1. 连续函数
1.1 连续和间断
实数的完备性是分析学的基础，它自然也是微积分的出发点。极限是实数完备性的具体描述，我们的微积分之旅也从这里开始。在《实数系统》中，我们已经讨论了实数的完备性和极限的概念，这里把极限的概念引入到函数中。在集合论中，函数被看成是集合间的映射，当在集合中引入极限的概念后，我们自然要去讨论函数在满足一定极限条件下的性质。
既然讨论的基础是实数的完备性，当然要将函数(f(x))的定义域和值域都限定为实数域或其子集。当(x o x_0)时，我们希望所研究的函数满足(f(x) o f(x_0))（式（1）），并称(f(x))在点(x_0)处连续。若记定义域为(X)，且(f(x))在每一点都连续，也称为(f(x))在(X)上连续，记作(C_X)。
[lim_{x o x_0}{f(x)} o f(x_0) ag{1}]
在分析连续性时，我们可以使用更容易操作的(varepsilon)-(delta)定义（式（2））：对任意的(varepsilon>0)，都存在(delta>0)，使得当(|x-x_0|<delta)时有(|f(x)-f(x_0)|<varepsilon)。你甚至还可以将它定义为，对任何满足(x_n o x_0)的数列({x_n})，都有(f(x_n) o f(x_0))。这三种定义是等价的，请自行论证，在不同场合下可选择使用。
[forallvarepsilon\,existsdelta;(|x-x_0|<delta;Rightarrow;|f(x)-f(x_0)|<varepsilon) ag{2}]
相对地，函数在不连续的点称为间断的，其实有些间断点也有很强的“连续性”，这里将它们单独定义。具有“连续性”的间断点有时也有连续点的很多性质，在具体情况下请留意相应性质的扩展。一种常见的情况是如式（3）的单方连续，它们分别称为左（右）连续，显然连续的充要条件是：既是左连续，又是右连续。对于任何间断点，我们都应该分别讨论它的左右连续（间断）性。
[lim_{x o x_0^-}{f(x)} o f(x_0);quadlim_{x o x_0^+}{f(x)} o f(x_0) ag{3}]
对于间断点，根据情况还可以进一步分类。若(f(x))在(x_0)处有极限，但极限值不是(f(x_0))（甚至(f(x_0))没有定义），修正（补充）(f(x_0))为极限值后，(f(x))在(x_0)处连续，这样的间断点称为可去间断点。当(f(x))在(x_0)处左右极限都存在时（不一定相等），(x_0)称为第一类间断点。反之当左极限或右极限不存在、或极限为无穷，(x_0)称为第二类间断点。
• 判定(dfrac{sin{x}}{x})、([x])、(sin{dfrac{1}{x}})在(x=0)处的间断类型。
1.2 连续的判定
连续的概念表示了函数在点的邻域内的性质，在集合上邻域的概念可以进行扩展。如果对任意点(xin X)，都有(X)包含(x)的某个邻域，这样的点集(X)称为开集。邻域本身就是开集，而开集可以看做邻域在集合上的扩展（邻域针对一个点，而开集针对一个集合），开集在(Bbb{R})上补集叫闭集。容易验证，有限个开集（闭集）的交集（并集）还是开集（闭集），任意个开集（闭集）的并集（交集）还是开集（闭集），请自行验证。关于开集、闭集的进一步结论将在《测度论》中讨论，这里可以暂且认为是一些开区间、闭区间。
当(f(x)in C_X)时，连续的定义是说：对任何(f(x_0))的邻域(U)，都存在(x_0)的邻域(V)，使得(f(V)subset U)。把这个性质扩展到开集(G)中，若有(f(x_0)=y_0in G)，则易知(x_0)的某个领域(Vsubset f^{-1}(G))，所以(f^{-1}(G))也是开集。反之若(f(x))在任何开集(G)的原象也是开集，利用定义可证(f(x))连续，这就有了(f(x))在(X)上连续的充要条件：对任何开集(G)，(f^{-1}(G))也是开集。
以上结论在研究中很有用，但在具体的问题中，我们还需要一些简单的判定方法。例如对称函数，只需要证明其对称轴一侧的连续性即可。对于单调连续函数(f(x))，直觉上它的反函数(f^{-1}(x))也是连续的，但还需要严格论证，比如可以使用上面的开集理论证明。有了这个结论，幂函数、对数函数、反三角函数的连续性就得到了证明，至此，初等函数的连续性就确定了。我们还很容易验证函数的四则运算以及复合函数（在有意义的点上）的连续性，这样普通表达式函数的连续性也能确定了（特殊点上需要讨论间断类型）。
另一方面，初等函数及其组合函数的连续性也为求极限提供了直接的方法。基本方法是，通过适当的变形，将函数变形为组合函数，并且每个部分都是容易求极限。比如式（4）的推导中，等号（*）成立的依据就是(ln{x})的连续性。更多地，你还可以利用(g(x)^{f(x)})的连续性
[lim_{x o 0}{dfrac{ln(1+x)}{x}}=lim_{x o 0}{ln{(1+x)^{frac{1}{x}}}}overset{*}{=}ln{lim_{x o 0}{(1+x)^{frac{1}{x}}}}=ln{e}=1 ag{4}]
• 求证：(limlimits_{x o 0^+}{x^x}=1)；
• 求证：(limlimits_{n oinfty}(cos{frac{x}{n}+lambdasin{frac{x}{n}}})^n=e^{lambda x})。
1.3 连续的性质
上面仅仅是定义了连续函数，我们最终还是要研究，这样的函数具有哪些特殊的性质？连续的定义主要是限制了函数值，根据极限的定义，连续点附近的点的值是有界的。在实数系统中我们知道，紧集可以被有限个点的领域覆，由于每个点的邻域上函数值有界，故函数在紧上有界。特别地，由于闭区间是紧集，所以如果(f(x)in C_{[a,b]})，那么(f(x))有界。这个结论被称为连续函数的有界性定理，它也可以通过其它实数基本定理证明，有兴趣可以自行论证。
既然(f(x))有界，它必有上确界(M)，也就是说存在数列({x_n})，使得(f(x_n) o M)。另外，({x_n})的聚点(x_0)必然属于([a,b])，再由于闭区间的聚点还属于该区间，利用反证法可知(f(x_0)=M)。也就是说(f(x))在闭区间上存在最大值(M)，同样可证，也存在最小值(m)，这就是连续函数的最值定理。
取任意(y_0in [m,M])，记(X')为满足(f(x)<y_0)的所有(x)，则(X')非零且有界，从而有上确界。类似于最值定理，可证存在(f(x_0)=y_0)，也就是说(f(x))的值域为([m,M])，这被称为介值定理。特别地，如果(f(a)f(b)<0)，则必然存在(f(x_0)=0)，这就是零点定理。
以上结论虽然很直观，但证明却不那么明显，是因为都需要用到实数的基本定理。这些结论可以通过不同的实数定理来证明，你可以尝试一下，这样可以再次感受实数的完备性，也能够体会到为什么我一直说它是分析学的根基。当然，光依靠连续性，我们已经得不出更多有价值的结论，还需要对连续函数添加更多的限制。连续的定义仅仅限定了一点周边的值的趋势，但却没有对“趋势”本身做度量，下面就来继续的我们的讨论。
1.4 一致连续
虽然连续函数的每个点的周边都“趋于”该点，但它们“趋于”的“程度”在每个点却是不一样的。对定义中任意的(varepsilon)，每个点上选取的(delta)不一定能统一。比如考察(f(x)=dfrac{1}{x})，当选取的(x_0)越接近(0^+)时，要选取的(delta)无限趋于(0)，无法统一选取。为此，如果对任意的(varepsilon>0)，总存在(delta>0)，使得在任意点(x_0)的(delta)-领域内都存在(|f(x)-f(x_0)|<varepsilon)，这样的函数我们称它在定义域上一致连续。
直觉上你能想到，那些处处“斜率”有界的函数一定是一致连续的，而“斜率”趋于无穷的函数则不一致连续。但真实情况要复杂的多，比如半圆形的两个端点处的斜率是趋于无穷大的，但可以证明它是一致连续的。而一些奇葩的函数，线条很“粗燥”，根本没有斜率，但它却是一致连续的。直觉可以帮助我们理解分析学的很多概念，但严格的定义和论证却是不可缺少的。
再回到一致连续的定义，由于闭区间([a,b])可以被有限覆盖，从而总可以找出统一的(delta)。这就是说任何(f(x)in C_{[a,b]})都是一致连续的，该结论被称为康托尔定理。另一方面，对任意柯西数列({x_n})，当(|x_i-x_j|<delta)时总有(|f(x_i)-f(x_j)|<varepsilon)，从而({f(x_n)})也是柯西数列。反之当函数不一致连续时，可构造两个数列({x'_n},{x''_n})，使得(|x'_n-x''_n| o 0)，但(|f(x'_n)-f(x''_n)|>varepsilon)。如果再限定定义域有界，可取({x'_n},{x''_n})的柯西子数列重新组成一个柯西数列，但对应函数值不是柯西数列。
上面的讨论说明，定义域有界的函数一致收敛的充要条件是：任意柯西数列的函数值都是柯西数列。这个结论应用到定义域为开区间((a,b))的函数(f(x))上，可以知道(x o a^-)和(x o b^+)时，(f(x))都存在有限极限。另外，有时候可以按函数特点，把定义域分割为有限个有重叠的（必须）子域，在每个每个子域上单独证明其一致连续性。
• 求证：(dfrac{sin{x}}{x})在((0,+infty))上一致连续。
2. 导数
2.1 导数的定义
一致连续对连续函数的极限“趋势”做了初步讨论，现在就来对这个“趋势”进行量化，为连续函数添加新的属性。在连续函数(f(x))的任意一点(x_0)，当(varDelta x=x-x_0 o 0)时，(varDelta f(x_0)=f(x)-f(x_0) o 0)。度量这个“趋势”比较自然方法是考察(dfrac{varDelta f(x_0)}{varDelta x})，当(varDelta x o 0)，如果该式存在有限极限(A)，则称(f(x))在(x_0)可导，而(A)称为(f(x))在(x_0)上的导数，也记作(f'(x_0))（式（5））。
[f'(x_0)=limlimits_{varDelta x o 0}{dfrac{varDelta f(x_0)}{varDelta x}} ag{5}]
当式（5）有无穷极限时，也可以称(f(x))在(x_0)上有无穷导数，为方便也可写作(f'(x_0)=infty)，极限不存在的则称为不可导。在定义域上处处可导的函数也称为可导的，导数生成的函数(f'(x))也称为导函数。显然可导的函数一定是连续的，可导是连续函数的一种属性，后面的讨论就是基于这个属性来研究函数的性质。
类似单方连续的概念，我们也可以定义单方可导，左（右）导数记为(f'_-(x))（(f'_+(x))）。显然，函数可导的充要条件是：左右可导且导数相等。单方可导还能推出单方连续，另外也可以有单方无穷导数的概念，这里就不作赘述了。
2.2 导数的计算
从定义可知，求导（函）数最终还是归结为求极限，像幂函数、指数函数、正（余）弦函数都比较容易求得，请自行验证或参考相关教材。对于组合型函数的导数，我们可以有一些结论简化求导过程。比如对于函数的四则运算，通过定义容易推导出式（6）~（8），请自行验证。利用四则运算和已知的初等函数，可以得到多项式、正（反）切函数等更多函数的导函数。
[[\,f(x)pm g(x)\,]'=f'(x)pm g'(x) ag{6}]
[[\,f(x)g(x)\,]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ag{7}]
[[\,dfrac{f(x)}{g(x)}\,]'=dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} ag{8}]
设(y=f(x))，从导数的定义(dfrac{varDelta y}{varDelta x})我们还容易想到，如果(f'(x_0) e 0)，在(x_0)足够小的邻域内(f(x))存在反函数(x=f^{-1}(y))。并且(dfrac{varDelta x}{varDelta y})极限存在，为(dfrac{1}{f(x_0)})。所以如果可导函数(f(x))的导数非零，且存在反函数(f^{-1}(y))，那么反函数的导函数存在（式（（9））。这个结论可以帮助我们得到对数函数、反三角函数等函数的导函数。
[[\,f^{-1}(x)\,]'=dfrac{1}{f'(y)}=dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} ag{9}]
函数的还有一种常见组合形式就是复合函数，设(u=g(x))在(x_0)处可导，且(y=f(u))在(u_0=g(x_0))处也可导。也许你觉得直接利用(dfrac{varDelta y}{varDelta x}=dfrac{varDelta y}{varDelta u}cdotdfrac{varDelta u}{varDelta x})分别求极限就行了，思路是对的，但要注意(varDelta u)可能为(0)，为此需要换个形式论证（本质是一样的）。
由(f(u))在(u_0)可导得到(alpha=dfrac{varDelta f(u_0)}{varDelta u}-f'(u_0) o 0)，整理为式（10），值得注意的是式（10）在(varDelta u=alpha=0)时也成立。从而有(dfrac{varDelta y}{varDelta x}=f'(u_0)dfrac{varDelta u}{varDelta x}+alphadfrac{varDelta u}{varDelta x})，求极限便有公式（11）成立，该式称为求导的链锁法则。
[varDelta f(u_0)=f'(u_0)varDelta u+alphavarDelta u ag{10}]
[[\,f(g(x))\,]'=f'(g(x))g'(x) ag{11}]
以上是求导函数的基本方法，在实际问题中，可能还需要一些变形以简化求导过程，其中最常用一种叫对数求导法。对数有着“降次”的功效，像(y=u(x)^{v(x)})和(y=prod f_i(x))这样的“高次”函数，取对数后就便成了(v(x)ln{u(x)})和(sum{ln{f_i(x)}})这种“低次”函数。对它们求导是相对容易的，而它们的导函数其实就是([ln{y}]'=dfrac{y'}{y})，这就很容易得到(y')了。
有些变量的函数关系式写成(F(x,y)=0)会更加简单，从而直接对其求导并整理出(y')会更容易一些。有些函数关系甚至无法表示成(y=f(x))的形式，而只能写成(F(x,y)=0)，这样的函数称为隐函数，它的导数也只能从直接对(F(x,y))求导得来。
• 计算导函数：(x^x)、(sqrt{dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}})、((dfrac{a}{b})^x(dfrac{b}{x})^a(dfrac{x}{a})^b)；
• 计算导函数：(x^2+xy+y^2=0)、(arctan{dfrac{y}{x}}=ln{sqrt{x^2+y^2}})。
2.3 常用导数
下表列出了常见初等函数的导数，以便查阅。（其中(sinh{x}=dfrac{e^x-e^{-x}}{2})，(cosh{x}=dfrac{e^x+e^{-x}}{2})，( anh{x}=dfrac{sinh{x}}{cosh{x}})，(coth{x}=dfrac{cosh{x}}{sinh{x}})）
| (f(x)) | (f'(x)) |
| (c) | (0) |
|
(x^{mu})， (x) (dfrac{1}{x})， (sqrt{x}) |
(mu x^{mu -1})， (1) (-dfrac{1}{x^2})， (dfrac{1}{2sqrt{x}}) |
|
(a^x)， (e^x) |
(a^xln{a})， (e^x) |
|
(log_a{x})， (ln{x}) |
(dfrac{1}{x}log_a{e})， (dfrac{1}{x}) |
|
(sin{x})， (cos{x}) |
(cos{x})， (-sin{x}) |
|
( an{x})， (cot{x}) |
(dfrac{1}{cos^2{x}})， (-dfrac{1}{sin^2{x}}) |
|
(arcsin{x})， (arccos{x}) |
(dfrac{1}{sqrt{1-x^2}})， (-dfrac{1}{sqrt{1-x^2}}) |
|
(arctan{x})， ( ext{arccot}\,{x}) |
(dfrac{1}{1+x^2})， (-dfrac{1}{1+x^2}) |
|
(sinh{x})， (cosh{x}) |
(cosh{x})， (sinh{x}) |
|
( anh{x})， (coth{x}) |
(dfrac{1}{cosh^2{x}})， (-dfrac{1}{sinh^2{x}}) |
2.4 高阶导数
对于导函数，我们可以继续讨论它的连续性和可导性，如果(f'(x))可导，(f(x))称为二阶可导的，导函数(f''(x))称为(f(x))的二阶导数。进而还可以定义(n)阶可导和(n)阶导数，导函数记作(f^{(n)}(x))。高阶导数仍然有它的意义，下一篇你会看到它的应用。
关于函数四则运算的高阶导数，我们只需要讨论乘法(y=uv)。其实乘法一阶导数的公式((uv)'=u'v+uv')，就好像是初始二项式(a^0b^0)乘上了((a+b))，得到(a^1b^0+a^0b^1)。利用这种形式的相似性，很容易得到乘法的高阶导数（式（12）），它被称为莱布尼兹公式。
[y^{(n)}=(uv)^{(n)}=sumlimits_{i=0}^n{C_n^iu^{(n-i)}v^{(i)}} ag{12}]
从上面的表格看出，初等函数的导函数还是由初等函数组合而成，所以它们都有任意阶导数。但不是所有的高阶导数都有简洁的表达形式，下表列出了一些常用高阶导数，以便查阅。对于复杂的函数，尽量拆解为简单函数的和或积，可以简化计算过程。对有些情况，还需要巧妙的变形，以间接地求得高阶导数。
| (f(x)) | (f^{(n)}(x)) |
|
(x^{mu})， (dfrac{1}{x}) |
(mu(mu-1)cdots(mu-n+1)x^{mu-n})， ((-1)^ndfrac{n!}{x^{n+1}}) |
| (a^x)， (e^x) | (a^xln^n{a})， (e^x) |
| (sin{x})， (cos{x}) | (sin{(x+dfrac{pi}{2}n)})， (cos{(x+dfrac{pi}{2}n)}) |
• 求(n)阶导数：(dfrac{1}{x^2-1})、(arctan{x})；
• 设(y=arctan{x})，不求导函数的情况下求(y^{(n)}(0))。