1. 不定积分
1.1 原函数和不定积分
前面的微分学讨论了导数对函数局部值的影响，现在开始就来看看整体的导函数能确定怎样的函数？换句话说，已知导函数的情况下，能否确定函数本身。对于不是处处有定义的导函数，为了简单起见，可以把它拆分成多个区间讨论。为此，对于区间(I)上处处有定义的导函数(f(x))，如果存在函数满足(F'(x)=f(x))，那么(F(x))称为(f(x))的原函数。
前面我们已经知道，区间上导函数相同的函数之间只相差一个常数，从而如果原函数(F(x))存在，任意原函数可表示为(F(x)+C)。全体原函数也称为(f(x))的不定积分，记作(int f(x)\, ext{d}x)，可以写成式（1）。积分符号表示了导数的累积，它的意义将在定积分中看得很清楚。求原函数的过程称为积分，它与微分（求导）是逆运算，根据导数公式可以得到相应的积分公式。
[int f(x)\, ext{d}x=F(x)+C,quad(CinBbb{R}) ag{1}]
| (f(x)) | (int f(x)\, ext{d}x) |
| (0)， (1) | (C)， (x+C) |
| (x^{mu}\,(mu e -1))， (dfrac{1}{x}) | (dfrac{1}{mu+1}x^{mu+1})，(ln{|x|}+C) |
| (dfrac{1}{1+x^2})， (dfrac{1}{sqrt{1-x^2}}) |
(arctan{x}+C=- ext{arccot}\,{x}+C)， (arcsin{x}+C=-arccos{x}+C) |
| (a^x)， (e^x) | (dfrac{1}{ln{a}}a^x)， (e^x+C) |
| (sin{x})， (cos{x}) | (-cos{x}+C)， (sin{x}+C) |
| (dfrac{1}{sin^2{x}})， (dfrac{1}{cos^2{x}}) | (-cot{x}+C)， ( an{x}+C) |
| (sinh{x})， (cosh{x}) | (cosh{x}+C)， (sinh{x}+C) |
| (dfrac{1}{sinh^2{x}})， (dfrac{1}{cosh^2{x}}) | (-coth{x}+C)， ( anh{x}+C) |
1.2 积分的方法
针对组合函数的求导，前面给出了一些公式，这里相应地给出积分的方法。首先，对于常量乘和加减法，容易有（2）式成立，将函数进行拆解积分是最常用的方法。利用导数的乘法公式，容易有式（3）成立，这个方法也叫分部积分法。分部积分法中，往往函数分为两部分，其中一部分容易求积，而另一部分的导数比较简单，这样整个式子就可以化简。另外，分部积分有时还能推导出积分方程或递推函数，这些结论都能间接地求得积分。
[int [\,af(x)+bg(x)\,]\, ext{d}x=aint f(x)\, ext{d}x+bint g(x)\, ext{d}x ag{2}]
[int u(x)\, ext{d}v(x)=u(x)v(x)-int v(x)\, ext{d}u(x) ag{3}]
• 求积分：(intln{x}\, ext{d}x)、(int xsin{x}\, ext{d}x)；
• 求积分：(int e^xsin{x}\, ext{d}x)、(int dfrac{1}{(x^2+1)^n}\, ext{d}x)。
根据复合函数的求导公式，如果(f(x))在(I)上有原函数，可以有式（3）成立，它被称为换元积分法。之前定义中，积分符号(int\, ext{d}x)是一个整体，式（4）则说明( ext{d}x)也可以作为微分符号自由使用。换元法看似简单，但使用中却经常需要很强的技巧和丰富的经验，大量的习题锻炼是必不可少的。
[int f(varphi(t))varphi'(t)\, ext{d}t=int f(x)\, ext{d}x,quad(x=varphi(x)) ag{4}]
但要注意，公式（4）的使用可以是两个方向的，从左向右的拼凑称为第一换元法，反过来叫第二换元法。第一换元法中比较常见的就是(x=at+b)的情况（式（5）），有些简单的积分甚至应该作为结论记住。第二换元法常见于函数可以通过参数化(x=varphi(t))来简化，且(f(varphi(t))varphi'(t))有比较简单的形式，熟悉三角函数公式将非常有利。
[int f(at+b)\, ext{d}t=dfrac{1}{a}int f(x)\, ext{d}x ag{5}]
• 求积分：(intdfrac{1}{a^2+t^2}\, ext{d}t)、(intdfrac{1}{a^2-t^2}\, ext{d}t)、(int an{t}\, ext{d}t)、(intdfrac{1}{sin{t}}\, ext{d}t)；
• 求积分：(intsqrt{a^2-x^2}\, ext{d}x)、(intdfrac{1}{(x^2+a^2)^2}\, ext{d}x)、(intdfrac{1}{sqrt{x^2+alpha}}\, ext{d}x)。
1.3 特殊类型的积分
1.3.1 有理分式
对于某些形式的函数，已经有了统一的求积方案，这里举一些例子。由多项式(P(x),Q(x))组成的方式(dfrac{P(x)}{Q(x)})称为有理分式，我们当然只需要解决(P(x))的次数小于(Q(x))的情况（称为真分式）。由之前的代数知识可知，在实数域中多项式总可以分解为一次项和二次项之积，从而真分式总可以分解为式（6）中的两种简单分式，他们也被称为最简分式或部分分式。分解的时候可以用待定系数法解方程组，确定系数的过程中先用(x=a)带入可以加速计算过程。
[dfrac{A}{(x-a)^k};quaddfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k},:(p^2-4q<0) ag{6}]
式（6）中(dfrac{A}{(x-a)^k})很容易求积分，(dfrac{Ax}{(x^2+px+q)^k})使用(x=t-dfrac{p}{2})换元也很容易解决。如果你做了前面的习题，可以得到(dfrac{B}{(x^2+px+q)^k})的递推公式，所以任何有理分式都可以按步骤积分。
仔细研究积分的具体过程，其实还能发现积分式总可以分解为有理分式部分和其它部分（式（7）），其中(Q(x)=prod(x-a_i)^{m_i}prod(x^2+p_jx+q_j)^{n_j})，(Q_2(x)=prod(x-a_i)prod(x^2+p_jx+q_j))且(Q_1(x)=dfrac{Q(x)}{Q_2(x)})。基于这个结论，也可以用待定系数法加速求解。
[intdfrac{P(x)}{Q(x)}\, ext{d}x=dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)}+intdfrac{P_2(x)}{Q_2(x)}\, ext{d}x ag{7}]
1.3.2 三角有理分式
还有一种常见的函数，它是由三角函数组成的有理分式，由于每个三角函数都可以表示为(sin{x},cos{x})的有理分式，故这些函数都是(sin{x},cos{x})的有理分式(R(sin{x},cos{x}))。设(t= an{dfrac{x}{2}})，由万能公式可知式（8）成立，从而使用换元法可将原积分转化为一般的有理分式。
[sin{x}=dfrac{2t}{1+t^2};quadcos{x}=dfrac{1-t^2}{1+t^2};quad ext{d}x=dfrac{2\, ext{d}t}{1+t^2} ag{8}]
但对于一些特殊情况，还是可以通过其它换元法简化积分的。比如如果(R(-sin{x},cos{x})=-R(sin{x},cos{x}))，则(dfrac{R(sin{x},cos{x})}{sin{x}})必定具有形式(R'(cos^2{x},sin{x}))。也就是说(R(sin{x},cos{x})=R''(cos{x}sin{x}))，使用(t=cos{x})换元即把问题转化成(-R''(t))的积分。同样的方法可以应用于(R(sin{x},-cos{x})=-R(sin{x},cos{x}))的场景。
如果(R(-sin{x},-cos{x})=R(sin{x},cos{x}))，易知(R(sin{x},cos{x})=R'(sin^2{x},cos^2{x}))，这两个都能转化为( an{x})的有理分式。令(t= an{x})则有( ext{d}x=dfrac{ ext{d}t}{1+t^2})，所以原积分可以转化为(R''(t))的积分。
• 求积分：(intsin^4{x}cos^5{x}\, ext{d}x)，(intdfrac{sin^4{x}}{cos^2{x}}\, ext{d}x)。
1.3.3 一些根式函数
对于一些带根式的函数，通过适当的换元法，也可以达到消除根式的目的。比如对于式（9），设(r,cdots,s)分母的最小公倍数为(n)，则只需做换元(t=sqrt[n]{dfrac{ax+b}{cx+d}})即可转化为(t)的有理分式。(x^r(ax^s+b)^p)通常被称为二项式微分，其中(r,s,p)为有理数且(a,b e 0)，使用(t=x^s)换元可得是（10）。易证如果(p,q,p+q)中有一个为整数，式（10）都可以转化为式（9）的类型。切比雪夫还证明了，除了这三种情况外，积分都不能用初等函数表示。
[R[\,x,(dfrac{ax+b}{cx+d})^r,cdots,(dfrac{ax+b}{cx+d})^s\,],quad(r,sinBbb{Q}) ag{9}]
[int x^r(ax^s+b)^p\, ext{d}x=dfrac{1}{s}int t^q(at+b)^p\, ext{d}x,quad(p=dfrac{r+1}{s}-1) ag{10}]
还有一类根式函数是(R(x,sqrt{ax^2+bx+c}))，对它的处理关键在于寻找参数(t)使得(x,sqrt{ax^2+bx+c})都是(t)的有理分式。当(a>0)时令(sqrt{ax^2+bx+c}=t-sqrt{a}x)，当(c>0)时令(sqrt{ax^2+bx+c}=tx+sqrt{c})，当(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2))时令(sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_i))。显然，这三种代换都能达到目的，它们被称为欧拉代换。
2. 定积分
2.1 定积分的定义
导数是函数在局部的趋势，我们想知道，一个导函数能否确定函数的整个走势？存在不定积分的导函数当然满足条件，但还是没有回答，导函数究竟要满足怎样的条件。设导函数(f(x))定义在([a,b])上，且原函数(F(x))有个起始值(F(a))，为了逼近函数的走向，可以将([a,b])分割为(n)小块，分割点为(a=x_0,x_1,cdots,x_{n-1},x_n=b)，并记(varDelta x_i=(x_{i+1}-x_i))。如果分的块足够小，感觉可以用(F(a)+sumlimits_{i=0}^{n-1}f(x_i)varDelta x_i)来近似(F(b))。
你可能注意到，上式中的累加部分也可以做为函数(f(x))在([a,b])间的近似面积，对它的研究比较重要。其实历史上定积分的概念，就是从计算图形面积中引出的，它比微分的概念还要早。所以我们完全有必要将它作为独立的问题来研究，之后再回头看它跟导数的关系。再将问题重新描述一下，对([a,b])上的任意函数(f(x))，作任意分割(pi)，任取(xi_iin [x_i,x_{i+1}])并记(lambda=max{(x_{i+1}-x_i)})，考察式（11）的和数。
[sigma=sumlimits_{i=0}^{n-1}f(xi_i)varDelta x_i ag{11}]
如果以式（11）作为区间面积或(F(b)-F(a))的近似值，必须要求无论(pi)和(xi)如何选取，在(lambda o 0)时(sigma)趋于固定值(I)。用(varepsilon)-(delta)语言描述就是，对任意(varepsilon>0)都存在(delta>0)，使得(lambda<delta)时总有(|sigma-I|<varepsilon)。这时也说(I)是(sigma)的极限（与之前的极限不同），并称(f(x))在([a,b])上可积，(I)为其定积分，记作式（12）。另外，(sigma)被称为积分和，(a,b)称为积分的下限和上限。
[lim_{lambda o 0}{sigma}=IquadLeftrightarrowquadint_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}x=I ag{12}]
定积分可以作为面积的一种定义，但它的合理性还需要检验（兼容规则图形面积的定义），而且它的值是否等于(F(b)-F(a))还未确定。这种积分比较复合直观感觉，它由黎曼提出，因此也叫黎曼积分，相应地有黎曼可积、黎曼和等概念，与这里的定义等价。并不是所有函数都是可积的，比如狄利克雷函数（有理数为(1)其它为(0)），再比如没有上界或下界的函数，从而可积函数必有限。
2.2 定积分的性质
为讨论可积的条件，这里先介绍另一个更常用的工具。记(m_i,M_i)为(f(x))在([x_i,x_{i+1}])上的上下、上确界，并称式（13）为达布下和与达布上和，显然有(sleqslantsigmaleqslant S)。如果(s,S)来自不同的分割，合并这些分割，容易看出总有(sleqslant S)。这就说明对任何分割(s,S)分别有上界和下界，如果它们的确界相等即(S-s o 0)，则(f(x))可积。反之显然成立，从而(f(x))可积的充要条件是(S-s o 0)。
[s=sumlimits_{i=0}^{n-1}f(m_i)varDelta x_i;quad S=sumlimits_{i=0}^{n-1}f(M_i)varDelta x_i ag{13}]
根据以上结论，可以比较容易地得出一些可积函数。如果(f(x))连续，则在([a,b])一致连续，容易证明它满足式（12），从而可积。进而可知，存在有限个间断点的有界函数也是可积的。同样利用式（12），可证单调有界函数可积。在已知可积的情况下，可以选择方便计算的分割方法。
如果定义(int_{b}^{a}{f(x)}\, ext{d}x=-int_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}x)，则不论(a,b,c)的大小如何，容易证明式（14）成立。当(f(x),g(x))在([a,b])上可积时，利用式（13）可证式（15）可积且公式成立，还容易证式（16）成立。如果(f(x))可积，利用式（12）可以证明(|f(x)|)也可积，且根据式（16）可有式（17）成立。
[int_{a}^{c}{f(x)}\, ext{d}x=int_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}x+int_{b}^{c}{f(x)}\, ext{d}x ag{14}]
[int_{a}^{b}{[\,cf(x)+dg(x)\,]}\, ext{d}x=cint_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}x+dint_{a}^{b}{g(x)}\, ext{d}x ag{15}]
[f(x)geqslant g(x)quadRightarrowquadint_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}xgeqslantint_{a}^{b}{g(x)}\, ext{d}x ag{16}]
[int_{a}^{b}{|f(x)|}\, ext{d}xgeqslantleft|int_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}x ight| ag{17}]
设(f(x),g(x))在([a,b])上可积，(mleqslant f(x)leqslant M)，如果(g(x))不变号，则(f(x)g(x))在(mg(x),Mg(x))之间。也就是说(int_{a}^{b}{f(x)g(x)}\, ext{d}x)在(mint_{a}^{b}{g(x)}\, ext{d}x)和(Mint_{a}^{b}{g(x)}\, ext{d}x)之间，从而存在(mleqslant muleqslant M)使得式（18）左成立，取(g(x)=1)还有（18）右式成立。当(f(x))连续时，由中值定理对应还有式（19）成立，这个结论被称为积分第一中值定理。
[int_{a}^{b}{f(x)g(x)}\, ext{d}x=muint_{a}^{b}{g(x)}\, ext{d}x;quadint_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}x=mu(b-a) ag{18}]
[int_{a}^{b}{f(x)g(x)}\, ext{d}x=f(xi)int_{a}^{b}{g(x)}\, ext{d}x;quadint_{a}^{b}{f(x)}\, ext{d}x=f(xi)(b-a) ag{19}]
2.3 定积分的计算
2.3.1 基本方法
现在就来回答前面的问题：定积分能否作为面积的定义？它是否等于(F(b)-F(a))？这两个问题都指向了定积分的值。设(Phi(x)=int_{a}^xf(t)\, ext{d}t)，现在来研究值函数(Phi(x))的性质。首先对于任意(x_0in [a,b])领域，有式（20）成立。所以当(x o x_0)时，由(f(x))有界可知(Phi(x) oPhi(x_0))，也就是说(Phi(x))是连续函数。如果(f(x))在(x_0)还是连续的，则还有(dfrac{Phi(x)-Phi(x_0)}{x-x_0} o f(x_0))，所以(Phi(x))在(x_0)可导且(Phi'(x_0)=f(x_0))。
[Phi(x)-Phi(x_0)=int_{x_0}^xf(t)\, ext{d}t=f(xi)(x-x_0) ag{20}]
如果(f(x))是连续函数，上面的结论就是说(int_{a}^xf(t)\, ext{d}t)是可微函数，且有式（21）成立。所以连续函数都存在原函数(F(x)=int_{a}^xf(t)\, ext{d}t+C)，并且有式（22）成立（最后是简写），这就回答了上面的问题。式（22）也叫牛顿-莱布尼兹公式，它把微分和积分完美地结合在了一起，由此也被称之为微积分基本公式。但要注意，该结论对(f(x))不连续的场景不一定适用，以下默认(f(x))连续。
[dfrac{ ext{d}}{ ext{d}x}int_a^xf(t)\, ext{d}x=f(x) ag{21}]
[int_a^bf(x)\, ext{d}x=F(b)-F(a)=F(x)left. ight|_a^b ag{22}]
有了以上结论，就可以用换元法和分部积分法来求定积分。如果(varphi(t))有连续导数（为保证积分存在），且(varphi(alpha)=a,varphi(eta)=b)，则有式（23）成立。这个式子同样可以从两个方向使用，有时候它还可以起到变形化简的作用，尤其是在有三角函数的表达式中。
[int_a^bf(x)\, ext{d}x=int_{alpha}^{eta}f(varphi(t))varphi'(t)\, ext{d}t ag{23}]
• 求定积分：(int_0^{pi}dfrac{xsin{x}}{1+cos^2{x}}\, ext{d}x)；（提示：拆分为两段，并对其中一个变形）
• 设(f(x))的周期为(T)，求证：(int_a^{a+T}f(x)\, ext{d}x=int_0^Tf(x)\, ext{d}x)。
2.3.2 分部积分
同样可以使用分部积分法，设(u(x),v(x))有连续导数，则有式（23）成立。该式除了可以化简积分，有时还可以推导出方程式或递推式，间接地可以求得定积分。比如使用递推式可以求得式（24）定积分，用这个式子还能得出(pi)的估算式。
[int_a^bu(x)\, ext{d}v(x)=[\,u(x)v(x)\,]left. ight|_a^b-int_a^bv(x)\, ext{d}x ag{23}]
[I_m=int_0^{frac{pi}{2}}sin^m{x}\, ext{d}x=int_0^{frac{pi}{2}}cos^m{x}\, ext{d}x=egin{cases}dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}cdotdfrac{pi}{2},&(m=2n)\\dfrac{(2n)!!}{(2n+1)!!},&(m=2n+1)end{cases} ag{24}]
分部积分还能帮我们得到乘法积分(int_a^bf(x)g(x)\, ext{d}x)的另一种估算，问了能分部积分，先设(g(x))连续、(f(x))的导数连续，并令(G(x)=int_a^xg(x)\, ext{d}x)。使用分部积分有式（25）成立，如果再令(f(x))非负且(f'(x)leqslant 0)，并记(G(x))的最大（小）值为(M)（(m)），可以推导出(int_a^bf(x)g(x)\, ext{d}xin [mf(a),Mf(a)])。再由(G(x))的连续性可知存在(xiin[a,b])，使得式（26）左成立。如果(f'(x)geqslant 0)，令(G(x)=int_x^bg(x)\, ext{d}x)，同样可证式（26）右成立。如果不限定(f(x))的符号，可用(f(x)-f(b)geqslant 0)代替(f(x))（比如(f'(x)leqslant 0)），带入上面的结论整理可得式（27），式（26）（27）被称为积分第二中值定理。
[int_a^bf(x)g(x)\, ext{d}x=f(b)G(b)-int_a^bG(x)f'(x)\, ext{d}x ag{25}]
[int_a^bf(x)g(x)\, ext{d}x=f(a)int_a^{xi}g(x)\, ext{d}x;quadint_a^bf(x)g(x)\, ext{d}x=f(b)int_{xi}^bg(x)\, ext{d}xquad ag{26}]
[int_a^bf(x)g(x)\, ext{d}x=f(a)int_a^{xi}g(x)\, ext{d}x+f(b)int_{xi}^bg(x)\, ext{d}x ag{27}]
最后我们用定积分来表示泰勒公式的余项，设(f(x))在(x_0)领域内有直到(n+1)阶的连续导数，则有(r(x_0)=r'(x_0)=cdots=r^{(n)}(x_0)=0)和(r^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x))。连续进行式（28）的推断，可以得到(r(x))的精确表达式（29），它不再有不确定的成分。
[r(x)=int_{x_0}^xr'(t)\, ext{d}t=int_{x_0}^xr'(t)\, ext{d}(t-x)=r'(t)(t-x)left. ight|_{x_0}^x-int_{x_0}^xr''(x)(t-x)\, ext{d}t=int_{x_0}^xr''(t)(x-t)\, ext{d}t ag{28}]
[r(x)=dfrac{1}{n!}int_{x_0}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\, ext{d}t ag{29}]