1. 级数
1.1 级数的定义
现在从增量的角度重新讨论数列的极限，而这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。对于数列(S_n)，设(a_n=S_n-S_{n-1})，则有(S_n=a_1+a_2+cdots+a_n)。为讨论(S_n)的敛散性，定义式（1）的加式为级数，(a_n)称为级数的通项，(S_n)称为级数的部分和。如果(S_n)收敛于有限值(S)，则称级数收敛于(S)（其实就是定义了级数的值），否则称级数发散（也就没有值）。
[sumlimits_{n=1}^{infty}a_n=a_1+a_2+cdots+a_n+cdots ag{1}]
以级数形式表示极限其实很常见，比如我们熟悉的等比数列之和，它的部分和在(q e 1)时满足式（2）。故级数(sumlimits_{n=1}^{infty}aq^{n-1})在(q<1)时收敛，而在(a e 0,\,qgeqslant 1)时发散。这个级数也被称为几何级数，它的结论对后面讨论级数的收敛问题很有作用。
[S_n=a+aq+aq^2+cdots+aq^{n-1}=adfrac{1-q^n}{1-q} ag{2}]
直觉上的级数是一个小数集合的总和，但其实级数的值与通项的顺序也是有关的，后面我们将会给出反例。对任何级数(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)，将其每一项的顺序打乱得到它的更序级数(sumlimits_{n=1}^{infty}a'_n)，但要注意，这里的打乱还要求(a_n)必须对应到有限项(a'_m)，而不能出现在无穷之后。有个基本问题是，级数的更序级数之间的敛散性关系如何？如果都收敛，它们的值相等吗？
1.2 级数的性质
一些特殊形式的级数，可以通过变形判定其敛散性，甚至得到级数的值。但很多时候，我们只需要、也只能判定级数的敛散性，为此需要寻找有效的判定条件。一种方法就是利用极限的判定条件，比如说利用判定极限的柯西准则，可知级数收敛的充要条件是：对任意的(varepsilon>0)，只要(n)足够大，总有式（3）成立。
[left|a_{n+1}+a_{n+2}+cdots+a_{n+p} ight|<varepsilon ag{3}]
利用柯西准则还可以知道，去除、增加或修改级数的有限项不改变级数的敛散性。利用极限的基本性质还可知，如果以(a_n,b_n)为通项的级数收敛，则有式（4）成立。如果对级数任意加括号分组，得到的新级数的的部分和其实是原级数部分和的子列，从而它们有相同的敛散性和和相同的值。
[sumlimits_{n=1}^{infty}ca_n=csumlimits_{n=1}^{infty}a_n;quadsumlimits_{n=1}^{infty}(a_n+b_n)=sumlimits_{n=1}^{infty}a_n+sumlimits_{n=1}^{infty}b_n ag{4}]
以上结论都是极限性质的变形，但既然级数以通项形式展现，我们有必要讨论敛散性与通项本身的关系。在式（3）中取(p=1)，便得到级数收敛一个必要条件：(a_n o 0)。但它却不是充分条件，比如考察调和级数(sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n})，式（5）的推导说明了它是发散的。下面的篇幅主要就是，利用通项的性质讨论级数收敛的充分条件。
[S_{2n}-S_n=dfrac{1}{n+1}+cdots+dfrac{1}{2n}>dfrac{1}{2n}+cdots+dfrac{1}{2n}=dfrac{1}{2} ag{5}]
2. 正项级数
2.1 比较判别法
先来看最常见的级数形式，如果级数的每一项满足(a_ngeqslant 0)，那么称它为正项级数。正项级数的部分和是一个单调递增数列，因此它收敛的充要条件是：部分和有上界。对于更序级数的部分和(S'_m)，总可以选择足够大的(n)，使得(S_n)包含(S'_m)的所有项。所以如果正项级数收敛于(S)，它的所有更序级数的部分和以(S)为上界，故收敛于(S')，且(S'leqslant S)。同样可以有(Sleqslant S’)，从而(S'=S)，也就是说，正项级数的所有更序级数的敛散性相同，如果收敛那么值也相同。
调和级数就是正项级数，它是发散的，任意(a>0,0<q<1)的几何级数也是正项级数，它却是收敛的。由直觉可知，正项级数是否收敛，其实由通项是否“足够小”决定，下面就用不同方法来描述这个“足够小”。本段的讨论都仅限正项级数，不作重复说明。在讨论之前，我们先给出一个非常简单直观却很有用的结论。如果两个级数的通项满足(a_nleqslant b_n)，则易知当(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)发散时，(sumlimits_{n=1}^{infty}b_n)也发散，而当(sumlimits_{n=1}^{infty}b_n)收敛时，(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)也收敛,这个方法称为比较判别法。
比较判别法的使用关键在于比较对象的选择，比较常用的对象就是几何级数和调和级数，比较的过程有时需要较强的技巧性。调和级数的结论还可以扩展到(p)-级数(sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n^p},\,(p>0))，证明中也用到了比较判别法。首先当(pleqslant 1)时，和调和级数比较即知级数发散，而当(p>1)时，类似式（5）的方法得到式（6）的推导，可知级数收敛。从证明中看到，(p)-级数并不比几何级数“更小”，它们都是很好的参照对象。
[sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n^p}<1+dfrac{2}{2^p}+dfrac{4}{4^p}+cdots=sumlimits_{k=0}^{infty}left(dfrac{1}{2^{p-1}} ight)^k=C ag{6}]
比较判别法在使用时需要较强的技巧，考虑到比较的目地只是想知道通项的有多小，一种简单的方法是比较通项无穷小的等级。当式（7）左的极限存在时，如果(lambda)是非零常数，则已知(a_n,b_n)是同阶无穷小，它们有相同的敛散性。而当(lambda)为(0)或(infty)时，也比较容易有对应结论，这里不再赘述。很多时候式虽然(a_n)有较好的形式特点，但（7）左极限不存在或比较难求，我们不得不转向研究通项本身的性质。比较判别法有一个比较显然的推论，就是当式（7）右成立时，可以简单推导出它们敛散性的关系。
[limlimits_{n oinfty}dfrac{a_n}{b_n}=lambda;quaddfrac{a_{n+1}}{a_n}leqslantdfrac{b_{n+1}}{b_n}quad ag{7}]
• 判断级数(sumlimits_{n=1}^{infty}sin{dfrac{x}{n}})、(sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{(n!)^2}{(2n)!})的敛散性。
2.3 比值判别法、根式判别法、积分判别法
现在继续基于通项(a_n)本身来讨论正项级数的敛散性，为简单起见，这里先用几何级数作为比较对象。首先根据式（7）右可知，如果(n)足够大时有(dfrac{a_{n+1}}{a_n}leqslant q<1)，则级数必定收敛。把它表现为极限形式就是，如果式（8）左的极限满足(lambda <1)，则级数收敛，反之若(lambda >1)则级数发散。这个结论的条件还可以弱化成上下极限的条件，请自行论证，该方法被称为比值判别法。
[limlimits_{n oinfty}dfrac{a_{n+1}}{a_n}=lambda;quadlimlimits_{n oinfty}sqrt[n]{a_n}=lambda ag{8}]
利用几何级数的特点，我们还可以有另一种比较方法，它被称为根式判别法。简单说就是，如果(n)足够大时有(sqrt[n]{a_n}leqslant q<1)，则级数必定收敛。该结论同样有式（8）右的极限形式，也可以弱化成上下极限的条件，请自行论证。根式判别法是一种估值法，它的应用场景可以覆盖比值判别法，但比值判别法用起来更加方便。
回顾定积分的定义，若(f(x))在([1,+infty))上非负且单调下降，以(a_n=f(n))通项的级数，其实就是(f(x))积分的一种分割。具体来讲，考察式（9）所定义的积分，显然有(a_{n+1}leqslant F(n+1)-F(n)leqslant a_n)。从而级数(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)与数列({F(n)})有相同的敛散性，这个结论对那些可积分的级数很有用。
[F(x)=int_{1}^{x}f(t)\, ext{d}t ag{9}]
• 判断级数(sumlimits_{n=1}^{infty}n!left(dfrac{x}{n} ight)^n)、(sumlimits_{n=1}^{infty}left(1-dfrac{p}{n} ight)^{n^2})、(sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{1}{n(ln{n})^p})的敛散性。
2.4 拉贝判别法、高斯判别法
比值判别法在(lambda=1)无法判断收敛性，现在用收敛得更慢的(p)-级数作为比较对象，其通项(dfrac{1}{n^p})相邻两项的比值为(left(dfrac{n-1}{n} ight)^p)。在([0,1])上考察函数(f(x)=x^p)，根据微分中值定理知(1-x^p=f(1)-f(x)=f'(ar{x})(1-x)=p{ar{x}}^{p-1}(1-x))，当(p>1)时就有(1-x^p<p(1-x))，将(x=1-dfrac{1}{n})带入就得到式（10）。
[left(1-dfrac{1}{n} ight)^p>1-dfrac{p}{n},quad(p>1) ag{10}]
结合式（7）右便知，如果存在(p>1)使得式（11）左成立，则级数(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)收敛。如果以调和级数为比较对象，还容易知道如果存在(pgeqslant 1)使得式（11）左成立，则级数(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)发散，这个方法叫做拉贝（Raabe）判别法。但它直接使用起来并不方便，一般使用它的极限形式：如果式（12）的极限中(p>1)，则级数收敛，若(p<1)则级数发散。
[dfrac{a_{n+1}}{a_n}leqslant 1-dfrac{p}{n};dfrac{a_{n+1}}{a_n}geqslant 1-dfrac{p}{n}quad ag{11}]
[lim_{n oinfty}{nleft(1-dfrac{a_{n+1}}{a_n} ight)=p} ag{12}]
拉贝判别法可以看作是比值判别法在(lambda=1)时的补充，但它的极限形式对(p=1)的场景还是无能为力。拉贝判别法其实是从(1-dfrac{a_{n+1}}{a_n})中提取出了等阶无穷小(Oleft(dfrac{p}{n} ight))，我们可以继续提取剩下的无穷小(oleft(dfrac{1}{n} ight)=varepsilon_n)。由式（13）的推导可知，如果以(varepsilon_n)为通项的级数收敛，可以估算出(a_n=dfrac{Acdot e^{o(1)}}{n^p})。从而(p>1)时级数收敛，(pleqslant 1)时级数发散，这个方法称为高斯判别法。但要注意，该判别法成立的条件是以(varepsilon_n)为通项的级数收敛，这个条件可以弱化为具体的无穷小，比如(varepsilon_n=dfrac{ heta_n}{n^{1+mu}},(mu>0))，或者更强的(varepsilon_n=oleft(dfrac{1}{nln{n}} ight))。
[ln{dfrac{a_{n+1}}{a_n}}=ln{left(1-dfrac{p}{n}+varepsilon_n ight)}=-dfrac{p}{n}+varepsilon_n+Oleft(dfrac{1}{n^2} ight) ag{13}]
• 判断级数(sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{n!}{(alpha+1)cdots(alpha+n)})、(sumlimits_{n=1}^{infty}left(dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!} ight)^s)的敛散性。
3. 任意项级数
3.1 绝对收敛级数、交错级数
对于通项(a_n)正负不定的级数，如果级数(sumlimits_{n=1}^{infty}|a_n|)收敛，利用柯西准则可知原级数也必定收敛，这样的级数称为绝对收敛的，反之称为条件收敛的。由于收敛正项级数的更序级数也收敛，故绝对收敛级数的更序级数也绝对收敛。我们可以用式（14）左表达式把级数中的正负项分离到两个级数中，显然(sumlimits_{n=1}^{infty}alpha_n,sumlimits_{n=1}^{infty}eta_n)都是正项级数，如果级数绝对收敛，还容易有式（14）右。绝对收敛级数的更序级数的正负项值不变，故它们的收敛值也相同。
[alpha_n=dfrac{1}{2}(|a_n|+a_n),;eta_n=dfrac{1}{2}(|a_n|-a_n)quadRightarrowquadsumlimits_{n=1}^{infty}a_n=sumlimits_{n=1}^{infty}alpha_n-sumlimits_{n=1}^{infty}eta_n ag{14}]
但对于条件收敛到级数，(sumlimits_{n=1}^{infty}alpha_n,sumlimits_{n=1}^{infty}eta_n)的值都是(+infty)，式（14）右的值会出现什么情况呢？答案是任何值(L)，思路其实也很简单，这里作概略说明。一方面从无穷中总可以取出超过定值的片段，另一方面由于收敛级数的通项趋于(0)，这个片段超出定值的大小也趋于(0)。
若(L)有穷非负，先从(sumlimits_{n=1}^{infty}alpha_n)中取出最短片段(A_1)，使得(S_1=A_1>L)，再从(sumlimits_{n=1}^{infty}eta_n)中取出最短片段(B_1)，使得(S_2=A_1-B_1<L)。继续这个过程，显然每一项最终都会被取到，并且(S_n o L)，当(L<0)时有同样的结论。如果(L=+infty)，只要每次取得的(A_i)足够大，且每次(B_i)只取一项，也可以达到目的，对(L=-infty)同样可证。结论总结为黎曼定理：条件收敛的更序级数可取到任意值（包括无穷）。
还有一种级数比较常见，它的通项((-1)^na_n,(a_n>0))正负交替，它被称为交错级数。有一种交错级数，(a_n)单调递减且趋于(0)，考察式（15）可知(S_{2k})单调递增且有界，从而它有极限(S)。进而容易知道(S_{2k+1})也有极限且为(S)，所以级数收敛于(S)且(0leqslant Sleqslant a_1)，同样可知余项也满足(|S-S_n|leqslant a_{n+1})。
[S_{2k}=(a_1-a_2)+cdots+(a_{2k-1}-a_{2k})=a_1-(a_2-a_3)-cdots-(a_{2k-2}-a_{2k-1})-a_{2k} ag{15}]
3.2 通项为(a_nb_n)的级数
很多级数可以写成(sumlimits_{n=1}^{infty}a_nb_n)的形式，而(a_n,b_n)分别有着自身的性质，这里讨论其中的一类。先记(B_m=b_1+cdots+b_m)，容易证明分部求和公式（式（16），也叫阿贝尔变换）成立。利用该公式，如果再假设(a_n)单调且(|B_m|leqslant M)，容易推导出不等式（17）。
[sumlimits_{i=1}^{n}a_ib_i=sumlimits_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})B_i+a_nB_n ag{16}]
[left|sumlimits_{i=1}^{n}a_ib_i ight|leqslant M(|a_1|+2|a_n|) ag{17}]
把式（17）应用到柯西准则里，分别假设(M)和(a_i)趋于(0)，可以得到两种判别方法。一种是阿贝尔判别法：如果级数(sumlimits_{n=1}^{infty}b_n)收敛，且({a_n})单调有界，则级数(sumlimits_{n=1}^{infty}a_nb_n)收敛。另一种是狄利克雷判别法：如果级数(sumlimits_{n=1}^{infty}b_n)的部分和有界，且({a_n})单调趋于(0)，则级数(sumlimits_{n=1}^{infty}a_nb_n)收敛。
阿贝尔判别法实用起来比较容易，而狄利克雷判别法则比较隐晦，部分和有界的级数不好构造。一种最常见的就是通项为三角函数(sin{nx},cos{nx})的级数，利用三角恒等式可以证明其有界性，这个结论在后面的傅里叶级数中非常重要。
4. 其它级数
4.1 级数的乘法
刚才讨论了通项为(a_nb_n)的级数，但它并不适合作为级数的乘法定义。两个级数(A=sumlimits_{n=1}^{infty}a_n,B=sumlimits_{n=1}^{infty}b_n)相乘，应当定义为所有项(u_n=a_ib_j)之和，并且要求任何项(a_ib_j)都在有限处(n)出现。但随之会引出一些基本的问题，对两个收敛的级数，它们乘积的不同更序级数收敛吗？如果收敛值相同吗？设绝对收敛级数的绝对收敛值为(A^*,B^*)，首先易知(sumlimits_{n=1}^{infty}|u_n|)的部分和有上限(A^*B^*)，从而级数乘积也是绝对收敛的。
为了计算乘积的值，我们来选择合适的(a_ib_j)的排序及组合方法，因为级数绝对收敛，重新排序组合后的值应当是相同的。为了有限遍历所有项，下图中的两种组合方法是最常用的，左边的通项可写为式（18）左，右边的通项为式（18）右，它也被称为柯西乘积。左边一个乘积的部分和其实是(A_nB_n)，从而容易得知级数乘积的值为(AB)。总结就是：绝对收敛的级数的乘积也绝对收敛，且收敛值为(AB)。
[U_n=A_nB_n-A_{n-1}B_{n-1};quad C_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+cdots+a_nb_1 ag{18}]
以上结论是针对绝对收敛级数的，且对所有更序级数成立，我们现在来看看条件可不可以弱化一点。柯西乘积有较好的形式特点，令(eta_n=B-B_n)，则有式（19）的变形。如果再令(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)绝对收敛，可以证明(r_n o 0)，从而柯西乘积收敛，且值为(AB)（式（20））。
[S_n=a_1B_n+a_2B_{n-1}cdots+a_nB_1=A_nB+r_n,quad r_n=a_1eta_n+a_2eta_{n-1}+cdots+a_neta_1 ag{19}]
[sumlimits_{n=1}^{infty}C_n=sumlimits_{n=1}^{infty}a_nsumlimits_{n=1}^{infty}b_n ag{20}]
• 利用(dfrac{1}{1-x}=sumlimits_{n=0}^{infty}x^0)求(sumlimits_{n=1}^{infty}nx^{n-1})；
• 验证(sumlimits_{n=1}^{infty}dfrac{(-1)^{n-1}}{sqrt{n}})与自身的柯西乘积不收敛。
4.2 二重级数
级数的概念可以扩展到有两个维度的数集({a_{ij}})，它们的和称为二重级数，记作(sumlimits_{i,j=1}^{infty}a_{ij})。式（21）左称为二重级数的部分和，如果式（21）右的重极限存在，则称二重级数收敛于(S)，否则称为发散。要注意，重极限是两个变量同时趋于(infty)，如果其中一个先趋于(infty)，则它称为累级数，如式（22）所示，内层的级数也称行级数和列级数。
[S_{mn}=sumlimits_{i=1}^{m}sumlimits_{j=1}^{n}a_{ij};quadlim_{m,n oinfty}{S_{mn}}=S ag{21}]
[sumlimits_{i=1}^{infty}left(sumlimits_{j=1}^{infty}a_{ij} ight);quadsumlimits_{j=1}^{infty}left(sumlimits_{i=1}^{infty}a_{ij} ight) ag{22}]
级数的有些讨论可以套用在二重级数中，这里不作赘述，而把重点放在讨论二重级数与累级数的关系上。如果一个累级数存在，容易证明二重级数也存在，且级数的值相等。但反之，如果二重级数存在，累积数不一定存在，甚至行（列）级数都不存在。但容易证明，如果行（或列）级数存在，则对应的累积数也存在，且累积数的值与二重级数相同。
由此可以看出，如果二重级数存在，讨论的重点便是行（或列）级数的存在性。对正项级数，根据有界性已知，它的行列级数都存在，故正项二重级数与正项累级数是完全等价的。还容易证明，二重级数的更序级数也有与之相同的值。对于一般的二重级数，同样可以定义绝对收敛的概念，且容易证明，绝对收敛的二重级数与它的累级数是完全等价的。
4.3 乘法级数
级数是无穷个小量直和，其实在乘法中，也可以考虑无穷个趋于(1)的量的积。为此定义式（23）左为无穷乘积，式（23）右为它的部分积。部分积如果收敛于非零常数(P)，则称无穷乘积是收敛的。如果部分积的极限是(0)或(infty)，这些情况比较平凡，不作讨论，故定义为发散。有讨论价值的无穷乘积，它的通项必定是趋于(1)的，为此我们把通项写成(1+a_n)，其中(a_n o 0)。
[prodlimits_{n=1}^{infty}p_n=p_1cdot p_2cdot p_3cdot\,cdots;quad P_n=prodlimits_{k=1}^{n}p_k ag{23}]
对数可以将乘法变成加法，这就启发我们，(prodlimits_{n=1}^{infty}p_n)收敛的充要条件是(sumlimits_{n=1}^{infty}ln{p_n})收敛。另外，由于(ln{(1+a_n)}sim a_n)，故(a_n)同号时，根据正项级数的比较判别法，可知(prodlimits_{n=1}^{infty}(1+a_n))收敛的充要条件是(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)收敛。特别地，如果(a_n<0)且(sumlimits_{n=1}^{infty}a_n)发散，则有(prodlimits_{n=1}^{infty}(1+a_n)=0)。
• 求证：(prodlimits_{n=1}^{infty}cos{dfrac{varphi}{2^n}}=dfrac{sin{varphi}}{varphi})；
• 求证：(limlimits_{n oinfty}{dfrac{a(a+1)cdots(a+n)}{b(b+1)cdots(b+n)}})发散，其中(b>a>0)。