1. 因子分解
1.1 唯一分解环
环的直和分解将大环分解为小环，使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发，我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论，还需对环作一些限制。既然我们关注是因子，乘法顺序就显得多余且碍事，所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的，故规定所有非零元素都是正则元。故我们只需讨论整环中元素的乘法分解，为简化描述，以下将忽略对零元素的讨论。
和初等数论中一样，若(a=bc)，称(b)整除(a)，或(b)是(a)的因子，记作(bmid a)，否则记作(b otmid a)。关于整除的常规讨论都比较简单，这里不再赘述。我们把注意力放在分解的多种可能性上，最后试图得到类似算术基本定理的结论。在分解的过程中，可逆元总是可以随处出现或消除，它就像整数环中的(pm 1)，并不影响分解的本质。这就是为什么可逆元(varepsilon)也叫单位，如果(a=bvarepsilon)，我们(a,b)称是相伴的，相伴元在分解中可以可作是等价的。既然要考虑可逆元，就必须要求乘法存在单位元，故以下讨论仅针对有单位元的整环。
对任意元素(a)，它的所有相伴元和单位都是(a)的平凡因子，其它的则是真因子。有真因子的元素叫可约元，否则叫不可约元，显然整数环的不可约元就是素数。有了因子和不可约元的定义，我们就可以尝试模仿算术基本定理了。通过这里的讨论，你会明白算术基本定理的确不是显而易见的，它是需要一定条件的。首先每个元素都要有有限分解，其次分解在相伴元的意义下要是唯一的，满足这两个条件的元素称为可唯一分解的，所有元素满足条件的环就叫唯一分解环。由于环的元素没有大小的概念，无限分解是可能的，而且容易举出有多种分解的例子。
• 讨论({a+bsqrt{5}imid a,binBbb{Z}})的单位及(9)在其中的分解。
现在我们的问题自然是，什么样的环才是唯一分解环？先来看看唯一分解环的性质，对不可约元(p)如果有(pmid ab)，则由唯一分解性容易证明，(pmid a)和(pmid b)至少有一个成立。现在把这个概念抽取出来，满足以上条件的元素称为环的素元，素元肯定是不可约元，唯一分解环中的不可约元都是素元。对于一般的环，当素元和不可约元重合时，可以由反证法得知，只能有限分解的元素是唯一分解的。从而一个环唯一分解的充要条件就是，环的元素有限分解且素元和不可约元等价。
得到唯一分解环后，可以同初等数论中一样定义公约数。若(c)是(a_1,a_2,cdots,a_n)共同的因子，则称(c)为它们的公因子。环的元素没有大小的概念，所以不好直接定义最大公因子，回顾最大公约数的多个等价定义，找一个仅使用了整除的定义即可。如果(d)是(a_1,a_2,cdots,a_n)的公因子，且任何公因子都是(d)的因子，称(d)为最大公因子，最大公因子为单位的元素称为互素的。最大公因子不一定存在，但对于唯一分解环，容易得到最大公因子的存在性。
1.2 主理想环和欧式环
素元的定义一定程度上就是唯一分解本身，这个判断条件并不能带给我们更多有用的信息，判断和构造唯一分解环仍然不是一件容易的事情。整数环中引入带余除法后，可以得到最大公约数的更多性质，这些性质也能得到算术基本定理。但由于一般环中没有大小的概念，这些性质不一定成立，但却启发了我们如何构造更一般的唯一分解环。这里介绍两个重要的唯一分解环，它们的定义中都有着整数环最大公约数的影子。
整数环的任何理想都有一个最小数，这个数是理想的最大公约数，且它的所有倍数都在理想中，即该理想是其最大公约数生成的主理想。任何理想都是主理想的环被称为主理想环。主理想环首先保证了分解的有限性，因为无限分解列的生成理想也是主理想，该主理想的生成元既是分解列的结尾。另外，设主理想环(R)中的不可约元(pmid ab)，考察(langle p angle)，容易证明它必是极大理想。从而商环(R/langle p angle)为域，而((a+langle p angle)(b+langle p angle)=langle p angle)，故必有(ainlangle p angle)或(binlangle p angle)，即(pmid a)或(pmid b)。这样就证明了，主理想环是唯一分解环。
• 求证高斯整数环是主理想环。（提示：考察绝对值最小的元素）
研究唯一分解环更直接的方法当然是在环(R)中定义带余除法，为此定义一个从非零元素到正整数的映射(varphi)，对环中的任何元素(a,b)存在(a=bq+r)，其中(r=0)或(varphi(r)<varphi(b))。如果这样映射存在，(R)被称为欧式环。若(N rianglelefteq R)且(varphi(a))在(N)中值最小，由定义容易证明(N)中的任何元素都以(a)为因子，从而(N)为主理想，进而(R)是唯一分解环。
• 求证高斯整数环是欧式环；（提示：在(Bbb{Q}[i]中逼近)）
• 求证域上的多项式环(F[x])是欧式环。（提示：考虑阶）
1.3 高斯整数环
高斯整数环(G=Bbb{Z}[i])是对整数环的扩充，它的元素是所有(z=a+bi)形式的复数。(left| z ight|=a^2+b^2)称为(z)的范数，容易证明范数有以下性质。上面的习题已经证明了高斯整数环是唯一分解环，以此为例子，我们来简单分析一下这个环的分解情况。首先比较容易得到，(G)的单位集合为(U(G)={pm 1,pm i})。接下来就是研究(G)的素元，为了区别起见，这里先把整数环的素数叫做有理素数。
[left| z_1 ight|cdotleft| z_2 ight|=left| z_1z_2 ight| ag{1}]
高斯整数环是整数环的子环，故每个高斯整数首先可以按照算术基本定理分解为有理素数之积。再由分解的唯一性，素元必定是某个有理素数的因子，所以我们只需研究有理素数(p)的分解。(p)的范数为(p^2)，故它的因子不可能超过两个，这就说明了(p)要么自身为素元，要么有两个共轭素元(z,ar{z})，且(left| z ight|=left|ar{z} ight|=p)。进一步地，其实就是研究不定方程(a^2+b^2=p)是否有解。
首先对唯一的偶素数有(2=(1+i)(1-i))，所以(2)不是素元，它有素因子(1pm i)。对(p)为奇数的场景，可以得到(a^2equiv -b^2pmod p)，由初等数论的知识可知，等式成立的必要条件是(left(dfrac{-1}{p} ight)=1)，即(pequiv 1pmod 4)。所以当(pequiv 3pmod 4)时，(p)本身就是素元。而当(pequiv 1pmod 4)时，(a^2equiv -1pmod p)有解，从而(pmid (a^2+1))，但是(p mid (apm i))，所以(p)不是素元（注意(apm i)不一定是素元）。
2. 多项式环
2.1 根和因式
在结束环的讨论之前，我们以多项式环为例来看看环理论的应用。高等代数中讨论的是域上的多项式，这里我们先从一般的环开始，然后再在特殊的环中进行研究，你会得到更高的视角看待多项式。之前我们已经给出过多项式环的定义，这里进一步研究多项式的根和因式分解。
对多项式(f(x)in R[x])，考虑将(ain R)带入其表达式，得到的结果(f(a))叫(f(x))在(a)处的值，满足(f(a)=0)的(a)称为多项式的根或零点。这里要注意带入的多项式必须是完全展开的，对非交换环(R)，若(f(x)=g(x)h(x))，显然不一定有(f(a)=g(a)h(a))，当然这个等式对交换环是一定成立的。为方便讨论，把(f(x))的次数记作( ext{deg}\,f)，显然有以下关系式。当首相系数不是零因子时，还有( ext{deg}\,(fg)= ext{deg}\,f+ ext{deg}\,g)。
[ ext{deg}\,(f+g)leqslant max( ext{deg}\,f,\, ext{deg}\,g),quad ext{deg}\,(fg)leqslant ext{deg}\,f+ ext{deg}\,g ag{2}]
有了这些基本概念，我们接着讨论根与多项式分解的关系。对域上的多项式(f(x),g(x))，高等代数中使用除法，可以得到以下公式（3），且(q(x),r(x))唯一。回顾计算过程，其实对含幺环上的多项式，只需要求(g(x))的首项系数是单位即可。所以这个结论对一般含幺环也可以成立，只需选择合适的(g(x))。特别地，对任意(ain R)，如果取(g(x)=x-a)，则有(f(x)=q(x)(x-a)+r)。将右边展开并将(a)代入两边，整理后（(a^k)与(a)可交换）得到(r=f(a))，这就是余数定理（公式（4））。要注意这个证明中并不能直接将(a)代入，因为(R)不一定是交换环。
[f(x)=q(x)g(x)+r(x),: ext{deg}\,r(x)< ext{deg}\,g(x) ag{3}]
[f(x)=q(x)(x-a)+f(a) ag{4}]
接着上面的讨论，当(a)是(f(x))的根时，可以得到((x-a)mid f(x))。反之如果(f(x)=p(x)(x-a))，则有(f(a)=(p(x)-q(x))(x-a))，在交换环中该式为(0)（非交换环中不一定成立）。这样我们就有结论：交换含幺环中，有公式（5）的等价关系。再假设含幺环的多项式(f(x))的不同零点为(a_1,a_2,cdots)，则首先有(f(x)=g_1(x)(x-a_1))。若为交换环，则有(g_1(a_2)(a_2-a_1)=0)，若还为无零因子环，则(g_1(a_2)=0)，故((x-a_2)mid g_1(x))。以此类推，容易知道根的个数不大于多项式的次数(n)，在(n+1)个不同的点值相同的多项式是唯一的。总结就是：含幺整环上的多项式(f(x))最多有( ext{deg}\,f)个根。这个结论看似显然，但每个条件都是不可或缺的，比如在四元数除环(H)中，(x^2+1=0)的根显然不止一个。
[f(a)=0Leftrightarrow (x-a)mid f(x) ag{5}]
• 求证：在整数环上，((x-a_1)(x-a_2)cdots(x-a_n)-1)不可约。（提示：反证）
以上定理给出了含幺整环上的多项式的因式分解方法，但还有两个问题需要解决。一个就是如何找到根，目前还没有一般性的方法，这里只介绍一种求商域根的方法。设(F)为整环(D)的商域，考察(f(x)=sumlimits_{k=0}^{n}a_kx^kin D[x])在(F)中的解(dfrac{d}{c})，带入方程并展开。如果假设((c,d)=1)（这就要求整环是唯一分解环），则有(cmid a_n)且(dmid a_0)。它可以作为方程解的筛选方法，比如求解整系数方程的有理解。
• 求多项式(f(x)=3x^4+6x^3-21x^2-203x-4)的有理根。
另一个问题就是如果有((x-a)^nmid f(x))，该如何判定定(n>1)甚至确定(n)的值？当((x-a)^{n+1} mid f(x))时，(n)称为根(a)的重数，特别地(n>1)时，(a)称为重根，否则称为单根。微积分中使用多项式的导数判断重根，这个方法在环中还是可以成立的。我们把(f'(x)=sumlimits_{k=1}^{n}ka_kx^{k-1})称为(f(x))的形式微商，容易验证在含幺整环中微商的一般性质仍然成立。和微积分中一样，(a)为重根的充要条件是(f(a)=f'(a)=0)，一直使用这个结论就还可以得到重数。另外由于域上的多项式环唯一分解，若((f(x),f'(x))=1)，则(f(x),f'(x))没有共同根，故(f(x))没有重根。
多项式的因式分解一般并不容易，但在常见数域中已经有一些比较有用的结论。比如由代数基本定理（复变函数中介绍）可知，复数域上的多项式都可以分解为若干个一次因式。进而容易证明，实系数多项式根的共轭也是根（共轭运算的性质），所以实数域的多项式都可以分解为若干个一次和二次因式。而对有理数域上的多项式，都可以转化成对整数环多项式的讨论。下一节中将给出求解有理根的方法，和判定多项式不可约的一个充分条件，一定程度可以帮助有理数域多项式的分解。
2.2 高斯定理
现在继续讨论多项式的因式分解，如果要考察其唯一分解性，首先当然要求系数环(R)是唯一分解环。分解中系数的公因子总可以先提取出来，系数公因子只有单位的多项式被称为本原多项式，这个概念可以简化讨论。我们自然有个小问题，本原多项式的因式当然一定是本源多项式，那么反过来呢？本原多项式的积还是本原的吗？结论是肯定的，观察多项式乘积每一项的组成形式（参考下图），若(p)是乘积展开式的公因子，如图考察(i+j)次项有(p mid c_{i+j})，矛盾。这就证明了本原多项式的乘积也是本原多项式，该结论也叫高斯引理。
多项式(f(x)in R[x])可以分解为(d·g(x))，其中(g(x))为本原多项式。要证(f(x))的唯一分解性，只需证(g(x))的唯一分解性。由于(g(x))的阶数有限，且其因式也是本原的，所以(g(x))上的分解首先一定是有限的。现在只需讨论唯一性，前面的习题中已经得到，域上的多项式环是唯一分解环，而每个整环都有其商域。为了考察唯一分解环(R)上多项式环(R[x])，可以借助(R)的商域的多项式环(F[x])的唯一分解性。
对(R[x])中的不可约的本源多项式(h(x))，在(F[x])中讨论其分解性，当然我们只关注阶数大于(0)的因式。如果在(F[x])中有(h(x)=h_1(x)h_2(x))，总可以添加一些系数(d)，使得等式（6）成立，其中(h'_k(x))为(R[x])中的本原多项式。根据高斯引理，(h'_1(x)h'_2(x))也是本原多项式，容易证明(d,d')相伴，消去(d)即得(h(x))与(h'_1(x)h'_2(x))也相伴。这和(h(x))不可约矛盾，故(h(x))在(F[x])也是不可约的。从而如果本原多项式(g(x))有不同的分解方法，它们在(F[x])中也是不同的分解，这与(F[x])的唯一分解性矛盾，我们得到的结论就叫高斯定理。
[dh(x)=d'h'_1(x)h'_2(x) ag{6}]
具体分解本原多项式(f(x)=sum{c_kx^k})并没有一般方法，即使判断本原多项式是否可约都是困难的，这里只介绍一个不可约的充分条件：爱森斯坦判别法（Eisenstein）。若存在素元(p)使得(p mid c_n,pmid c_k(0leqslant k<n-1))但(p^2 mid c_0)，参考高斯定理的证明方法，可判定本原多项式不可约。首先可以假定(pmid a_0,p mid b_0)，由于(p mid c_n)，总可以找到(p mid a_m)而(pmid a_i(i<m))。考察(c_m)容易证(p mid c_m)，与条件矛盾，故(f(x))不可约。
爱森斯坦判别法虽然不是不可约多项式的必要条件，但它对不可约本原多项式的判定非常有用，比如可以肯定任意次本原多项式都有不可约多项式(x^n+2)。值得一提的是，容易验证(f(x))与(f(x+a))的可约性是一样的，灵活使用这个变形有时可以构造出判别法的结构。
• 求证：(f(x,y)=y^3+x^2y^2+x^3y+x)在唯一分解环中不可约；
• 求证：(x^p+px+1)在有理数域中不可约；
• 求证：(f(x)=x^p+x^{p-1}+cdots+x+1)在有理数域中不可约。
2.3 对称多项式
多元多项式环(R[x_1,x_2,cdots,x_n])有一个特殊的子环(Sigma)，其中的每个元素都非常“对称”。准确来讲就是，(f(x_1,x_2,cdots,x_n))对((x_1,x_2,cdots,x_n))的任意置换都保持不变，这样的多项式就叫做对称多项式。在这些多项式中，有几个是最基础的（公式（7）），它们被称为基本对称多项式。这些式子也许你并不陌生，这正是闭域上(n)次多项式方程的韦达定理，它给出了方程根与系数的关系（公式（8））。
[sigma_1=sum{x_i},:sigma_2=sumlimits_{i<j}{x_ix_j},:sigma_3=sumlimits_{i<j<k}{x_ix_jx_k},:cdots,:sigma_n=x_1x_2cdots x_n ag{7}]
[(x-x_1)(x-x_2)cdots(x-x_n)=x^n-sigma_1x^{n-1}+sigma_2x^{n-2}+cdots+(-1)^nsigma_n ag{8}]
在中学你多少都接触过对称多项式，我们这里介绍它们的一个漂亮结论。你可以想象，将这(n)个元素带入任何一个(n)元多项式，得到的仍然是对称多项式。我们的结论正是它的反命题：任何多项式(f(x))都可以用这(n)个元素的多项式表示，即公式（9）成立，以下证明过程其实也是生成多项式的构造过程。首先一个对称多项式可以按照项的次数分成几个多项式之和(f=f_0+f_1+cdots+f_m)，其中(f_k)中的每一项的次数都是(k)。容易证明(f_k)也是对称多项式，一般称之为齐次对称多项式，基本多项式就是典型例子。如果我们能证明结论在齐次多项式中成立，则在一般多项式中也成立。
[f(x)inSigma:Leftrightarrow: f(x)in R[sigma_1,sigma_2,cdots,sigma_n] ag{9}]
为了便于讨论，我们将(m)次齐次多项式(f_m)的项(x_1^{d_1}x_2^{d_2}cdots x_n^{d_n},(sum d_k=m))以(d_1d_2cdots d_n)进行字典排序。考虑到的(N=sigma_1^{t_1}sigma_2^{t_2}cdotssigma_n^{t_n})展开后的最大项为式子（10），可以反向构造(N)使得其最大项与(f_m)的最大项(M)相等，两式相减后的最大项一定小于之前的最大项。这个过程可以在有限步后结束，构造出的所有(N)便是生成多项式的项，对称多项式基本定理得证。这个结论对任意环(R)都是成立的，由证明过程还可以知道，当(R)为整环时生成多项式是唯一的。
[x_1^{t_1+t_2+cdots+t_n}x_2^{t_2+cdots+t_n}cdots x_n^{t_n} ag{10}]
再回顾构造过程，每次选取的(N)的最大项的次数都是(m)，故满足条件（11）。根据这个结论，我们可以使用待定系数法更快地得到某个具体的生成多项式。比如(f_4=x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4)，设(f_4=asigma_1^4+bsigma_1^2sigma_2+csigma_1sigma_3+dsigma_2^2+esigma_4)，取((x_1,x_2,x_3,x_4))的不同值带入，解方程组便得到生成多项式。
[t_1+2t_2+cdots+nt_n=m ag{11}]
最后来讨论一下一类常用的对称多项式，它们是元素的等幂和(S_k=x_1^k+x_2^k+cdots+x_n^k)，我们需要知道它们和基本对称多项式的关系。为了得到结论，以下设(f(x)=prod(x-i))，充分利用韦达定理和(f'(x))的形式特点，构造次数小于(n)的多项式(g(x)=f(x)(dfrac{x_1^{k+1}}{x-x_1}+cdots+dfrac{x_n^{k+1}}{x-x_n}))，可以得到式（12）。比较等式两边的(n)次项，就得到著名的牛顿公式（公式（13）(14)），这个公式可以在({S_k})和({sigma_k})之间进行转换。
[x^{k+1}f'(x)-g(x)=f(x)(S_0x^k+S_1x^{k-1}+cdots+S_k) ag{12}]
[S_k-sigma_1S_{k-1}+sigma_2S_{k-2}+cdots+(-1)^kksigma_k=0,quad (kleqslant n) ag{13}]
[S_k-sigma_1S_{k-1}+sigma_2S_{k-2}+cdots+(-1)^nsigma_nS_{k-n}=0,quad (kgeqslant n) ag{14}]