}^{p-1}{a_k}equiv (p-1)!equiv -1pmod{p} ag{9}]
以上讨论过程对奇素数的幂(p^e)仍然成立，对(2^n)独立讨论也可知模为(1,2,4)时结果为(-1)，其它模(2^n)的结果为(1)。对一般的模(m=p_1^{e_1}cdots p_n^{e_n})，考虑公式（6）表示的既约剩余系的积(prod)，因为除了(2p^e)外都有(prodequiv 1pmod{p_k^{e_k}})，故除了模为(2p^e)外都有(prod=1pmod{m})。总结以上可以有威尔逊定理的扩展定理：模为(m=1,2,4,p^e,2p^e)（(p)为奇素数）的既约剩余系的乘积模(m)余为(-1)，其它形式模的既约剩余数之积模(m)余为(1)。这个既约剩余系的整体性质在一些问题中很有作用，尝试解决以下问题：
• 若(a_1,cdots,a_{p-1})和(a'_1,cdots,a'_{p-1})是奇素数(p)的两个完全剩余系，证明(a_1a'_1,cdots,a_{p-1}a'_{p-1})一定不是完全剩余系。再证明该结论对任意模(m)也成立；
• 求证(1^2cdot 3^2cdotcdots(p-2)^2equiv 2^2cdot 4^2cdotcdots(p-1)^2equiv (dfrac{p-1}{2}!)^2equiv -1^{frac{p+1}{2}}pmod{p})。
以上证明中的配对思想非常重要，请考虑以下问题：
• 求证存在(x^2equiv -1pmod{p})的充要条件是(p=4k+1)，并由此证明格式为(4k+1)，的素数有无穷多个。