1. 微分的应用
1.1 一元函数的微分
1.1.1 单调性、极值、渐近线
导数给出了函数的走向，它对我们分析函数的图形性质很有作用，这里就用微分学的知识来了解函数的性质。一阶导数对函数的影响是最直接的，这里先看一阶导数。对于区间上的常值函数(f(x)=C)，它的导数处处为零，反之由中值定理知，导数恒为零的函数为常值，故函数在区间上(f(x)=0)的充要条件是(f'(x)=0)。这个结论还说明了导数相同的函数的差函数为常数，这对在证明函数相等很有用，比如可以证明(3arccos{x}-arccos{3x-4x^2}=pi)。
利用中值定理容易证明，区间上函数必定单调上升（下降）的充要条件是(f'(x)geqslant 0)（(f'(x)leqslant 0)）。当等号不成立时，函数还是严格单调上升（下降）的。在部分点等号成立时，利用反证法可知，只要等号不在一个区间恒成立，函数也是严格单调上升（下降）的。
我们已经知道，对任意函数(f(x))，如果(x_0)是极值点，则有(f'(x_0)=0)。反之则不一定（比如(x^3)的零点），使得(f'(x_0)=0)的点(x_0)一般称为静止点。如果在(x_0)的领域内可导，则两侧的导数同号时为一般静止点，异号时为极值点（且根据具体情况可判定极大还是极小）。一般地，如果(f'(x_0)=f''(x_0)=cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0)，但(f^{(n)} e 0)，则由泰勒公式知式（1）成立。进而可以证明，(n)为奇数时(x_0)是一般静止点，(n)为偶数时，若(f^{(n)}>0)则(x_0)是极小点，若(f^{(n)}<0)则(x_0)是极大点。
[f(x)=f(x_0)+dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) ag{1}]
有了以上结论，我们就能画出函数的大致曲线，只要弄清楚零点、单调性即可。另外有时还会有渐近线，它其实就是以下三种情况之一：（1）(x o x_0)时(f(x) oinfty)；（2）(x oinfty)时(f(x) o y_0)；（3）式（2）分别存在有限极限。前两个分别以(x=x_0)和(y=y_0)为渐近线，第三个以(y=ax+b)为渐近线。
[limlimits_{x oinfty}{dfrac{f(x)}{x}}=a;quad limlimits_{x oinfty}{[f(x)-ax]}=b ag{2}]
1.1.2 凸函数
最后来看二阶导数在函数图形上的体现，导数可以看做是曲线的切线斜率，那么二阶导数则可刻画了斜率的变化。可以想象，当(f''(x)>0)时函数曲线上凸，而当(f''(x)<0)时函数曲线下凸。如何严格地表述这样的曲线？可以这样说，连接曲线上任意两点形成直线，这两点间的函数值都在直线一侧。受此启发，定义在任意点式（3）都成立的函数为下凸（上凸）函数，等号不成立时也叫严格下凸（上凸）函数。
[f(tx_1+(1-t)x_2)leqslant(geqslant)tf(x_1)+(1-t)f(x_2),quad(0<t<1) ag{3}]
以上凸函数的定义中并未假定函数可导，所以不好描述导数的性质，为此换做观察曲线上变化割线的性质。具体来讲，比如对下凸函数，设(x_1<x_2<x_3)，利用定义容易证明式（4）成立它们还可以作为凸函数的等价定义。右边的不等式说明任意点(x_0)右侧，(dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})随着(x o x_0)单调减小，但左边的不等式又说明它是有下界的，从而(x_0)存在右极限（或极限为无穷）。同样可证(x_0)存在左极限（或极限为无穷），当然，如果(x_0)是端点，其中只有一个成立。当(x_0)是区间内点时，显然(f(x))在(x_0)处连续。
[dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}leqslantdfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2};quaddfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}leqslantdfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} ag{4}]
其实凸函数不一定可导，比如(V)字形的(f(x)=|x|)是下凸函数，但在(x_0)不可导。当(f(x))可导时，容易证明(f(x))下凸（上凸）的充要条件是，(f'(x))单调上升（下降）。这个充要条件还等价于：曲线在它任何一条切线的上方。若(f(x))二阶可导，还可以证明，(f(x))下凸（上凸）的充要条件是(f''(x)geqslant 0)（(f''(x)leqslant 0)）。这些比较直观，证明也很简单，请自行论证。
上面的结论说明，如果(f''(x))连续且(f''(x_0)=0)，而在领域内(f''(x) e 0)，可见(f(x))在(x_0)左右两侧分别为上、下凸函数，所以曲线在(x_0)左右领域内分别在(x_0)切线的两侧。更一般的，如果(f(x))在(x_0)处可导，且左右领域的点分别落在切线的两侧，则称(x_0)为(f(x))的拐点。
式（3）对二阶可导的凸函数还有进一步推广，设(sumlimits_{k=1}^n{p_k}=1,(p_k>0))，且记(X=sumlimits_{k=1}^n{x_k})。对下凸函数(f(x))可有式（5）成立，(n)个式子乘上(p_k)相加便有式（6）成立。凸函数的这个结论，可以用来很容易地证明一些不等式，比如令(f(x)=ln{x},\,p_k=dfrac{1}{n})，可以证明(prod x_kleqslant dfrac{1}{n}sum x_k)。
[f(x_k)=f(X)+f'(X)(x_k-X)+frac{1}{2}f"(xi)(x-X)^2geqslant f(X)+f'(X)(x_k-X) ag{5}]
[sumlimits_{k=1}^n{p_kf(x_k)}geqslant fleft(sumlimits_{k=1}^n{p_kx_k} ight) ag{6}]
1.2 多元函数的微分
1.2.1 切线、法平面
现在利用微分的方法复习空间的点线面，请先复习空间解析几何的基本内容。空间曲线的表达式，最简单的就是参数方程(x=x(t),y=y(t),z=z(t))，一阶连续导数((x'(t),y'(t),z'(t)))确定了曲线在((x(t),y(t),z(t)))处的切矢量(vec{T})，切线连续变化的曲线称为光滑曲线。曲线还有可能表示为两个曲面的交集（式（7）左），利用向量值函数隐函数的结论可得到切矢量((1,y'_x(x),z'_x(x)))，约去分母便得式（7）右。
[left{egin{matrix}F(x,y,z)=0\G(x,y,z)=0end{matrix} ight.quadRightarrowquad vec{T}=left(\,dfrac{partial(F,G)}{partial(y,z)},:dfrac{partial(F,G)}{partial(z,x)},:dfrac{partial(F,G)}{partial(z,y)}\, ight) ag{7}]
现在来看空间的曲面(F(x,y,z)=0)，如果(F'_x,F'_y,F_z)都连续，它被称为光滑曲面。考察曲面上经过((x_0,y_0,z_0))的任意曲线，带入曲面方程有(F(x(t),y(t),z(t))=0)，由曲面的可微性易知曲线光滑，对(t)求导得式（8）。该式表明所有曲线在((x_0,y_0,z_0))处的切线在同一平面上，这个平面被称为曲面在点((x_0,y_0,z_0))的法平面，它的法向量为((F'_x,F'_y,F'_z))所示。曲面还可能是用式（9）左边的参数方程表示的，用前两者可以确定隐函数(u(x,y),v(x,y))。带入第三个式子就得到曲面表达式，算出法向量后约去分母便可导法向量（式（9）右）。
[F'_x(x_0,y_0,z_0)x'_t(t_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)y'_t(t_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)z'_t(t_0)=0 ag{8}]
[left{egin{matrix}x=x(u,v)\y=y(u,v)\z=z(u,v)end{matrix} ight.quadRightarrowquad vec{T}=left(\,dfrac{partial(y,z)}{partial(u,v)},:dfrac{partial(z,x)}{partial(u,v)},:dfrac{partial(x,y)}{partial(u,v)}\, ight) ag{9}]
1.2.2 曲率
不知你有没有注意，平面曲线的二阶导数虽然表示斜率的变化速度，但由于斜率不与角度成正比，二阶导数其实并不能反映曲线的弯曲程度。要准确的度量曲线的弯曲程度，我们必须考察角度本身的变化率，具体讲就是在某点(M_0)切线角度(alpha)相比长度(s)的变化率。如果式（10）的极限存在，则称(k)为点(M_0)的曲率，而(dfrac{1}{k})称为曲率半径。
[k=left|dfrac{ ext{d}alpha}{ ext{d}s} ight|=left|limlimits_{varDelta s o 0}dfrac{varDeltaalpha}{varDelta s} ight| ag{10}]
如果曲线以参数方程(x(t),y(t))表示，首先有( ext{d}s=sqrt{{x'_t}^2+{y'_t}^2} ext{d}t)，再由(alpha=arctan{dfrac{y'_t}{x'_t}})也容易得到( ext{d}alpha)，从而容易有曲率的表达式（11），后者是坐标方程(y=y(x))下的结果。对于极坐标方程(r=r( heta))，可以写成参数方程(x=r( heta)cos{ heta},y=r( heta)sin{ heta})，带入式（11）可得式（12）。特别地，对于圆(r=r_0)，易知其曲率半径就是(r_0)。
[k=dfrac{|x'_ty''_{t^2}-x''_{t^2}y'_t|}{({x'_t}^2+{y'_t}^2)^{frac{3}{2}}}=dfrac{|y''_{x^2}|}{(1+{y'_x}^2)^{frac{3}{2}}} ag{11}]
[r=r( heta)quadRightarrowquad k=dfrac{|r^2+2{r'_{ heta}}^2-rr''_{ heta^2}|}{(r^2+{r'_{ heta}}^2)^{frac{3}{2}}} ag{12}]
1.2.3 极值
类似一元函数的结论，对于偏导数处处存在的函数(f(x_1,cdots,x_n))，如果(f'_{x_i}(x_{01},cdots,x_{0n})=0)皆成立，那么(vec{x}_0=(x_{01},cdots,x_{0n}))称为(f)的静止点。静止点什么时候是极值点？再假设(f)有连续的二阶偏微分，使用泰勒公式即得式（13）。如果记对称矩阵(Q={a_{ij}=f''_{x_ix_j}(vec{x}_0)})，则式（13）的值取决于(Q)关于(varDeltavec{x})的二次型。二次型正定（负定），则静止点是极大点（极小点），否则就不确定。
[varDelta f(vec{x}_0)=f(vec{x})-f(vec{x}_0)=dfrac{1}{2}(varDelta x_1dfrac{partial}{partial x_1}+cdots+varDelta x_ndfrac{partial}{partial x_n})^2f(vec{x}_0+ hetavarDeltavec{x}) ag{13}]
上面的极值假定变量可以在一个领域内变化，但实际问题中往往还有限制条件。比如已知(G_i(vec{x})=0,\,(i=1,cdots,m))，求(F(vec{x}))的极值，这样的问题被称为条件极值。其实如果在局部(dfrac{partial(G_1,cdots,G_m)}{partial(x_1,cdots,x_m)} e 0)，则根据(G_i=0)可以得到(x_1,cdots,x_m)关于(x_{m+1},cdots,x_n)的隐函数，将它们带入(F(vec{x}))即将问题转化为无条件极值问题。
但很多时候，这样的隐函数无法直接写出，或者结果会破坏原本的对称性，从而使计算变得复杂。我们已经有了(m)个方程(G_i=0)，现在需要再找((n-m))个“好”的方程。我们仍然以(x_{m+1},cdots,x_n)为自变量考虑问题，由(F)的极值首先有( ext{d}F=sumlimits_{i=1}^nF'_{x_i}\, ext{d}x_i=0)，注意其中( ext{d}x_i,\,(i=1,cdots,m))为函数。如果能使等式中只有自变量(x_{m+1},cdots,x_n)的微分，则微分系数都为(0)，这就得到了另外的(n-m)个方程。
可以同样对(G_i)求微分( ext{d}G_i=sumlimits_{i=1}^n{(G_i)}'_{x_i}\, ext{d}x_i=0)，由于(dfrac{partial(G_1,cdots,G_m)}{partial(x_1,cdots,x_m)} e 0)，则可以选择参数(lambda_i,\,(i=1,cdots,m))，使得( ext{d}F+sumlimits_{i=1}^m{lambda_i ext{d}G_i})中( ext{d}x_i,\,(i=1,cdots,m))的系数为(0)。这时( ext{d}x_i,\,(i=m+1,cdots,n))的系数必定是零，它们就是要找的(n-m)个方程。
现在来总结一下需要解的方程，为方便讨论，把(lambda_i)也看作是未知数，并记(varPhi)为式（14）左。原先的(m)个方程(G_i=0)其实就是(varPhi'_{lambda_j}=0)，求(lambda_i)的(m)方程其实是(varPhi'_{x_i}=0,\,(i=1,cdots,m))，而最后的(n-m)个方程便是(varPhi'_{x_i}=0,\,(i=m+1,cdots,n))。这个方法称为拉格朗日乘数法，式（14）更便于记忆。但还要注意，我们求得的只是“静止点”，还需根据实际情况确定是否是极值。
[varPhi(vec{x},vec{lambda})=F(vec{x})+sumlimits_{i=1}^m{lambda_iG_i(vec{x})}quadRightarrowquadvarPhi'_{x_i}=0;wedge;varPhi'_{lambda_j}=0 ag{14}]
2. 积分的应用
2.1 一元函数的积分
2.1.1 平面面积，体积
之前我们把定积分作为面积的一种定义，现在来看看这个定义的合理性，以及定积分更广泛的应用。首先我们来给出平面图形面积的一个直观定义，对于多边形，它们总可以分割为若干个三角形。对于一般平面图形(P)，我们总可以构造两个多边形(B,A)，(B)把(P)围住而(A)被(P)围住，显然(B)的面积不小于(A)的面积。所有满足条件的(A)的面积有上确界(S_*)，所有满足条件的(B)的面积有下确界(S^*)，当(S_*=S^*)时称(P)可求积，且(S=S_*=S^*)称为(P)的面积。
对于任意图形(P)，容易证明它可求积的充要条件是，存在多边形序列({A_i},{B_i})，它们的面积极限相同。这个条件真好适合定积分的定义，所以对于可积函数，用定积分定义面积是合理的。对于复杂的图形（定义域为([a,b])），记(x=x_0)截得的线段长为(g(x))（连续），则图形面积为式（15）左。若(x)是(t)的参数方程，且(x'(t))连续，则还可用式（15）右边计算。
[S_P=int_a^bg(x)\, ext{d}x=int_{alpha}^{eta}g(x(t))x'(t)\, ext{d}t,quad(x(alpha)=a,a(eta)=b) ag{15}]
以上定义面积方法其实可以推广开来，如果要求的量(Q)在([a,b])上连续，将它分成若干部分，每一部分使用某个可积分的近似值(f(x_i)varDelta x_i)代替。然后证明误差部分趋于(0)，这样所求量就等于定积分(int_a^bf(x)\, ext{d}x)。对于每个具体的问题，证明误差部分趋于零是必须的，有时候也是困难的，对(f(x))的论证非常必要。但下面的结论，我只打算给出粗略的描述，具体证明请参考教材。
有些图形用极坐标描述更方便，对定义在([alpha,eta])上的扇形(r=r( heta))，可以证明其面积为式（16）。类似地，可以用多面体来的近似来定义体积，使用多个棱柱计算更方便。若立体(V)定义在([a,b])上，且(x)处的截面面积为(S(x))，则可以证明其体积为(int_a^bS(x)\, ext{d}x)。
[r=r( heta)quadRightarrowquad S_P=dfrac{1}{2}int_{alpha}^{eta}r^2( heta)\, ext{d}{ heta} ag{16}]
2.1.2 长度、旋转面、曲线质量
现在讨论平面里的一条曲线段(l)，它由参数方程(x(t),y(t),tin[p,q])给出。在线上取若干个点，用线段按顺序连接它们，然后用这些线段的长度之和的极限定义(l)的长度。若曲线段自身不相交且不封闭，可以证明它的长度为式（17）。当曲线首尾相连时，可以拆成两段计算，容易证明这种情况公式仍然成立。如果把(s)看成(t)的函数，(s'(t)=x'^2(t)+y'^2(t)geqslant 0)且连续，从而(t^{-1}(s))存在。(x,y)就可以看做(s)的函数，由( ext{d}s^2= ext{d}x^2+ ext{d}y^2)知公式（18）成立。
[s_l=int_p^qsqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\, ext{d}t=int_a^bsqrt{1+y'^2(x)}\, ext{d}x=int_{alpha}^{eta}sqrt{r'^2( heta)+r^2( heta)}\, ext{d} heta ag{17}]
[(dfrac{ ext{d}x}{ ext{d}s})^2+(dfrac{ ext{d}y}{ ext{d}s})^2=1 ag{18}]
对于一般曲面的面积，在后面会给出一般方法，这里只讨论一类特殊曲面的面积。对于定义在([a,b])上的曲线(y(x))，将它绕(x)轴旋转一周，曲线的路径形成旋转面(Sigma)。可以用曲线上的分段线段的旋转面（圆台侧面）作为旋转面面积，已经知道每个线段旋转面的面积是(pi(y_i+y_{i+1})d_i)（(d_i)为线段长），从而可以证明旋转面面积为(2piint_0^ly\, ext{d}s)（(l)为曲线长度），整理即得式（19）成立。
[S_{Sigma}=2piint_p^qy(t)sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\, ext{d}t=2piint_a^by(x)sqrt{1+y'^2(x)}\, ext{d}x ag{19}]
更一般地，曲线(l)每一点的密度为(f(x,y))（也可能是其它意义），那么曲线的质量是多少呢？同样的方法，将曲线分割为若干小段(varDelta s)，用所有段的质量和的极限作为(l)重量的定义。这样极限也被称为第一型曲线积分，记作(int_lf(x,y)\, ext{d}s)。类似长度的分析，可以用关于(t)参数方程表示(x,y,s)，并将第一型曲线积分转化为一元积分（式（20））。
[int_lf(x,y)\, ext{d}s=int_p^qf(x(t),y(t))sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\, ext{d}t ag{20}]
2.2 多元函数的积分
2.2.1 平面面积、体积
重积分本身就是对面积（体积）的积分，因此将积分函数设为(1)便可求平面面积和体积（式（21）），然后可以通过累次积分或换元法求得重积分。
[S=iint_D ext{d}x\, ext{d}y;quad V=iiint_{Omega} ext{d}x\, ext{d}y\, ext{d}z ag{21}]
2.2.2 曲面面积、曲面质量
现在来看一般空间曲面(Gamma)的面积，先介绍一个基本结论：设平面(pi_1,pi_2)之间的夹角为( heta)，则容易证明(pi_1)上任何图形在(pi_2)上的垂直投影的面积是原图形的(cos{ heta})。为了定义曲面面积，我们将曲面(f(x,y))分割为多个小区域(Gamma_1,cdots,Gamma_n)，每个区域在(xy)平面上的垂直投影是(D_i)。对于每个区域(Gamma_i)，可以用它上面的任一点(xi_i,eta_i)的法平面被投影分割的部分(T_i)来近似，为此还要假设(f(x,y))有连续偏导数。
设(T_i,D_i)的面积分别为(varDelta au_i,varDeltasigma_i)，由于(T_i)的法向量为((f_x(xi_i,eta_i),f_y(xi_i,eta_i),-1))，故(T_i,D_i)的夹角满足式（22）左。所以曲面的近似面积如式（22）右所示，它其实就是(D)上的一个积分和，因此曲面面积为式（23）的重积分。如果(x,y,z)由参数(u,v)给出，重新计算便得式（24）的重积分。
[cos{ heta}=dfrac{1}{sqrt{1+f_x^2(xi,eta)+f_y^2(xi,eta)}};quadsum_{i=1}^nvarDelta au_i=sum_{i=1}^ndfrac{varDeltasigma_i}{cos{ heta_i}} ag{22}]
[S=iint_Dsqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\, ext{d}x\, ext{d}y ag{23}]
[S=iint_{D'}sqrt{A^2+B^2+C^2}\, ext{d}u\, ext{d}v,quad(A=frac{partial(y,z)}{partial(u,v)},;B=frac{partial(z,x)}{partial(u,v)},;C=frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}) ag{24}]
类似于第一型曲线积分，如果曲面(Gamma)上的密度为(f(x,y,z))（或其它意义），则曲面质量被称作第一型曲面积分。该积分记作(iint_{Gamma}f(x,y,z)\, ext{d} au)，上面的曲面面积其实就是(iint_{Gamma} ext{d} au)。可以将微分( ext{d} au)展开，从而将第一型曲面积分转化为二重积分（比如式（25），也可以写成关于参变量(u,v)的重积分）。
[iint_{Gamma}f(x,y,z)\, ext{d} au=iint_Df(x,y,z(x,y))sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\, ext{d}x\, ext{d}y ag{25}]