1. 代数系统
1.1 运算律
我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数(f:Amapsto A)也被称为集合(A)上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合(A)上的(n)元运算。集合(S)以及其上的一些运算(f_1,f_2,cdots,f_m)组成的系统叫代数系统（algebraic system），在不混淆的情况下也可用(S)表示这个代数系统。代数系统可以让我们抛开具体运算对象，而只关注于它们共有的结构和性质。
[f:A imes A imescdots imes Amapsto A ag{1}]
二元运算是最常见的运算，比如各种对象（数、向量、多项式等）上的加减乘运算，以及变换的复合运算。这里就主要研究二元运算下的代数系统，参照的例子主要是来自数论和置换变换。下面的讨论，在思想分析上会比较啰嗦一点，但这些正是抽象代数的根基，某些证明过程和结果反而不那么重要。希望你可以在学习时，经常合上书本，自己重新构建这些理论，体验抽象代数的思维。
我们先把问题简单化，研究只有一个二元运算的代数系统，那么如何研究？对于这个运算本身需要研究它形式上的特点，而对于整个代数系统还需要分析其结构特点。我们用特定的符号(acirc b)来表示要研究的二元运算(f(a,b))，有时也简写为(ab)，并且说成是“乘法”，这个代数系统简单记为(langle S,circ angle)。如果还有另一个系统(langle G,star angle)，它们之间有一一映射(f:Smapsto G)，并且满足下式，则这两个系统称为同构的（isomorphic），记作(Scong G)。显然同构是个等价概念，同构的代数系统可以看作是完全一样的，本质上可以不加区分。
[f(acirc b)=f(a)star f(b) ag{2}]
从运算的形式上看，有两种比较重要的性质是需要研究的，一个就是运算的复合，另一个就是变量的位置互换。运算的复合是指变量本身又是另一个运算的结果，比如((acirc b)circ(ccirc d))。我们大部分研究对象的运算都满足下式的特点，它称为运算的结合律。结合律在数学中非常普遍，是一个非常基础的运算律，我们就从这里开始。结合律本质上是说运算只与被操作数的序列有关，而与运算顺序无关。直观地讲，一串运算，无论如何添加括号限制运算顺序，结果都是一样的。满足结合律的代数系统称为半群，半群的性质过于简单，它不会有很特殊的结构，必须结合一些其它的性质才行。
[(acirc b)circ c=acirc(bcirc c) ag{3}]
对于很多运算，运算结果是依赖于变量的顺序的，(acirc b)与(bcirc a)不一定相等，比如置换和矩阵乘法。反之，如下条件被称为运算的交换律。我们已经看到，交换律在很多场合是不满足的，由此一般也不假定它成立，这一点大家要做好思维上的适应。交换律使得变量顺序不再重要，它和结合律共同作用的结果就是，运算结果仅与变量有关，它们的顺序可以随意安排。
[acirc b=bcirc a ag{4}]
1.2 单位元和逆元
前面两段讨论的是运算本身的形式特点，它们还构成不了十分有趣的代数系统，现在需要对系统的结构作一些限制。所谓系统的结构，当然体现在变量与运算结果的关系。首先是不是所有元素都可以成为结果，最简单的是对某个元素(a)，我们希望存在一个数(e)使得下式至少一个成立，并且最好这个(e)对所有元素都成立。基于这样的要求，分别定义对所有元素满足下式的元素为左（右）单位元。左（右）单位元不定都存在，但如果都存在，我们可以有(e_l=e_r=e_lcirc e_r)，它们是相等的！这种情况则统称为单位元（identity）（显然唯一），而含有单位元的半群叫幺半群。
[e_lcirc a=a,quad acirc e_r=a ag{5}]
单位元实现了我们一个朴素的目标：任何元素都可以成为运算结果。现在我们还有一个很普遍的要求，就是式（6）的某个一元一次方程总有解。你得承认这也是个不过分的要求，因为一次方程都没有解的话，这个系统是很难玩得转的。如果要求(ax=b)有解，比较直观的方法是要求两边可以“除以”(a)，或“乘以”(a)的逆(a_l^{-1})，得到(x=a_l^{-1}b)。换句话说就是要求存在逆，分别使得式（7）成立。满足条件的逆分别称为左逆元和右逆元。
[acirc x=b,quad ycirc a=b ag{6}]
[a_l^{-1}circ a=e,quad acirc a_r^{-1}=e ag{7}]
如果左（右）逆元同时存在，则(a_l^{-1}=a_l^{-1}circ(acirc a_r^{-1})=(a_l^{-1}circ a)circ a_r^{-1}=a_r^{-1})，它们是又是相等的，这时统称为逆元（inverse）（显然唯一）。根据式（8）可知(a)同时也是(a^{-1})的逆元，并且它们的运算是可以交换的。比较容易证明逆元有式子（9）的性质，这个形式大家并不陌生。
[acirc a^{-1}=a^{-1}circ a=e,quad (a^{-1})^{-1}=a ag{8}]
[(acirc b)^{-1}=b^{-1}circ a^{-1} ag{9}]
逆元的存在使得“除法”成为可能，它让系统一下子立体起来。最典型的性质就是，当(x)遍历群时，(ax)（或(xa)）会遍历整个群。因为若(ax=ay)，两边乘以(a^{-1})，则有(x=y)。这个性质又叫消去律，如果把整个运算列成一张矩阵的表，则矩阵的每行和每列都包含整个群，且没有重复元素。这个性质非常重要，以后你还会看到它。
2. 群
2.1 群和子群
存在逆元的幺半群叫群，我们的主角就这样登场了。总结一下，齐集结合律、单位元和逆元这三大基本性质的代数系统就是群，一般用字母(G,H,K)表示。如果再满足交换律，它就叫交换群（commutative group）（或Abel群（Abelian group））。集合的元素个数(|G|)称为群的阶（order），显然有有限群和无限群。有了这三个性质，尤其是逆元的存在，群有着非常有趣的结构，后面会慢慢展开讲述。
值得一提的是，单位元和逆元的条件其实是有些冗余的，在很多教材里只要求群满足结合律、存在左单位元和左逆元（或右单位元和右逆元）。现在我们来证它们和原定义的等价性，即已知对任意(a)，存在(e_lcirc a=a,a_l^{-1}circ a=e_l)，求证(e_r,a_r^{-1})的存在性。首先记(a'=(a_l^{-1})_l^{-1})，则有(acirc a_l^{-1}=(a'circ a_l^{-1})circ(acirc a_l^{-1})=e_l)，从而(acirc e_l=acirc(a_l^{-1}circ a)=e_lcirc a=a)。这样(e_l)同时还是右单位元，由前面的讨论知它就是单位元(e)。那么再由刚才的(acirc a_l^{-1}=e_l=e)可知(a_l^{-1})还是右逆元，故有逆元(a^{-1})。
还有一点需要注意，方程（6）有解和消去律中其实并没有单位元和逆的概念，它们与逆之间是否有等价关系？其实不一定成立，但在某些情况还是等价的，请思考如下问题。
• 满足方程（6）都有解的半群是群；（提示：证明单位元和逆存在）
• 同时满足左右消去律的有限半群是群。（提示：利用上题结论）
群的例子非常普遍，比较显然的有任何数系的加法、正数的乘法、矩阵的加法和乘法。再比如上面提到的变换，以及我们在《初等数论》中看到的即约剩余系的乘法，都容易证明它们是群。还有一些著名的群，它们元素个数很少，但结构却不简单，应用也很广泛。比如著名的四元数群({pm 1,pm i,pm j,pm k})，它满足下表的运算律，它们就是四元数的单位元，是比复数更一般的数系（以后可能会介绍）。
| (1) | (i) | (j) | (k) | |
| (1) | (1) | (i) | (j) | (k) |
| (i) | (i) | (-1) | (k) | (-j) |
| (j) | (j) | (-k) | (-1) | (i) |
| (k) | (k) | (j) | (-i) | (-1) |
还有就是以下Klein四元群(K_4={1,i,j,k})，本篇提交的所有群都是后续讨论中的典型例子，你需要品味一下它们的特点，并带入后续的讨论中。
| (1) | (i) | (j) | (k) | |
| (1) | (1) | (i) | (j) | (k) |
| (i) | (i) | (1) | (k) | (j) |
| (j) | (j) | (k) | (1) | (i) |
| (k) | (k) | (j) | (i) | (1) |
说了这么多，我们还只是给群下了定义，以后的任务就是要研究它的结构，从而能得到有用的性质。结构分析最常用的方法当然就是分解，将大的复杂对象分解为一个个简单的小对象，结构自然就清楚了。同样道理，我们也希望将群拆解为结构更简单的小群，这个目标将贯穿整个群论。我们自然先给这个“小群”下个定义，它首先必然是群的子集，并且在同样的运算下能独立成群，这样的子集被称为子群（subgroup）。
若(H)是(G)的子群，一般记作(Hleqslant G)，显然({e})和(G)都是(G)的子群，它们也叫平凡子群。如果(H eq G)，(H)叫做(G)的真子群（proper subgroup），记作(H<G)。由于子群完全继承了父群运算，因此必定满足结合律，并且单位元和逆元不变。唯一的要求就是要子群不残缺，该有的元素（单位元和逆元）都要有，运算在子群中还要封闭。现在我们要把这几个条件写成表达式，才能给出子群的严格定义。对于(G)的一个非空子集(H)，如果满足式子（10）中的条件，它就是(G)的子群。另外容易证明，这三个条件其实和式子（11）的条件是等价的，它一般被用作子群的判定条件。
[Hleqslant GquadLeftrightarrowquad ein H:wedge:(forall ain HRightarrow a^{-1}in H):wedge:(forall a,bin HRightarrow abin H) ag{10}]
[Hleqslant GquadLeftrightarrowquadforall a,bin HRightarrow ab^{-1}in H ag{11}]
如果子集(M)不满足子群的条件怎么办？你当然可以把需要的元素一个个补齐，最终满足条件的子群就叫的生成子群，记作(langle M angle)。当然，你可以给出生成子群的精确定义：包含(M)的最小子群。只有一个元素(a)生成的子群又叫循环群(langle a angle)（cyclic group），(a)叫做它的生成元（generator）。显然整数加群、有原根的即约剩余系都是循环群，并且循环群显然是交换群。
2.2 循环群
虽然定义了子群，但分解群的任务还很重，这里我们暂且休息一下，从最简单的循环群研究起。一个循环群中无非是这样的元素：(cdots,a^{-1}a^{-1},a^{-1},e,a,aa,cdots)。类似数系中的幂运算，我们可以引入指数记号(a^n)表示循环群中的每一个元素，你可以证明它完全满足指数的常规性质（公式（12）（13））。
[a^0=e,quad a^n=a^{n-1}a,quad a^{-n}=(a^{-1})^n=(a^n)^{-1} ag{12}]
[a^{m+n}=a^ma^n,quad a^{mn}=(a^m)^n ag{13}]
在任何群中，如果有最小(n>0)的使得(a^n=e)，那么称(n)为(a)的阶（order），记作(|a|)。如果不存在这样的(n)，则称(a)的阶为无穷大，也记作(|a|)。阶的性质和我们在《初等数论》中讨论的指数的性质完全一样，这里就不赘述了，你有必要回头去看看。
在循环群(langle a angle)中，如果(|a|=n)，则显然它和有原根的既约剩余系同构：(a,a^2,cdots,a^n)，并且有(varphi(n))个生成元。当(a)的阶为无穷大时，它和整数加法群同构：(cdots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,cdots)，其中只有(a,a^{-1})两个生成元。下面有一些阶和子群的习题，难度不大，但颇具思考价值：
• 有限子集(H)是子群的充要条件是：对任何(a,bin H)，总有(abin H)；
• 求证：(|a|=|a^{-1}|=|cac^{-1}|)，(|ab|=|ba|)，(|abc|=|bca|=|cab|)；
• 求证：有限群中阶数大于(2)的元素有偶数个；
• 如果(H<G)，求证(langle G-H angle=G)。
2.3 置换群
说完了最简单的群，现在来看最“完整”的群。前面我们看到群(G)中的任何元素(a)使得(aG)遍历整个群，(a)和(G)上的一个双射变换相对应。而容易证明，集合(G)上的所有双射变换(S(G))组成一个群，并且(G)是(S(G))的子群。一般地，集合(M)上的所有双射变换组成的群(S(M))叫(M)上的对称群（symmetric group）。当(|G|=n)时，又可记作(S_n)，叫(n)次对称群。显然每个(n)阶群都同构于(S_n)的某个真子群，而阶为无穷的群也同构于(S(G))的某个真子群（凯莱定理）。
这样一来，我们就可以通过讨论对称群的子群来研究一般的群。对称群的子群叫置换群（permutation group）（因为元素是置换），(S_n)的子群叫(n)次置换群，这里我们只讨论(n)次置换群。将集合中元素用(1,2,cdots,n)编号，每个置换(sigma(x))可以表示为下式，改变列的顺序并不改变定义。
[egin{pmatrix}1&2&cdots&n\sigma(1)&sigma(2)&cdots&sigma(n)end{pmatrix} ag{14}]
考察置换中的映射序列：(1,sigma(1),sigma(sigma(1)),cdots)，容易证明这个序列最终必定会回到(1)，这就形成了一个环路。显然任何置换都是由几个不相交的环路组合而成的，有必要对它继续进行研究。每个环路其实也可以看成是一个置换，只不过环路之外的值映射到自身而已。如果环路上共有(k)个元素，这样的置换就称为(k)-循环置换（或(k)-循环），特别地，(2)-循环也叫对换。循环置换可表示为下式，其中(sigma(a_k)=a_1,sigma(a_i)=a_{i+1})，它的阶显然为(k)。
[sigma=(a_1a_2cdots a_k)=(a_2a_3cdots a_1)=cdots=(a_ka_1cdots a_{k-1}) ag{15}]
这样就可知，任何置换都可以唯一分解为几个不相交循环的乘积。另外，显然不相交循环的乘积是可交换的，故置换分解为循环后的顺序是可以任意的。另外也容易有下式成立，即循环可以分解为一系列对换的乘积（不可交换），故任一置换又可以分解为一系列对换的乘积。这个地方你需要弄清置换、对换的本质是映射，而不是对数的直接操作，否则下面的公式你会觉得困惑（因为与你预期的可能相反）。
[(a_1a_2cdots a_k)=(a_1a_k)(a_1a_{k-1})cdots(a_1a_2) ag{16}]
至此就不能再分解了，我们不禁想问，如果一个置换有不同的分解为对换的方法，那它们的对换个数有什么关系吗？现在需要一个固定的值将它们联系起来，这个值只能从置换(sigma)本身下手。对于数对(i<j)，如果(sigma(i)>sigma(j))，则称(i,j)为一个反序。总反序数是固定的，定义有奇数个反序的置换为奇置换，否则叫偶置换。你可以证明，任何对换与置换相乘后都会改变它的奇偶性。而由上面的分解可知，任何置换都是由恒等变换与一系列对换相乘得来，这样不同分解的对换个数的奇偶性也就必然相等。
奇偶性是置换的一个符号性质，它们相乘后的奇偶性变化与正负符号是一样的。以某个奇置换为乘积的值，可以将偶置换与奇置换一一配对，这样它们就各占一半。另外容易看出，所有偶置换的运算是封闭的，故它们能组成一个群，这个群叫做(n)次交错群（alternating group），记作(A_n)。考虑以下问题：
• 求证(sigma au{sigma}^{-1}=egin{pmatrix}sigma(1)&sigma(2)&cdots&sigma(n)\sigma( au(1))&sigma( au(2))&cdots&sigma( au(n))end{pmatrix})；
• 求证({(12),(13),cdots(1n)})和({(12),(12cdots n)})都是(S_n)的生成系。