1. 同态与理想
同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环(R_1)到另一个系统(R_2)有映射(f:R_1mapsto R_2)，满足公式（1），这样的映射称为同态映射。若映射为满的，则称(R_1,R_2)同态，记作(R_1sim R_2)。容易证明(R_2)也是环，且(R_1)的零元、负数、单位元、逆元、可交换等性质都会映射到(R_2)中，但零因子却不一定保持。
[f(a+b)=f(a)+f(b);quad f(ab)=f(a)f(b) ag{1}]
• 求证：(Z_msim Z_n)的充要条件是(nmid m)。
在群中已经知道，任何同态映射都对应于一个正规子群（同态核），同样环同态的研究可以等价到对同态核的研究。和群一样，环同态的同态核就是(R_2)中零元素的原像。容易证明同态核是一个子环，正如正规子群的特殊性一样，它也不是普通的子环。考虑零元素的归零性，同态核一定满足以下条件。一般地，环(R)中的加法子群(N)如果满足以下右边一式，它称为环的左（右）理想，两式都满足的叫理想，记作(N rianglelefteq R)，容易证明理想（包括左右理想）都是子环。
[nin N,: rin RquadRightarrowquad rnin N,: nrin N ag{2}]
由定义知理想首先是加法群的子群，故它在加法下是正规子群。容易证明，加法群里到正规子群陪集的同态映射在环里也是同态映射（乘法封闭），故环的每个同态映射也与环的理想一一对应，理想担当起了正规子群的作用。和正规子群一样，理想不具有传递性，即理想的理想不一定是理想。容易证明，理想的交集还是理想，循环环的任何子环都是它的理想。对一般环(R)，显然(Ra)和(aR)分别是它的左右理想。
理想是一种特殊的子环，每个环(R)都有({0})和(R)两个平凡理想，其它理想叫真理想，没有真理想的环叫单环。从理想的定义知，对任何(nin N)有(nRsubseteq N)，相比较群来看，这个结构是“坍塌”的，由此联想到单环和“好”的环之间一定有什么关系。好的环当然是指乘法形成群的除环和域，若它们有非零理想(N)，由(aa^{-1}=1)知(1in N)，从而(N=R)，也就是说除环和域必定是单环。
对于任何环(R)，因为(Ra)是它的左理想，如果(R)没有非平凡的左理想，则(Ra)为(R)或({0})。如果存在(Ra={0})，容易证明(a)的生成环为理想，从而该生成环就是(R)，它是一个零乘环。反之如果(Ra=R)总成立，即一次方程(ya=b)总有解，故(R)是一个除环。综合以上讨论，如果环没有非平凡的左理想（或右理想），它要么为零乘环，要么为除环。
• 若(H rianglelefteq N rianglelefteq R)且(N)有单位元，求证(H rianglelefteq R)；
• 求证：仅有有限个理想的整环是域。（提示：考察所有左理想(Ra)）
从前面的讨论已经知道，环(R)的理想(N)的所有陪集形成一个环，它与以理想为核的同态映射的像同构，被称为商环，记作(R/N)。与群论中一样，这个结论称为环的同态定理，它是解析环结构的基本工具。环的同态定理同样可以得到它的三个同构定理，它们与群的同构定理非常类似，就不多做说明了。
（1）第一同构定理：(R/ ext{Ker}:fcong f(R))；
（2）第二同构定理：(N rianglelefteq R,:Hleqslant RquadRightarrowquad (H+N)/Ncong H/(Hcap N))；
（3）第三同构定理：(H,N rianglelefteq R,:Nsubseteq HquadRightarrowquad R/Hcong (R/N)/(H/N))。
• 讨论高斯整环在主理想(langle m+ni angle)下的商群，证明其有(m^2+n^2)个元素，并列出代表元。（提示：先从虚数分大类，再讨论整数类）
2. 特殊理想
2.1 主理想
对于环的任何子集，我们可以用它来生成最小的环和理想。容易证明，元素(a)生成的加法子群是个循环环，所以它就是(a)的生成子环。由元素(a)生成的理想叫一个主理想（Principal Ideal），记作(langle a angle)，下面来看看主理想的结构。首先主理想中一定包含(a)生成的加法群({na})，要求它是理想就必须包含(Ra,aR)，在加法的封闭性下它们具有统一格式(ax+by+na)。接下来根据乘法的封闭性知，其中还必须包括(RaR)，它的统一格式被扩展为(ax+by+na+sum{x_kay_k})。现在你可以证明，这种形式的所有元素构成一个理想，故它就是(a)生成的主理想。
[langle a angle={ax+by+na+sum_{k=1}^{m}{x_kay_k}} ag{3}]
总结就得到主理想的每个元素具有式（3）的形式，其中(m,n)整数（构造步数是有限的）。在特殊情况下，会有更简单的表达式，请自行推导。比如如果乘法可交换，则形式变为(ax+na)。当有单位元时，表达式可统一为(sumlimits_{k=1}^{m}{x_kay_k})。既可交换又有单位元，则简化为(ax)。特别地，循环环的每个理想都是主理想。
现在再来看由多个元素生成的环，它的结构形式是复杂的，但对理想却又比较好的结果。首先用归纳法容易证明，如果(R_k)为理想，则(sum{R_k})也为理想。这样对于任何子集({a_1,a_2,cdots,a_n})，(langle a_1 angle+langle a_2 angle+cdots+langle a_n angle)是一个理想，而且显然它由({a_1,a_2,cdots,a_n})生成的最小理想，从而有下式成立。
[langle a_1,a_2,cdots,a_n angle=langle a_1 angle+langle a_2 angle+cdots+langle a_n angle ag{4}]
2.2 素理想和极大理想
我们已经提到过，一般的环其实很不“完美”，有时候我们更希望研究的是整环、单环、除环或域。借助于同态定理，可以尝试取适当的理想，将商环变得“完美”一点。首先来考虑商环(R/N)是整环的情景，整环首先无零因子，如果有((a+N)(b+N)=N)，则其中必有一个为(N)。展开后就得到，如果有(abin N)，则必定有(ain N)或(bin N)。当然整环还要求可交换，在一个交换环中，满足以下条件的理想叫素理想。容易证明，交换环的商群(R/N)是整环的充要条件是(N)为素理想。
[abin NquadRightarrow quad ain N:vee: bin N ag{5}]
根据第三同构定理，要使(R/N)为单环，必须不能有比(N)更“大”的理想。准确的定义是：如果(N e R)，且除(N,R)外没有包含(N)的理想，则(N)称为(R)的极大理想。比较显然，(N)为极大理想的充要条件是为(R/N)为单环。综合前面单环的结论可知，如果(R)有单位元，则(R/N)为除环的充要条件是(N)为极大理想，加上可交换的条件，结论就对域也成立了。
• 求证：(Z)的全部素理想为({0})和(langle p angle)；
• 求证：(Z)的极大理想只有(langle p angle)。
3. 直和分解
3.1 直和
在群论中我们看到，直积分解是解构群的最好的方法，这个思想同样可以应用到环中。对环(R_1,R_2,cdots,R_n)，容易证明集合(R={(a_1,a_2,cdots,a_n)mid a_kin R_k})在以下运算下也形成环，(R)一般称为(R_1,R_2,cdots,R_n)的外直和。(R)的理想(R'_k={(0,cdots,0,a_k,0cdots,0)mid a_kin R_k})与(R_k)同构，且(R=R'_1+R'_2+cdots+R'_n)，而且每个元素的和分解是唯一的。
[(a_1,a_2,cdots,a_n)+(b_1,b_2,cdots,b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,cdots,a_n+b_n) ag{6}]
[(a_1,a_2,cdots,a_n)cdot(b_1,b_2,cdots,b_n)=(a_1b_1,a_2b_2,cdots,a_nb_n) ag{7}]
鉴于以上讨论，当环(R)有理想(R_1,R_2,cdots,R_n)满足：（1）(R=R_1+R_2+cdots+R_n)；（2）(R)中的任何元素(a)可以唯一表示为(a=a_1+a_2+cdots+a_n,(a_kin R_k))。则称(R)为(R_1,R_2,cdots,R_n)的内直和，简称直和，记作(R_1oplus R_2opluscdotsoplus R_n)。
定义中第二个条件有更容易使用的等价形式，一个是零元素的表示法唯一，另一个是每个直和项的独立性（公式（8））。第二个等价条件说明了直和项的无关性，即(R_icap R_j={0})，如果有(a_iin R_i,b_jin R_j)，则(a_ib_jin R_i+R_j)，所以(a_ib_j=0)。进一步如果(a,b)有直和分解(a=a_1+cdots+a_n,b=b_1+cdots+b_n)，可以有公式（9）成立，即任何元素的运算都能映射到各个直和项中。直和分解是一种无关性分解，它将大的环分解为无关的小环来研究。
[R_kcap (R_1+cdots+R_{k-1}+R_{k+1}+cdots+R_n)={0} ag{8}]
[ab=a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n ag{9}]
3.2 理想与直和
直和分解使得我们可以在更小的理想中分别讨论环的性质，现在来看看一般理想与直和分解的关系。首先考虑直和项的理想(N rianglelefteq R_k)，则对任意(nin N)，有(nR=n(N_1+cdots+N_n)=nN_kin N)，同理有(Rnin N)。从而有(N rianglelefteq R)，即直和项的理想也是直和的理想。由这个结论很容易有，直和项的理想(N_k rianglelefteq R_k)的直和也是(R)的理想（公式（10））。
[N_1oplus N_2opluscdotsoplus N_n rianglelefteq R ag{10}]
反之对任何一个理想(N rianglelefteq R)，(N_k=Ncap R_k)也是理想，那么(N)是否是(N_k)的直和呢？本质上只要证明任何(nin N)，它的直和分解满足(n_kin N)。要使得这个性质成立，需要借助单位元(1_k)，(n_k=1_knin N)，故可以假设(R)存在单位元，使得反命题成立，因为单位元的直和分解便得到(R_k)的单位元。
现在的问题自然是，什么样的环有直和分解？如何进行直和分解？假设(R)的特征为(n)，且有互质分解(n=n_1n_2)，我们希望(R)可以分解为特征值分别为(n_1,n_2)的直和项。由于(n_1,n_2)互质，则存在(sn_1+tn_2=1)，考察集合(R_1={sn_1amid ain R})和(R_2={tn_2amid ain R})。首先容易证明它们都是理想，再由于(a=sn_1a+tn_2a)，故有(R=R_1+R_2)。假设(ain R_1cap R_2)，则容易有(n_1a=n_2a=0)，进而得到(a=0)，所以(R_1cap R_2={0})，从而(R=R_1oplus R_2)。
最后来计算(R_1,R_2)的特征(m_1,m_2)，根据(R_1,R_2)的定义先有(m_1leqslant n_1,m_2leqslant n_2)，再由(n)是(R)特征有(m_1m_2geqslant n)，从而(m_1=n_1,m_2=n_2)。至此结论得证，如果对(n)进行素数分解(n=p_1^{alpha_1}cdots p_m^{alpha_m})，就可以将环分解为幂次特征的直和项（公式（11））。
[R=R_1oplus R_2opluscdotsoplus R_m,quad ext{Char}\,R_k=p_k^{alpha_k} ag{11}]
3.3 直和的应用
先来粗略讨论一下环的存在性，显然任何阶的交换环都是存在的，比如(Z_n,Z)。哈密尔顿环给出了无穷阶非交换环的例子，我们现在想知道有限阶的非交换环存在吗？在群论中我们知道，任何有限交换群都可以按不变因子进行直和分解。对于环(R)的加法也有((R,+)=langle b_1 angleopluscdotsopluslangle b_m angle)，其中(|b_k|mid |b_{k+1}|)。如果(n=|R|)不含高于一次的因子，则(R=langle b_1 angle)为循环环，从而是可交换的。这样就知道，一个非交换环必定是含有有平方因子(n=n_1^2n_2)。
反之对这样的(n)，其实也是可以构造出一个非交换环的，我们只需构造出一个非交换的(n_1^2)阶环，它与任何(n_2)阶环的直和便是(n)阶非交换环。对于一个(n_1)阶环R，考察二元组((x,y))集合，定义加法和乘法如下，容易证明该集合在定义的加法和乘法下构成非交换环。至此就得到了有限阶非交换环存在的充要条件是，环的阶含有平方因子。
[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2),quad (x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_2+y_2)(x_1,y_1) ag{12}]
最后我们用环的语言来描述“中国剩余定理”，回顾定理的内容：若(m_1,m_2,cdots,m_n)互质，则方程组(xequiv a_kpmod{m_k},(k=1,2,cdots,n))在模(m_1m_2cdots m_n)下有且仅有一个解。站在环的角度，(m_k)的同余类是一个主理想环，因此考察环(R)的理想(I_1,I_2,cdots,I_n)。(m_i,m_j)互素可以说成是(I_ioplus I_j=R)，而要证的结论则是公式（13）。
[R/cap I_kcong R/I_1 imes R/I_2 imescdots imes R/I_n ag{13}]
首先容易验证(R o R/I_1 imes R/I_2 imescdots imes R/I_n)是同态映射，如果能证明它是满射，由同态基本定理可以得到结论。证明方法和初等数论中本质是一样的，我们需要为每一维构造(r_k=(cdots,0,a_k,0cdots))。这个条件等价于(r_kin a_k+I_k)且(r_kin (prod{I_i})/I_k)，或者说(R=I_k+(prod{I_i})/I_k)。如果环有单位元，该等式可以从(R=I_i+i_j)轻易推得，故结论得证。