1. 多元函数
1.1 欧几里得空间
很多函数的自变量不止一个，现在就来讨论这种函数的性质，多元函数可以记作(f(x_1,cdots,x_n))。如果只是独立地讨论函数与每个变量的关系，大可不必给出新的概念，我们需要把所有自变量当成一个“数”看待，并研究这种函数的分析特性。对于这种数，我们还需要“距离”、“长度”的概念，线性代数中提到的欧几里得空间正好符合要求，请复习相关内容。
为简单起见，这里默认在标准正交基下讨论，并用直接向量坐标代表向量本身（一般说成点），这也更符合使用习惯。但要注意，这里的结论对任何欧几里得空间、以及任何一组正交基都是成立的。具体来说，向量写成(vec{x}=(x_1,cdots,x_n))，向量的距离定义为式（1），向量的长度（范数）记为(left|vec{x} ight|)，空间记作(Bbb{R}^n)。所有满足( ho(vec{x},vec{x}_0)<delta)的点称为开球，而所有满足(|x_i-x_{0i}|<delta)的点称为开正方体，它们都可以作为(vec{x}_0)的(delta)-邻域的概念，且使用起来是等价的。
[ ho(vec{x},vec{y})=sqrt{(x_1-y_1)^2+cdots+(x_n-y_n)^2} ag{1}]
为描述方便，我们需要定义一些关于点集(S)概念。如果(vec{x}_0)的某个领域被包含在(S)中，(vec{x}_0)称为(S)的内点，领域与(S)无交集的叫外点，其它的叫边界点。任何点都是这三者之一，其中内点必定属于(S)，外点必定不属于(S)，边界点两种都有可能。去心领域与(S)总有交集的点叫聚点，否则叫孤立点，聚点可能是内点，也可能是非孤立的边界点。如果(S)的每一点都是内点，(S)被称为开集，开集的补集称为闭集，其实闭集等价于包含所有聚点的集合。相对于区间的概念，如果(S)中任何两个点可连通（通过自身的点相连），它被称为区域，自然还可定义开区域和闭区域。
一元函数的分析学性质都依赖实数的完备性，所以需要验证向量是否有类似的性质。首先容易定义柯西点列（基本点列），然后再定义极限(vec{x}_n ovec{x}_0)，并证明极限存在的充要条件是柯西点列。极限存在则必定唯一，以上聚点就是一种极限点。可以证明极限存在等价于在每一维有极限，完备性的证明都利用了在一维的性质，故这里不再详细证明。完备性相关定义有：闭集套、开覆盖、紧集有界点集（列），相应地定理有：闭集套定理、有限覆盖定理、子列收敛定理，证明从略。
1.2 多元函数的连续性
类似于一元函数，我们要讨论多元函数的连续性、可微性。讨论中可以以二元函数作为直观例子，并记之为(z=f(x,y))，它们容易扩展到更高维。连续性首先要定义函数极限，即当((x,y) o(a,b))时，(f(x,y))存在极限(z_0)，记作(f(x,y) o z_0)，当然也可以用(epsilon)-(delta)语言定义。但要注意，函数极限是一个有聚点的点集的性质，不能以某条线路作为极限的依据，当然也不能逐维求极限。为此我们把极限（2）式后两个称为累次极限，而第一个称为重极限。
[limlimits_{x o a,\,y o b}{f(x,y)}: e:limlimits_{x o a}{limlimits_{y o b}{f(x,y)}}: e:limlimits_{y o b}{limlimits_{x o a}{f(x,y)}} ag{2}]
累次极限和重极限在特定情况下是相同的，但很多时候它们没有什么关系，你可以借助二元的函数的直观图形论证（点((0,0))）。两个累次极限不一定相等（(dfrac{x-y+x^2+y^2}{x+y})），甚至其中一个没有极限（(xsin{dfrac{1}{x}})）。累次极限存在且相等，重极限也不一定存在（(dfrac{xy}{x^2+y^2})），反之重极限存在，累次极限也不一定存在（(xsin{dfrac{1}{x}})）。但可以证明，如果重极限(A)存在或为无穷，且(y e b)时(limlimits_{x o a}{f(x,y)})存在极限(varphi(y))，则对应的累次极限也存在且与重积分相同（式（3））。
[limlimits_{x o a,\,y o b}{f(x,y)}=A:wedge:limlimits_{x o a}{f(x,y)}=varphi(y),:(y e b)quadRightarrowquadlimlimits_{y o b}{limlimits_{x o a}{f(x,y)}}=A ag{3}]
有了极限的概念，自然可以给出连续的定义，当((x,y) o(a,b))时若(f(x,y) o f(a,b))，称(f(x,y))在((a,b))连续。处处连续的函数称为连续函数，可以证明连续函数的组合函数还是连续的。容易证明，函数在连续点的足够小邻域内有界，如果(f(a,b)>0(<0))，则在((a,b))足够小邻域内也有(f(x,y)>0(<0))。
多元连续函数有着与一元连续函数类似的性质，证明也类似，这里仅作陈列。（1）零点定理：如果函数在区域的某两点异号，则必存在值为零的点；（2）介值定理：区域中存在两点间任意值的点；（3）有界性定理：有界闭集上的连续函数有界；（4）最值定理：有界闭集上的连续函数有最大值和最小值。多元函数也可以定义一致连续，并且同样有结论：有界闭集上的连续函数一致连续。
2. 多元微分
2.1 全微分和偏微分
连续性之后自然是研究可微性，它表示某点相对于领域的平滑性。首先我们当然也可以为每一维定义微分（导数），但它并不是相对于邻域的性质，为了区别开来，将某一维（比如(x)）的导数称为偏导数，记作(dfrac{partial f}{partial x}(x,y),\,f'_x(x,y))或(f_x(x,y))。偏导数仅表示函数在每一维的变化趋势（切线），它不能表示函数在该点的平滑性，所谓平滑其实就是说在局部近似一个平面（二元函数），而要确定这个平面我们需要两条直线。
为此，自然可以想到按如下方法定义微分，设函数(z=f(x,y))在区域内点((x_0,y_0))满足式（4），称函数在((x_0,y_0))处可微。其实容易证明，定义中的(o( ho))可以替换为(o(varDelta x)+o(varDelta y))。显然可微函数在((x_0,y_0))处存在偏导数，且满足(f'_x(x_0,y_0)=A,f'_y(x_0,y_0)=B)。但偏导数存在并不表示可微（(sqrt{|xy|})），甚至都不一定连续。考察式（5）对(varDelta z)的变形，如果(f'_x,f'_y)在((x_0,y_0))的一个领域内都存在且在((x_0,y_0))连续，利用微分中值定理容易证明(f(x,y))可微。
[varDelta z=AvarDelta x+BvarDelta y+o( ho),quad( ho=sqrt{(varDelta x)^2+(varDelta y)^2}) ag{4}]
[varDelta z=[f(x_0+varDelta x,y_0+varDelta y)-f(x_0,y_0+varDelta y)]+[f(x_0,y_0+varDelta y)-f(x_0,y_0)] ag{5}]
类似地，我们把式（4）中的线性部分称为(f(x,y))在区域内点((x_0,y_0))的全微分，记作( ext{d}f)，而(AvarDelta x)称为关于(x)的偏微分，记作( ext{d}_x\,f)（式（6））。由此，偏导数还可以写作式（7），它也被偏微商。在定义域内处处可微的函数称为可微函数，偏导数都连续的（必定可微）函数称为连续可微，一般记作(f(x,y)in C^1)。
[ ext{d}f(x,y)= ext{d}_xf(x,y)+ ext{d}_yf(x,y)=f'_x(x,y)\, ext{d}x+f'_y(x,y)\, ext{d}y ag{6}]
[f'_x(x,y)=dfrac{ ext{d}_xf(x,y)}{ ext{d}x};quad f'_y(x,y)=dfrac{ ext{d}_yf(x,y)}{ ext{d}y} ag{7}]
2.2 链锁法则及其应用
偏导数的计算与一般导数无异，但对于复合函数，我们可以将一元函数中的链锁法则进行扩展。为简单起见，先设(z=f(x,y))可微且有(x=x(t),y=y(t))，再假设(x'(t),y'(t))存在且有界。当(varDelta t o 0)时可有(varDelta x o 0,varDelta y o 0)，从而式（4）成立，两边除以(varDelta t)可得式（8）。这个公式的好处是将函数分割为几个维度来处理，比如对于(f(t)^{g(t)})的函数就不必变形而直接使用(x^y)的结论。当(x,y)为多元函数时，偏导数有同样的结论。
[dfrac{ ext{d}z}{ ext{d}t}=dfrac{partial z}{partial x}dfrac{ ext{d}x}{ ext{d}t}+dfrac{partial z}{partial y}dfrac{ ext{d}y}{ ext{d}t} ag{8}]
一元函数的链锁法则得到了一元微分的形式不变性，这个结论在多元函数中仍然成立。设(z=f(x,y),x(u,v),y(u,v))都连续可微，首先易证在领域内(x,y)对(u,v)的偏导数有界，从而(z)对(u,v)的偏导数存在且连续。将(z'_u,z'_v)的链锁表达式带入( ext{d}z=z'_u\, ext{d}u+z'_v\, ext{d}v)，整理后容易得到式（6），这就说明了多元微分也有形式不变性，它使得求偏导数更加方便。
现在来看看对于多元函数，是否有中值定理。设(f(x,y))可微，取两点(M_0=(x_0,y_0),M_1=(x_0+varDelta x,y_0+varDelta y))，考察直线(x=x_0+tvarDelta x,y=y_0+tvarDelta y)上的值(F(t))（当然还要求直线都在定义域内）。利用拉格朗日中值定理可知(F(1)-F(0)=F'( heta))，而由链锁法则可有式（9）成立。特别地，如果区域内(f'_x,f'_y)恒为零，则(f(x,y))为常数。
[f(x_0+varDelta x,y_0+varDelta y)-f(x_0,y_0)=f'_x(x_0+ hetavarDelta x,y_0+ hetavarDelta y)varDelta x+f'_y(x_0+ hetavarDelta x,y_0+ hetavarDelta y)varDelta y ag{9}]
2.3 高阶微分
偏导数函数本身当然也可以存在偏导数，它们被称为二阶偏导数，它的记法如式（10）所示。要注意混合偏导数中变量的次序，不同的次序的偏导数不一定相等（(xydfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2})）。为弄清原因，用极限式表示两种次序的混合偏导数（式（11），其中(w(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0))），容易看出结果不同原因，本质上是累次极限的不同。
[dfrac{partial}{partial y}left({dfrac{partial f}{partial x}} ight)=dfrac{partial^2 f}{partial ypartial x}=f''_{xy};quaddfrac{partial}{partial x}left({dfrac{partial f}{partial x}} ight)=dfrac{partial^2 f}{partial x^2}=f''_{xx}=f''_{x^2} ag{10}]
[f''_{xy}=limlimits_{k o 0}{limlimits_{h o 0}{dfrac{w(h,k)}{hk}}};quad f''_{yx}=limlimits_{h o 0}{limlimits_{k o 0}{dfrac{w(h,k)}{hk}}} ag{11}]
为得到两者相等的充分条件，可以利用式（3）的结论。首先假定(f''_{xy},f''_{yx})在((x_0,y_0))领域内存在，然后两次利用微分中值定理可得式（12）。按照式（3）的假设，还需要求(f''_{xy})在((x_0,y_0))处连续，这样(dfrac{w(h,k)}{hk})就存在重极限。而单独(h o 0)时显然也存在极限，从而得到累加极限（11）相等且等于重极限。
[w(h,k)=f''_{xy}(x_0+ heta_1h,y_0+ heta_2k),quad(1< heta_1,\, heta_2<1) ag{12}]
高阶偏导数可以同样定义，且易知当(f(x,y))的(n)阶混合偏导数都连续时，变量的顺序就不影响结果，偏导数就可以写成(dfrac{partial^nf}{partial^{i}xpartial^{n-i}y})。求高阶偏导数只是多次求一阶偏导数，故求解中可以继续使用链锁法则。更进一步地，如果(f(x,y))的二阶偏导数存在且连续，则全微分（式（6））中的(f'_x,f'_y)的偏导数连续，从而( ext{d}z)也是可微的。记二阶全微分( ext{d}^2z= ext{d}( ext{d}z))，容易推导出式（13）成立。
[ ext{d}^2z=dfrac{partial^2z}{partial x^2} ext{d}x^2+2dfrac{partial^2z}{partial xpartial y} ext{d}x ext{d}y+dfrac{partial^2z}{partial y^2} ext{d}y^2 ag{13}]
推导过程中容易发现，如果忽略符号(z)，符号(X= ext{d}xdfrac{partial}{partial x})和(Y= ext{d}ydfrac{partial}{partial y})可以看作是两个整体，求全微分的过程就像是多项式乘上((X+Y))。这个过程对任何高阶全微分都成立，为了书写方便，可以将( ext{d}^nz)形式地写成式（14）。该式仅是形式上的简化，并不能简化实际计算过程。还要注意，高阶全微分的形式对中间变量的形式不变性不再成立。
[ ext{d}^nz=( ext{d}xdfrac{partial}{partial x}+ ext{d}ydfrac{partial}{partial y})^nz ag{14}]
当(f(x,y)in C^{n+1})时（有直到(n+1)阶的连续偏导数），设(F(t)=f(x_0+tvarDelta x,y_0+tvarDelta y))，对(F(t))使用带拉格朗日余项的泰勒公式，可得多元函数的泰勒公式（15）。当(f(x,y)in C^n)时，还可以利用式（15）得到皮亚诺余项(o( ho^n))。泰勒公式也能用来求多元函数的近似值。
[F(1)=sumlimits_{n=0}^n{dfrac{1}{i!}varDelta^i}F(0)+dfrac{1}{(n+1)!}varDelta^{n+1}F( heta),quadvarDelta^i=(varDelta xdfrac{partial}{partial x}+varDelta ydfrac{partial}{partial y})^i ag{15}]
2.4 隐函数
前面我们已经看到过，有时变量的关系是以(F(x,y)=0)这样的等式呈现的，并且无法或很难写成显式的(y=f(x))。考察(x^2-y^2=0)，它在除原点外的局部其实都有函数关系式(y=f(x))，这样的函数我们称之为由(F(x,y)=0)定义的隐函数。既然无法显式地写出(f(x))，它的连续和微分性质只能通过(F(x,y))讨论，这里就来讨论一下这些问题。
首先要注意，隐函数是在局部讨论的（这样讨论的范围更广），所以设(F(x_0,y_0)=0)而讨论((x_0,y_0))的邻域。我们希望在(x_0)的某个邻域内的(x')，有唯一的(y')使得(F(x',y')=0)。（以下讨论以函数图形为参考更好理解）最容易想到的是连续函数的零点定理，为此先假定(F(x,y))在((x_0,y_0))的邻域内连续。然后要构造(f(x',y_0pmvarDelta y))是异号的，为此只要假定(f(x',y))在局部关于(y)单调，因为这样的话(f(x_0,y_0pmvarDelta y))异号，在足够小的邻域内也会有(f(x',y_0pmvarDelta y))异号。
由(F(x_0,y))的单调性和(F(x,y))的连续性还容易证明（反证），(x' o x_0)时必定有(y' o y_0)。从而(f(x))在((x_0,y_0))连续，同样可以证明在邻域内都是连续的。总结以上便有，如果(F(x,y))满足(F(x_0,y_0)=0)，且在((x_0,y_0))的邻域里连续，还有关于(y)单调，那么在这个邻域内存在连续的隐函数(y=f(x))。其中关于(y)单调的条件可以加强为：(F'_y)在((x_0,y_0))的邻域里存在且有单一符号，或者更强的条件是：(F'_y)在((x_0,y_0))处连续且非零。
如果还要使(f(x))在点((x_0,y_0))处可微，其实就是讨论(varDelta x,varDelta y)的关系，容易想到式（9）的中值定理。为此先要假设(F'_x,F'_y)在邻域内连续（从而可微），利用中值定理可得式（16），表示成(dfrac{varDelta y}{varDelta x})后利用(F'_x,F'_y)的连续性可得式（17）。总结就是说，如果在((x_0,y_0))的一个邻域内(F,F'_x,F'_y)都连续，且(F'_y(x_0,y_0) e 0)，则在这个邻域内有可微隐函数，且导数为式（17），导数也是连续的。以上两个结论对多元函数(F(x_1,cdots,x_n,y))同样成立，证明也类似，请自行描述且论证。
[0=F(x',y')-F(x_0,y_0)=F'_x(x_0+ hetavarDelta x,y_0+ hetavarDelta y)varDelta x+F'_y(x_0+ hetavarDelta x,y_0+ hetavarDelta y)varDelta y ag{16}]
[y'_x=-dfrac{F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} ag{17}]
3. 向量值函数
当多个函数(f_1,cdots,f_m)依赖于同一组自变量(x_1,cdots,x_n)时，可以将((f_1,cdots,f_m))做为一个向量看待，函数(vec{f}(vec{x}))被称为向量值函数。这种函数其实可以拆成独立的多元函数分别研究，所以我们仅专注一些有漂亮形式特点的结论。诸如极限、连续的概念都比较简单，其实向量值函数连续等价于每个多元函数分别连续，这里不作赘述。
类似地，当每个多元函数可微时，也称向量值函数可微。如果用( ext{d}vec{f},\, ext{d}vec{x})表示微分，而偏微分组成的矩阵（18）称为雅克比矩阵，则可微函数有式（19）成立，这里的雅克比矩阵起到了类似导数的作用。如果有(vec{z}=vec{f}(vec{y}),\,vec{y}=vec{g}(vec{x}))，且(vec{f},vec{g})的偏导数连续，同样有式（20）左的链锁法则成立，且易知一阶微分的形式不变性也成立（式（20）右）。
[J\,[\,vec{f}(vec{x})\,]=egin{bmatrix}dfrac{partial f_1}{partial x_1}&cdots&dfrac{partial f_1}{partial x_n}\vdots&ddots&vdots\dfrac{partial f_m}{partial x_1}&cdots&dfrac{partial f_m}{partial x_n}end{bmatrix};quad |J_n|=dfrac{partial(f_1,cdots,f_n)}{partial(x_1,cdots,x_n)} ag{18}]
[ ext{d}vec{f}\,=\,J\,[\,vec{f}(vec{x})\,]\, ext{d}vec{x} ag{19}]
[J\,[\,vec{f}circvec{g}\,]=J\,[\,vec{f}\,]cdot J\,[\,vec{g}\,];quad ext{d}vec{z}=J\,[\,vec{f}circvec{g}\,]\, ext{d}vec{x}=J\,[\,vec{f}\,]\, ext{d}vec{y} ag{20}]
上面的隐函数的结论在向量值函数中仍然成立，比如向量值函数(vec{F}(vec{x},vec{y}))的定义域为(n+m)维，值域为(m)维，设(vec{F})及其一阶偏导数都连续，另外(vec{F})在((vec{x}_0,vec{y}_0))处值为(0)且对于(vec{y})的雅克比行列式(|J_m|=dfrac{partialvec{F}}{partialvec{y}})非零，那么方程组(vec Fequiv 0)在((vec{x}_0,vec{y}_0))附近确定唯一的隐函数(vec{y}=vec{f}(vec{x}))。可以由(|J_m| e 0)非零先找到某个(dfrac{partial F_i}{partial y_m} e 0)，并由条件确定唯一隐函数(y_m=varphi(x_1,cdots,y_{m-1}))，带入其它(m-1)个方程便将问题降到(m-1)维。用连锁法则对(J_m)变形即能证明新的雅克比行列式也非零，故用归纳法能得到唯一的隐函数，且在局部连续。
类似式（16）的讨论，可以在每个(F_i=0)上对(x_j)求导，得到(mn)个方程组（21）。由于(|J_m| e 0)，由克莱姆法则可解得隐函数的所有偏导数（式（22））。
[dfrac{partial F_i}{partial x_j}+dfrac{partial F_i}{partial y_1}cdotdfrac{partial y_1}{partial x_j}+cdots+dfrac{partial F_i}{partial y_m}cdotdfrac{partial y_m}{partial x_j}=0 ag{21}]
[dfrac{partial y_j}{partial x_i}=-{dfrac{partialvec{F}}{partialvec{y}_{ij}}}left/{dfrac{partialvec{F}}{partialvec{y}}} ight.,quadvec{y}_{ij}=(cdots,y_{j-1},x_i,y_{j+1},cdots) ag{22}]