1. 基本计数
1.1 统一模型
本篇来讨论几个基本的计数问题，这些问题虽然都有各自的模型，但本质上却有着内在的联系，因此我们先建立一个统一的模型。现在有元素集(E,F)，它们的元素都有内在的结构，建立映射(E o F)，问题是这样的映射有多少个？满射和单射有多少个？
所谓有内在的结构，就是元素间的拓扑结构，我们所说的映射个数，严格讲是在拓扑同构意义下的等价类的个数。拓扑结构种类繁多，无法一一研究，本篇只探讨两个基本的拓扑结构，下一篇会做更一般性的讨论。这个模型虽然对本章作用有限，但可以从更高的视角思考看待问题的本质，而且各个问题间联系也一目了然。
两个基本拓扑结构分别是：无序结构和有向链表。无序结构中的元素是离散的、无差别的，在拓扑同构下可以互相替换。有向链表中的元素是完全区分的，它的拓扑同构只有自身，当然只有自身的拓扑结构不止这一个，这里只要强调完全区分性，所谓有向链表可以当做是给每个元素编了号。以下设(E,F)都是有限集，且记(|E|=m,|F|=n)。
1.2 模型1：可区分( o)可区分
可完全区分的结构比较简单，先来看(E,F)都是有向链表的情况，(E,F)分别纵向排列，(E o F)就是一般的函数定义。对(E)的每个元素都有(n)个值可以映射，由乘法原理便知映射一共有(n^m)种。这个结构有一个更常用、更直观的模型，考察由(n)个字母组成的集合(S)，用这些字母组成长度为(m)的单词(x_1x_2cdots x_m)。这个单词也被称(S)上的(m)元可重复排列，或(m)元字。不难证明它和模型1的等价性，故(S)上的(m)元字有(n^m)个。
现在对映射添加一些限制，比如假设(E)的第(k)个元只能取某(n_k)个值，由乘法定理知可以有(n_1n_2cdots n_m)个(m)元字。再限制每个元素的映射不能相同，或者说字中没有重复字母，第(k)个元素只能取(n-k+1)个值。这其实就是我们熟悉的(n)个元素中选(m)个元素的排列数(P(n,m))（式（1）），其中表达式(x(x-1)cdots(x-k+1))简记为((x)_k)，也叫做(x)的降(k)阶乘（(x)不要求是自然数）。类似地记表达式(x(x+1)cdots(x+k-1))简记为((x)^k)，也叫做(x)的升(k)阶乘。
[P(n,m)=(n)_m=n(n-1)cdots(n-m+1)=dfrac{n!}{(n-m)!} ag{1}]
排列数要求每个函数值最多被映射一次，继续推广，我们假定(F)中第(k)个数被映射(m_k)次。这样的字称为是(a_1^{m_1}a_2^{m_2}cdots a_n^{m_n})型字，其中(m_1+m_2+cdots+m_n=m)。先将(m_k)个字母(a_k)看成互异的字母(a_{k1},cdots,a_{km_k})，这样的字有(m!)个，而原来的每个字对应到(m_1!m_2!cdots m_n!)个这样的字，故有式（2）成立。
[N(a_1^{m_1}a_2^{m_2}cdots a_n^{m_n})=dfrac{m!}{m_1!m_2!cdots m_n!} ag{2}]
• 求(S)上的相邻字母不相同的(m)元字的个数。
1.3 模型2：不可区分( o)可区分
现在假定(E)是无序的，而(F)是有向链表，由于原像不可区分，要关注的便是像的组合情况。它的一个等价模型我们也很熟悉：从(n)种颜色的球里选出(m)个球。如果要求每种颜色只能选一个，相当于映射为单射，选取个数称为(n)的(m)元不重复组合数，记作(inom{n}{m})，一般也简称为组合数。它其实就是排列在(E)无序下的等价类的个数，具体说就是(m!)个排列属于同一个等价类，故有公式（3）。
[inom{n}{m}=dfrac{(n)_m}{m!}=dfrac{n!}{m!(n-m)!} ag{3}]
如果颜色可以重复选，选取个数称为(n)的(m)元可重复组合数，记作(left(inom{n}{m} ight))。设每个像被映射的次数为(x_k)，可重复组合数等价于方程（4）的非负整数解的个数。对这个问题，有两个比较巧妙的方法，它们都把可重复组合问题转化为了不重复组合问题，其中的对应思想是非常重要的。一种方法是直接理解方程（4），它相当于把(m)个相同的元素分割为可区分的(n)份。将(m)个元素一字排开，在其中插入(n-1)个隔板即可，隔板和元素共(m+n-1)个位子，我们就是要选择其中的(n-1)个位置，这就有式（5）成立。
[x_1+x_2+cdots+x_n=m ag{4}]
[left(inom{n}{m} ight)=inom{m+n-1}{m}=dfrac{(n)^m}{m!} ag{5}]
另一种解释式（4）的方法也非常经典，考察(s_k=x_1+cdots+x_k)组成的单调递增序列（式（6）左），(s_k)在([n])中取值，但可能存在重复值。为了消除等号，再令(t_k=s_k+k-1)，这时有式（6）成立，其中(t_k)在([m+n-1])中取互异值，同样得到公式（5）。利用这个思想，更容易得到不等式（7）的非负整数解为(inom{m+n}{m})，它也相当于左式分别取(0sim m)时的解数和，故有式（8）成立。
[0leqslant s_1leqslantcdotsleqslant s_n=m;Leftrightarrow;0leqslant t_1<cdots<t_n=m+n-1,;t_k=s_k+k-1 ag{6}]
[x_1+x_2+cdots+x_nleqslant m ag{7}]
[sum_{k=0}^minom{n+k-1}{k}=inom{n+m}{m} ag{8}]
• ([n])中取(m)个互不相邻的数，求取法个数。
1.4 模型3：可区分( o)不可区分
像不可区分，就好比(n)个相同的篮子，把可区分的原像看做是(m)个不同的球，问题等价于：(m)个不同的球放进(n)个篮子的方法。根据有球的篮子数(k)，问题被分为(n)种情况，每一种情况都是相同的问题：(m)个球分成(k)堆的分法。我们就集中研究这个问题，而(m)个元素分成(k)部分的个数被称为第二类Stirling数，记作(S(m,k))。
Stirling数并没有简单的表达式，我们先从它的递推关系入手，这也是组数计算问题的常用方法。考察某个元素(a_1)，分割后有两种情况：它单独分为一堆，或和其它元素在一堆。所以很容易有递推关系（9）。使用递推关系归纳，可以得到比较漂亮的公式（10），如果你觉得正向证明不明显，可以试试反向证明。
[S(m,k)=S(m-1,k-1)+kS(m-1,k) ag{9}]
[S(k+r,k)=sum_{1leqslant k_1leqslant k_2leqslantcdotsleqslant k_rleqslant k}k_1k_2cdots k_r ag{10}]
考虑模型3和模型1的关系，模型3中的1个分割是模型1中的一个等价类：被映射的像的个数为(k)。这个等价类中有(inom{n}{k}k!=(n)_k)个元素（先选(k)个像再排列），从而我们有重要的关系式（11）（(S(m,0)=0)）。(m)个元素的总分割数被称为Bell数，记作(B_m)，它显然是式（12）左。以某个元素所在堆的大小分类讨论，容易有递推关系式（12）右。
[n^m=sum_{k=0}^nS(m,k)(n)_k ag{11}]
[B_m=sum_{k=0}^mS(m,k);Rightarrow;B_{m+1}=sum_{k=0}^minom{m}{k}B_{m-k} ag{12}]
1.5 模型4：不可区分( o)不可区分
当原像和像都不可区分时，只需关心分割的堆数和每堆的个数，等价的模型就是整数(m)的分拆数(p(n))。对应地分拆为(k)部分的个数记作(p(m,k))，它表示不定方程（13）正整数解的个数，注意它和方程（4）的区别在于不考虑分拆的顺序。既然不考虑各部分的顺序，每个分拆其实还对应方程（14）的一组非负整数解。
[x_1+x_2+cdots+x_k=m,;;(x_1geqslant x_2geqslantcdotsgeqslant x_k) ag{13}]
[x_1+2x_2+3x_3+cdots+mx_m=m ag{14}]
分拆数同样没有简单的表达式，我们还是先来建立一些递推关系式。根据(x_k)是否为(1)可得到递推关系（15），持续使用该式便得到式（16），它也有显然的组合意义。
[p(m,k)=p(m-1,k-1)+p(m-k,k) ag{15}]
[p(k+r,k)=p(r,1)+p(r,2)+cdots+p(r,k) ag{16}]
关于(m)的某个分拆结果(x_1,x_2,cdots,x_k)，有个直观的表示方法，以点表示不可区分的元素，在第(i)行排列(x_i)个点。比如((5,5,3,2))画成下图，这样的图称为菲勒（Ferrers）示意图，利用其直观性可以得到很多意想不到的结论。菲勒图纵横翻转后仍然是菲勒图，它对应的分拆称为原分拆的共轭分拆，对于分拆(pi)，其共轭分拆一般记作(pi^*)。从菲勒图中容易得到：（1）(p(m,k))等于(m)最大分部为(k)的分拆数；（2）(m)最多(k)个部分的分拆数，等于(m)最大分部不大于(k)的分拆数。
满足(pi=pi^*)的分拆称为自共轭分拆，它的菲勒图沿对角线对称。将其菲勒图按如图所示分割，便知(m)的自共轭分拆数等于各部分是不同奇数的分拆数。再看各部分都不同的分拆，每个部分(x_k)都可以唯一地表示为(icdot 2^j)，其中(i)为奇数。把该部分拆分为(2^j)个(i)，最终得到所有部分为奇数的分拆。反之对各部分为奇数的分拆，因为大小为(i)的部分的个数可以唯一表示为(2)的幂次之和，故这个对应关系是双向的。这就是说，各部分不相等的分拆数等于各部分为奇数的分拆数。
2. 基本计数的性质
2.1 二项式系数
前面我们已经讨论过，组合数(inom{n}{m})是((1+x)^n)展开式中(x^m)项的系数，当然也二项式（17）中(x^my^{n-m})项的系数，故它也称为二项式系数。组合数的定义式（3）中，(dfrac{n!}{m!(n-m)!})要求(m,n)都是非负整数，但(dfrac{(n)_m}{m!})中(n)可以为任何实数，以后形式(inom{x}{m})也可以用来表示多项式(dfrac{(x)_m}{m!})。这个推广其实是合理的，而在微积分中我们知道((1+x)^{alpha})的幂级数展开式如式（18）所示（牛顿二项式定理），它正是((1+x)^n)的推广。另外易知，可重复组合数还可以写成式（19）。
[(x+y)^n=sum_{k=0}^ninom{n}{k}x^ky^{n-k} ag{17}]
[(1+x)^{alpha}=1+sum_{k=1}^{infty}inom{alpha}{k}x^k ag{18}]
[left(inom{n}{m} ight)=(-1)^minom{-n}{m} ag{19}]
在中学我们就知道一些二项式系数的性质，证明都不难，这里仅仅列举。式（20）中分别是对称性和递推性，其中递推性有显然的组合意义。式（21）是随(m)的变化体现出来的单峰性。((1+x)^n)中令(x=pm 1)可得式（22）和（23），另外利用((1+x)^m(1+x)^n=(1+x)^{m+n})可得范德蒙恒等式（Vandermonde）（24）。
[inom{n}{m}=inom{n}{n-m};;;inom{n}{m}=inom{n-1}{m-1}+inom{n-1}{m} ag{20}]
[inom{n}{0}<inom{n}{1}<cdots<inom{n}{lfloorfrac{n}{2} floor}=inom{n}{lceilfrac{n}{2} ceil}>cdots>inom{n}{n} ag{21}]
[inom{n}{0}+inom{n}{1}+cdots+inom{n}{n}=2^n ag{22}]
[inom{n}{0}+inom{n}{2}+inom{n}{4}+cdots=inom{n}{1}+inom{n}{3}+inom{n}{5}+cdots=2^{n-1} ag{23}]
[sum_{k=0}^rinom{m}{k}inom{n}{r-k}=inom{m+n}{r} ag{24}]
二项式系数很早就被研究，最著名的当然就是杨辉三角（帕斯卡三角），它正是利用了公式（20）右。在反演公式那一章我们已经知道，矩阵({a_{ij}=inom{i}{j}})的逆矩阵是({b_{ij}=(-1)^{i-j}inom{i}{j}})，故有式（25）成立，当然你也可以直接证明它。
[sum_{k=0}^n(-1)^{k+m}inom{n}{k}inom{k}{m}=delta_{mn}=left{egin{matrix}1,& ext{if};m=n\0,& ext{if};m e nend{matrix} ight. ag{25}]
• 证明：(sumlimits_{k=0}^ninom{n}{k}^2=inom{2n}{n})；
• 证明：(inom{n}{1}+2inom{n}{2}+cdots+ninom{n}{n}=ncdot 2^{n-1})；
• 写出((x_1+x_2+cdots+x_p)^n)的展开式。
2.2 Stirling数
现在继续讨论第二类Stirling数，从名字就知道它是个有故事的数。公式（10）并不能让人满意，它甚至只是另一个计数问题的描述而已，能使用的就只有公式（11）了。该式显然满足单链(L_m)的反演公式的形式，把它整理为式（25）左式（为了得到关联函数(inom{n}{k})），由反演公式得到了式（25）右，从而有(S(n,k))的另一个显式表达式（26）。
[n^m=sum_{k=0}^ninom{n}{k}k!S(m,k);Leftrightarrow;n!S(m,n)=sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}inom{n}{k}k^m ag{25}]
[S(m,k)=dfrac{1}{k!}sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}inom{k}{i}k^m ag{26}]
由于公式（11）对任意(nleqslant m)成立，故有等式（27）左成立，从而(S(m,k))给出了多项式组({x^m})和({(x)_m})的线性表出关系。这样的线性表出必定有逆关系（式（27）右），其中的(s(m,k))就被称为第一类Stirling数，它和第一类Stirling数有关系式（28）。
[x^m=sum_{k=0}^mS(m,k)(x)_k;Leftrightarrow;(x)_m=sum_{k=0}^ms(m,k)x^k ag{27}]
[sum_{k=0}^mS(m,k)s(k,n)=delta_{nm}=left{egin{matrix}1,& ext{if};m=n\0,& ext{if};m e nend{matrix} ight. ag{28}]
另一方面，考察式（27）右，不难知道(s(m,k))有递推式（29），类似地有表达式（30）。(s(m,k))正负项交叉出现，为了寻找其组合意义，考察表达式（31）中的(c(m,k))。它显然是(s(m,k))的绝对值，并且满足式（32）。容易验证，含有(k)个轮换的(m)元置换数，也满足式（32）的递推关系，这便是它的组合意义。
[s(m,k)=s(m-1,k-1)-(m-1)s(m-1,k) ag{29}]
[s(k+r,k)=(-1)^rsum_{1leqslant k_1leqslant k_2leqslantcdotsleqslant k_rleqslant k+r}k_1k_2cdots k_r ag{30}]
[(x)^m=sumlimits_{k=0}^mc(m,k)x^k ag{31}]
[c(m,k)=c(m-1,k-1)+(m-1)c(m-1,k) ag{32}]
• 求(1^{lambda_1}2^{lambda_2}cdots m^{lambda_m})型置换的个数。