1. 微分的概念
1.1 一阶微分
导数表现出两个小变量(varDelta y,varDelta x)之间近似的线性关系（式（1）），这个关系启发了我们，可以为“无穷小量”建立一个度量模型。但这里说的“无穷小量”并不是一个孤立的量，它具有一种“动态”，且和自变的“无穷小量”有线性关系。无穷小量的“动态”衍生于函数，所以对它的讨论离不开具体的函数。对于每个函数(y=f(x))，如果在某一点(x_0)满足式（1），我们称(f(x))在(x_0)可微。变量(x,y)在(x_0)处表示变化的“无穷小量”被称为(x,y)的微分，记作( ext{d}x, ext{d}y)，且有( ext{d}y=A\, ext{d}x)。
[varDelta y=AvarDelta x+o(varDelta x) ag{1}]
关于微分的概念，上面的描述倾向于把它当“无穷小”的一种模型，但我们后面需要把它当一般的非零数量，进行四则运算甚至微分运算。因此需要先对微分的这些运算建立严格的理论。这个工作在上世纪有人做过，这里就不展开了。为了让下面的推导有个严谨的解释，我想还是采用教材上的提法，定义( ext{d}x=varDelta x)，它是自变的非零小量。而其它微分则是式（1）的(AvarDelta x)部分，讨论中要特别注意分母上的微分不能为(0)。
由定义可知，一元函数可微的充要条件是可导，它们是等价的。为此导（函）数有时也写作(dfrac{ ext{d} f(x)}{ ext{d} x})或(dfrac{ ext{d} f}{ ext{d} x}{(x)})（后者更主张形式定义，而不是除法），并可称为微商。根据导数的四则运算，容易推得微分的四则运算（式（2））。再由复合函数的导数公式可得到式（3），由此看出，微分的线性关系不仅仅存在于自变量和因变量之间，还存在于任何两个有可导函数关系的因变量之间。
[ ext{d}(upm v)= ext{d}upm ext{d} v;quad ext{d}(uv)=v\, ext{d}u+u\, ext{d}v;quad ext{d}(dfrac{u}{v})=dfrac{v\, ext{d}u-u\, ext{d}v}{v^2} ag{2}]
[ ext{d}y=[f(u)]'dx=f'(u)u'\, ext{d}x=f'(u)\, ext{d}u ag{3}]
1.2 高阶微分
上面看到，微分( ext{d}y)其实也是关于(x)的函数，所以可以继续对其求微分。这样的微分( ext{d}( ext{d}y))叫(y)的二阶微分，简记为( ext{d}^2y)。由乘法的微分公式可知，( ext{d}^2y= ext{d}f'(x)\, ext{d}x+f'(x)\, ext{d}( ext{d}x))。由于( ext{d}x)是独立的自变量，所以( ext{d}( ext{d}x)=0)，再把(( ext{d}x)^2)简记为( ext{d}x^2)，故有( ext{d}^2y=f''(x)\, ext{d}x^2)。
同样可以定义(n)阶微分( ext{d}^ny)，并且有式（4）成立，所以高阶导数也可以定义为(dfrac{ ext{d}^ny}{ ext{d}x^n})。类似于乘法的高阶导数，乘法的高阶微分同样有莱布尼兹定理（式（5））。但要注意，在高阶微分中，类似式（3）的形式不变性不一定还成立，你可以随便找个函数验证这个结论。
[ ext{d}^ny=f^{(n)}(x)\, ext{d}x^n ag{4}]
[ ext{d}^n(uv)=sumlimits_{i=0}^n{C_n^i\, ext{d}^{n-i}u; ext{d}^i}v ag{5}]
将导数表示成微商的形式，可以为无穷小建立度量模型，从而方便了很多问题的讨论。比如有一类函数关系，(x,y)都是参数（自变量）(t)的因变量（式（6）左称为参变量方程）。如果想得到(x,y)之间函数的导数，用微分表达式就很方便。当(x'(t) e 0)时，可有(y'_x=dfrac{ ext{d}y}{ ext{d}x}=dfrac{y'(t) ext{d}t}{x'(t) ext{d}t}=dfrac{y'(t)}{x'(t)})，同样可求得(x'_y)（式（6））。利用(y''_x=dfrac{ ext{d}(frac{ ext{d}y}{ ext{d}x})}{ ext{d}x})继续变形，可求得二阶导数（式（7）），更高阶导数的求法类似。
[left{egin{matrix}x=x(t)\y=y(t)end{matrix} ight.quadRightarrowquad y'_x=dfrac{y'(t)}{x'(t)};quad x'_y=dfrac{x'(t)}{y'(t)} ag{6}]
[y''_x=dfrac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3} ag{7}]
2. 微分中值定理
我们在连续函数的基础上，又添加了可导（可微）的概念，每增加一种限制，函数就体现出更特殊的性质，现在就来看看可导函数有哪些性质。连续函数的特点表现为局部的连续性（废话），而可导函数则体现了函数在局部的平滑性（值以近似线性的趋势变化）。
先看一个平滑性的例子，如果可导函数(f(x))在(x_0)处极大（小）值，则在(x_0)处的单边导数一定分别(geqslant 0)和(leqslant 0)。由于函数可导，故左右导数必定都为(0)，也就是说(f'(x_0)=0)。函数在极点处是平滑过渡的，而不是尖角，这个结论叫费马（Fermat）定理。
说到函数的极值，我们知道([a,b])上的连续函数必有最大和最小值，所以如果(f(x))在([a,b])上的可导，它必有最大值(M)和最小值(m)。为了让它们不都落在端点处，再假设(f(a)=f(b))，如果(m=M)，则函数为常数，导数处处为(0)。如果(m e M)，则必有一个不落在端点，故必有一个内点的导数为零。结论总结为：如果(f(x)in C_{[a,b]})可导且(f(a)=f(b))，则必存在(cin (a,b))使得(f'(c)=0)。该结论被称为罗尔（Rolle）定理。
罗尔定理有着直观的几何解释，如果光滑线段两端在同一高度，则必有一处的切线是水平的。显然这一几何现象是可以推广的，第一种推广就是不限定端点，其中一个或两个端点可以伸到无穷远处，但两端的极限相等。证明方法类似，主要是确定存在极点，得到的结论也称为扩展的罗尔定理。罗尔定理虽然直观，但定理的使用却有着无穷的变换，很多看似无关的问题在通过巧妙的变换后，却仍然还是这个定理。
• (f(x))可导且存在两个零点，求证：(f(x)+f'(x))在这两个零点之间有一个零点。（提示：考察(F(x)=e^xf(x))）
罗尔定理的另一种扩展就是把水平线变成任意方向的斜线，即如果(f(x)in C_{[a,b]})可导，猜想存在(xiin (a,b))使得式（9）成立。但这毕竟不是几何问题，不好说通过旋转坐标的方法证明结论，我们还是得借助罗尔定理来证明。思路其实很简单，只要利用(f(x))构造一个满足(F(a)=F(b)=0)的函数(F(x))，然后间接地得到结论。容易构造出式（8）的函数满足条件，利用罗尔定理并整理后便得到公式（9）。
[F(x)=f(x)-f(a)-dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) ag{8}]
[f'(xi)=dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} ag{9}]
该结论称为拉格朗日（Lagrange）定理，也叫微分学中值定理，它建立了导数和函数值之间的关系，是微分学的基本定理。如果函数是以参数方程的形式表示的，中值定理也有对应的结论。如果(f(x),g(x)in C_{[a,b]})可导，且(g'(x) e 0)，通过类似的构造可知，存在(xiin(a,b))使得式（10）成立。这个结论也叫柯西中值定理。
[dfrac{f'(xi)}{g'(xi)}=dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} ag{10}]
• (f(x)in C_{[a,b]})可导（(a>0)），则存在(xi_1,xi_2in(a,b))，满足(f'(xi_1)=dfrac{f'(xi_2)}{2xi_2}(a+b))。（提示：(g(x)=x^2)）
柯西中值定理的形式提示我们，可以将不定式(dfrac{0}{0})问题转化为导数的比。具体来说，如果(x o 0)时(f(x) o 0, g(x) o 0)，(f(x),g(x))可导且(g'(x) e 0)，则由柯西中值定理知(dfrac{f(x)}{g(x)}=dfrac{f'(xi)}{g'(xi)})。所以如果后者的极限(K)存在或为无穷，则前者具有相同的极限（式（11））。从证明过程可知，结论对于单边极限也是成立的，并且如果(f(x),g(x))高阶可导且(g^{(n)}(x) e 0)，公式（11）可以连续使用。但要注意，如果后者的极限不存在，并不能说明前者的极限也不存在。
[limlimits_{x o a}\,{dfrac{f'(x)}{g'(x)}}=KquadRightarrowquadlimlimits_{x o a}\,{dfrac{f(x)}{g(x)}}=K ag{11}]
同样条件下，对(dfrac{infty}{infty})型不定式（(f(x) oinfty, g(x) oinfty)）可以有样的结论，证明中要以(dfrac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)})为中间式进行讨论。当(x oinfty)时做代换(x=dfrac{1}{t})，以上两种不定式同样成立。这就是说结论在(a,K)为实数或无穷时都成立，它们一起被称为洛比达（L'Hospitale）法则。对于(0cdotinfty,infty-infty,0^0,infty^0,1^{infty})形式的不等式，其实都可以转化为以上两种情景，故也可以利用洛必达法则计算。
3. 泰勒公式
可导函数是平滑的，这一点使得函数值在领域内有了牵连，后面的积分学中我们将会看到，导数可以完全确定函数的走向。某一点如果有高阶导数，它们会影响低阶导数的走向，我们自然想问：某一点的高阶导数对周边值究竟有多大影响？设(f(x),g(x))在(x_0)处的值和直到(n)阶导数都相等（注意，在(x_0)有(n)阶导数标志着在其邻域内有(1sim n-1)阶导数），它们的差值(r(x)=f(x)-g(x))在(x_0)处满足式（12）。
[r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=cdots=r^{(n)}(x_0)=0 ag{12}]
首先由(dfrac{r(x)}{x-x_0} o r'(x_0)=0)，可知(r(x)=o(x-x_0))。类似地有(r'(x)=o(x-x_0))，从而(dfrac{r(x)}{x-x_0}=r'(xi)=o(xi-x_0))，容易有(r(x)=o((x-x_0)^2))。使用归纳法可以证明(r(x)=o((x-x_0)^n))，这就表示一个点的导数和高阶导数对它周围的值有很好的限制作用，误差可以控制在任何精度之内。
有了以上结论，我们可以找一个简单函数来作为(f(x))的逼近，而最简单的函数当然就是多项式。而且(n)阶多项式(P_n(x))可以唯一表示成(sumlimits_{i=0}^n=a_i(x-x_0)^i)的形式，这个形式的每一项就是每一阶的无穷小量，用起来非常方便。如果(P_n(x))在(x_0)处与(f(x))的值和直到(n)阶导数都相等，首先容易证明(a_i=dfrac{f^{(i)}(x_0)}{i!})，其次由刚才的结论得到(f(x))的估算式（13）。
[f(x)=f(x_0)+dfrac{1}{1!}f'(x_0)(x-x_0)+dfrac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+cdots+dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) ag{13}]
以上公式被称为泰勒公式，差函数(r_n(x)=f(x)-P_n(x))称为它的余项，而(o((x-x_0)^n))称为皮亚诺余项。泰勒公式有着非常好的形式特点，回顾幂函数的导数公式，其实上面相邻两项之间有着很紧密的联系。为此重新记多项式为(P_n(x,x_0))，设(varphi(z)=f(x)-P_n(x,z))，其中(x)固定而(z)为变量。则可以有(varphi(x)=0,\,varphi(x_0)=r_n(x))，并且容易算得到(varphi'(z)=-dfrac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^n)。
对(varphi(z))中值定理可有(r_n(x)=(x-x_0)dfrac{1}{n!}f^{(n+1)}(xi)(x-xi)^n)，令( heta=dfrac{xi-x_0}{x-x_0})，可得到式（14），它被称为柯西余项。为了消除((x-xi)^n)以得到更好的形式，以上推导其实可以使用柯西中值定理，容易想到选第二个函数为((x-z)^{n+1})，就可以得到式（15），它被称为拉格朗日余项。要注意，柯西余项和拉个朗日余项的推导过程是要求(f(x))在(x_0)邻域内有直到(n+1)阶导数的，而皮亚诺余项只要求(f(x))在(x_0)邻域内有直到(n-1)阶导数且在(x_0)有(n)阶导数。
[r_n(x)=dfrac{1}{n!}f^{(n+1)}(x_0+ heta(x-x_0))(1- heta)^n(x-x_0)^{n+1},quad(0< heta<1) ag{14}]
[r_n(x)=dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(xi)(x-x_0)^{n+1},quad (xiin(x_0,x)) ag{15}]
泰勒公式给出了函数估值的各阶无穷小，在求极限和很多问题中有非常广的应用。初等函数有着任意阶的导数，下表列出了它们的泰勒公式，以便查阅。
| ((1+x)^mu) | (=1+mu x+dfrac{mu(mu-1)}{2}x^2+cdots+dfrac{mu(mu-1)cdots(mu-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)) |
| (dfrac{1}{1-x}) | (=1+x+x^2+cdots+x^n+o(x^n)) |
| (e^x) | (=1+dfrac{1}{1!}x+dfrac{1}{2!}x^2+cdots+dfrac{1}{n!}x^n+o(x^n)) |
| (ln{(1+x)}) | (=x-dfrac{1}{2}x^2+dfrac{1}{3}x^3-cdots+(-1)^{n-1}dfrac{1}{n}x^n+o(x^n)) |
| (sin{x}) | (=x-dfrac{1}{3!}x^3+dfrac{1}{5!}x^5-cdots+(-1)^{n-1}dfrac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+o(x^{2n})) |
| (cos{x}) | (=1-dfrac{1}{2!}x^2+dfrac{1}{4!}x^4-cdots+(-1)^ndfrac{1}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n+1})) |
| (arcsin{x}) | (=x+dfrac{1}{2}cdotdfrac{x^3}{3}+cdots+dfrac{1cdot 3cdots(2n-1)}{2cdot 4cdots 2n}dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2})) |
| (arctan{x}) | (=x-dfrac{1}{3}x^3+dfrac{1}{5}x^5-cdots+(-1)^{n-1}dfrac{1}{2n-1}x^{2n-1}+o(x^{2n})) |