计数问题种类繁多，为了避免陷入漫无目的烧脑运动，我们先需要关注一些常用方法和结论。数学的抽象性和通用性是我们一直推崇的，从诸多特殊问题中发现一般性的方法，也总会让人兴奋和慨叹。一般教材多是以排列组合开篇，采用了一些技巧性很强的初等方法来讨论组合计数，我倒觉得可以直接先掌握一些锋利的工具，到时再看那些问题，会有快刀斩乱麻之快感。
1. 关联代数
1.1 一个例子
为了对反演公式有个直观的认识，我们从一个简单的问题说起，考察数列的求和公式（1）。左式表示当知道数列的每一项(a_n)时，就可以得到前(n)项的和(s_n)，右式表示知道和(s_n)也可以反推到项(a_n)。整理一下这段陈述中的要素，有两个定义在自然数集上的函数(f(n),g(n))，(f(n))可以由(g(1),cdots,g(n))线性表出，(g(n))也可以由(f(1),cdots,f(n))线性表出，结论是这两个线性表出是等价的，由其中一个可以推导出另一个。
[s_n=a_1+a_2+cdots+a_n;Leftrightarrow;a_n=s_n-s_{n-1} ag{1}]
这样的互逆推导现象被称为反演，现在来深入寻找其中的模式。有了线性代数的知识，以上推导式其实就是一个简单的线性方程组（式（2））。有两点需要强调，一点是由于递推式的特点，两边的矩阵都是下三角可逆矩阵。另一点是，这个表达式对任意的(n)都成立，其中的向量和方阵都可以看成是无限维的。第二点让我们把注意力吸引到了方阵上（设两边分别为(A,B)），因为不管(n)是多少，两边的方阵在(a_{ij},b_{ij})的取值都是相同的！
[egin{bmatrix}s_1\s_2\vdots\s_nend{bmatrix}=egin{bmatrix}1&&&\1&1&&\vdots&vdots&ddots&\1&cdots&1&1end{bmatrix}egin{bmatrix}a_1\a_2\vdots\a_nend{bmatrix};Leftrightarrow;egin{bmatrix}a_1\a_2\vdots\a_nend{bmatrix}=egin{bmatrix}1&&&\-1&1&&\&ddots&ddots&\&&-1&1end{bmatrix}egin{bmatrix}s_1\s_2\vdots\s_nend{bmatrix} ag{2}]
1.2 偏序集
看来我们已经把问题引入到了无限维下三角方阵上来，而讨论的目标则是它的逆元。为了得到这样的扩展，我们用另一种方法来描述下三角方阵。首先它定义在正整数集的二元关系((x,y))上，其次只有当(xgeqslant y)时有意义。我们知道正整数集是一个全序集，任意两个数之间都是“可比”的，下三角矩阵就是“可比”关系的函数。既然要扩展定义，我们不妨把这个函数定义在稍弱一点的“序集”上，只需要局部是“可比”的，反演在局部应该也是有意义的。
具体来说，我们来回顾集合论中的偏序集，定义集合(X)的二元关系(geqslant)，它满足自反率、反对称性、传递性，并称之为偏序。定义了偏序的集合也称为偏序集（partially ordered set），其中有二元关系的两个元素称为可比的，可比元素之间的所有元素称为截断，记为([x,y])。偏序集可以用Hasse图来直观地表示，图中只连接了直接可比的元素（上大下小），整体看起来呈现网状结构。除了整数集之外，常见的偏序集还有：集合间的包含关系、正整数间的整除关系等。
偏序集可以是无限的，但为了便于讨论，我们假定局部是有限的，即([x,y])是有限集。如果把偏序关系全部倒过来，得到的显然还是偏序集，且和原集是同构的，没有本质区别，它们称为对偶的。另外，对于偏序集(X_1,X_2,cdots,X_n)，容易知道直积(X_1 imescdots imes X_n)在式（3）定义下也是偏序集。如果记(n)元集合的所有子集在包含关系下的偏序集为(B(n))，则易知它同构于(n)个(2)元链(L_2)的直积(L_2^n)。再记(n)之内的整数在整除关系下的偏序集为(D(n))，设(n=p_1^{e_1}cdots p_k^{e_k})，则易知它同构于(L_{e_1+1} imescdots imes L_{e_k+1})。
[(x_1,x_2,cdots,x_n)geqslant(y_1,y_2,cdots,y_n);Leftrightarrow;x_1geqslant y_1wedgecdotswedge x_ngeqslant y_n ag{3}]
1.3 关联代数
现在在偏序关系(X)上定义函数(alpha(x,y)in X imes X oBbb{R})，当(x otgeqslant y)时(alpha(x,y)=0)。为讨论它们的代数结构，记所有函数的集合为(I(X))，在上面定义加法和数乘是平凡的。参考矩阵乘法的定义，可以按式（4）定义函数的乘法(alphaeta)，可以证明乘法满足结合律。在抽象代数中我们知道，这样的结构叫做结合代数，在这里我们称它为偏序集(X)的关联代数（incidence algebra），也记作(I(X))。
[(alphaeta)(x,y)=sum_{xgeqslant zgeqslant y}alpha(x,z)eta(z,y) ag{4}]
容易验证以下函数(delta)就是关联代数的单位元，下面讨论关联代数中的逆元。假设(etaalpha=delta)，固定(x)的值，由乘法的定义可有式（6）。如果(alpha(x,x) e 0)，显然可递推得到任何一个(eta(x,y))，这就得到了(alpha)存在逆元的充要条件：(alpha(x,x) e 0)。还可以确定，(eta(x,y))完全取决于(zin[x,y])上(alpha(z,y))的值。另外值得注意的是，逆元(eta)不仅与(alpha)有关，还与偏序集的结构有关。
[delta(x,y)=left{egin{matrix}1,&(x=y)\0,&(x e y)end{matrix} ight. ag{5}]
[eta(x,x)alpha(x,x)=1,;sum_{xgeqslant zgeqslant y}eta(x,z)alpha(z,y)=0 ag{6}]
特别地，定义式（7）中的常用函数(zeta)为zeta函数，它的逆(mu)显然存在，被称之为Möbius函数。由式（6）可得到(mu)的递推式（8），它只包含(0,pm 1)，具体值与偏序集的结构有关。设偏序集(X_1,cdots,X_k)上有函数(delta_i,zeta_i,mu_i)，对于它们的直积(X)，首先显然有式（9）的前两式成立，式（10）的推导和逆元的唯一性也说明了第三式成立。
[zeta(x,y)=left{egin{matrix}1,&(xgeqslant y)\0,&(x otgeqslant y)end{matrix} ight. ag{7}]
[mu(x,x)=1,;mu(x,y)=-sum_{xgeqslant z>y}mu(x,z) ag{8}]
[delta(x,y)=prod_{i=1}^kdelta_i(x_i,y_i);;zeta(x,y)=prod_{i=1}^kzeta_i(x_i,y_i);;mu(x,y)=prod_{i=1}^kmu_i(x_i,y_i) ag{9}]
[delta(x,y)=prod_{i=1}^ksum_{x_igeqslant z_igeqslant y_i}zeta_i(x_i,z_i)mu_i(z_i,y_i)=sum_{xgeqslant zgeqslant y}prod_{i=1}^kzeta_i(x_i,z_i)mu_i(z_i,y_i) ag{10}]
2. Möbius反演公式
2.1 反演公式
有了以上准备工作，现在把例子中的问题进行扩展。为了避免对无限的讨论，先限定对任意(x)，小于它的元素有限，这样的偏序集称为下有限的。同样可以定义上有限，以下结论对上有限也有对应的结果。设(f(x),g(x))是定义在偏序集(X)上的函数，而(alpha,eta)是(I(X))中的互逆元，则需要证式（11）成立。
[f(x)=sum_{yleqslant x}alpha(x,y)g(y);Leftrightarrow;g(x)=sum_{yleqslant x}eta(x,y)f(y) ag{11}]
为了论证方便，可以把(sum)的下标换成任意值(y)（因为当(y otleqslant x)时(alpha(x,y)=0)），证明(Rightarrow)时，只需把(f(y)=sumlimits_zalpha(y,z)g(z))带入右式中的(sumlimits_yeta(x,y)f(y))即可。过程从略，同样的方法可以验证(Leftarrow)。特别地，对zeta函数有Möbius反演公式（式（12））成立，而式（11）是它的推广形式，这些结论都是美国数学家Rota在1964年发表的。
[f(x)=sum_{yleqslant x}g(y);Leftrightarrow;g(x)=sum_{yleqslant x}mu(x,y)f(y) ag{12}]
当偏序集是有限集时，关系代数其实可以表示成方阵，这时反演公式其实就是线性方程组的解。为了显式地表示式（11）的递推关系，我们需要把方阵的行（列）按照偏序集元素的从小到大的顺序排列，这就需要把偏序关系扩展成全序关系。这一点是不难做到的，首先对(n=1)的偏序集已经是全序集，当(n>1)时先把一个极小值记作(x_1)，其它(n-1)个元素仍然构成偏序集。由归纳法知它们可以扩展成全序集(x_2leqslantcdotsleqslant x_n)，这时全序集(x_1leqslantcdotsleqslant x_n)就是满足条件的扩展。这个全序集的关联代数的方阵就是下三角矩阵，元素可逆的充要条件是：方阵的对角元素非零。
2.2 反演公式的应用
2.2.1 递推数列
接下来具体讨论几个常见偏序集，先从最简单的单链(L_n)开始，则有式（13）的反演公式。把数列(f(n),g(n))分别看成是行向量(F,G)，再把它们的递推关系表示为互逆的下三角方阵(A,B)，反演公式其实就是平凡的(F=AGLeftrightarrow G=BF)。特别地，(L_n)的(zeta,mu)分别可以表示为式（2）中的矩阵。以上结论对(n=infty)同样成立，(F,G)就变成无穷维行向量，(A,B)就是无穷维下三角方阵。
[f(n)=sum_{k=1}^na_{nk}g(k);Leftrightarrow;g(n)=sum_{k=1}^nb_{nk}f(k) ag{13}]
有时候我们需要得到除(zeta,mu)之外的互逆函数（方阵），而利用两个关系简单的数列就可以反过来求互逆函数。这里拿多项式举例（以下假定读者有高中排列组合知识），假设有两个多项式序列({p_n(x)},{q_n(x)})，其中(p_k(x),q_k(x))的阶都是(k)，容易证明它们可以互相唯一线性表示。如果能某个关联函数能找到适当的多项式序列，那它的逆也就容易求得。比如考察(p_n(x)=x^n)和(q_n(x)=(x-1)^n)，则显然有下式成立，所以二项式矩阵(a_{ij}=inom{i}{j})的逆元就是(b_{ij}=(-1)^{i-j}inom{i}{j})，它被称为二项式的反演公式。
[p_n(x)=sum_{k=0}^ninom{n}{k}q_k(x);;;q_n(x)=sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}inom{n}{k}p_k(x) ag{14}]
二项式是非常常用的数列，利用这个反演公式可以解决一些很难的计数问题。比如考虑把(n)封信拆开重装，记有(k)封信装错的的装法有(D_k)个，这个数称为错位排列数，以后还会讨论。因为(n)封信的随意排列有(n!)种，而这其中可以分为有(0,1,cdots,n)封装错的情况，从而有式（15）左式，由二项式反演公式就得到式（15）右式。
[n!=sum_{k=0}^kinom{n}{k}D_k;Leftrightarrow;D_n=sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}inom{n}{k}k! ag{15}]
特别地，当(q_n(x)=p_n(-x))时，它们的关联函数与自己互逆。以下记((x)_n=x(x-1)cdots(x-n+1))，考察(p_n(x)=(-x)_n)和(q_n(x)=(x)_n)，因为对任意整数(m)有式（16）成立。因为多项式之间的线性表示唯一，从而将(m)换成(x)等式也成立，这就得到了式（17），对应的反演公式被称为Lah反演公式。
[(-1)^ndfrac{(-m)_n}{n!}=inom{m+n-1}{n}=sum_{k=0}^ninom{n-1}{k-1}dfrac{(m)_k}{k!} ag{16}]
[(-x)_n=sum_{k=0}^nl_{nk}(x)_n;Leftrightarrow;(x)_n=sum_{k=0}^nl_{nk}(-x)_n,;l_{nk}=(-1)^ndfrac{n!}{k!}inom{n-1}{k-1} ag{17}]
2.2.2 容斥原理
本节讨论集合(A)的子集簇(B(A))在包含关系下的偏序集，这里只讨论(zeta,mu)函数。前面已经知道，(B(A))是同构于(L_2^n)的，而(L_2)的(mu)函数为(egin{bmatrix}1&0\-1&1end{bmatrix})。如果子集(Ssupset T)，则利用公式（9）易知(mu(S,T)=(-1)^{|S|-|T|})，这个结论马上要用到。
现在要讨论(B(A))的函数(f(S),g(S))，并且它们有关系(f(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}g(T))。为了使问题直观且有意义，可以建立如下模型：设集合的每个元素有属性集(X={P_1,P_2,cdots,P_n})中的部分属性，我们比较关心的集合有两种：恰好有属性子集(T)中的所有属性元素个数(N_{=}(T))，和至少有(T)中所有属性的元素个数(N_{geqslant}(T))。
这个模型还有一个我们更熟悉描述方法，记所有含有性质(P_k)的元素为(A_k)，则(A_1,cdots,A_n)可以看作是全集(A)里(n)个子集。把(n)种性质简记为([n])，属性子集(T)则为([n])的一个子集，式（18）说明了两种描述的等价关系。对另一个熟悉的集合(A_1cupcdotscup A_k)，可以先讨论它的逆(ar{A}_1capcdotscap ar{A}_k)，将模型缩小为(k)个属性，它其实就是(N_{=}(varnothing))。
[N_{geqslant}(T)=left|igcap_{iin T}A_i ight|;;N_{=}(T)=left|(igcap_{iin T}A_i)cap(igcap_{j otin T}A_j) ight| ag{18}]
在实际问题中，(N_{geqslant}(T))更容易求得，因为它只需关注具有属性集(T)元素。(N_{=}(T))则比较难计算，但我们容易有式（19）左边的关系。它们满足属性子集的对偶偏序集上的反演公式，则容易有式（19）右边的结论。特别地有式（20）成立，它还有个直观的描述，不含有任何性质的元素可以这样计数：先在全集(A)中分别去除(A_i)的个数，然后加上被重复去除的(A_icap A_j)，再加上多去除的部分……。这个过程就是在反复地去除再添加，因此式（20）也叫容斥原理。
[N_{geqslant}(T)=sum_{Ssupseteq T}N_{=}(S);Leftrightarrow;N_{=}(T)=sum_{Ssupseteq T}(-1)^{|S|-|T|}N_{geqslant}(S) ag{19}]
[|A|-left|A_1cupcdotscup A_n ight|=N_{=}(varnothing)=sum_{k=0}^n(-1)^ksum_{|S|=k}N_{geqslant}(S) ag{20}]
容斥原理是个很古老的结论，这里利用反演公式的证明比任何初等证明都清晰。之前其实我们已经运用过这个结论，这里再举几个例子。先来回顾一下错位排列问题，把第(i)位没有排错作为性质(P_i)。至少有(k)位排列正确的个数有(inom{n}{k}(n-k)!)，利用容斥原理并整理得式（21）左，它和式（15）其实是一样的。有趣的是还有式（21）右成立，它说明信封完全装错的概率趋于(1/e)。
[D_n=n!sum_{k=0}^ndfrac{(-1)^k}{k!};;;lim_{n oinfty}dfrac{D_n}{n!}=dfrac{1}{e} ag{21}]
再来看欧拉函数(varphi(n))，它表示([n])中与(n)互素的数的个数。设(n)的全部质因数是(p_1,cdots,p_k)，以被(p_i)整除为性质(P_i)，([n])中至少被(m)个质因数整除的个数是(sum dfrac{n}{p_{i_1}cdots p_{i_m}})。利用容斥原理并整理得式（22），它也有显然的概率论意义：不被(p_i)整除 与不被(p_j)整除是独立事件。
[varphi(n)=n(1-dfrac{1}{p_1})(1-dfrac{1}{p_2})cdots(1-dfrac{1}{p_k}) ag{22}]
• 计算([n])中与(n)互素的数之和；（提示：计算能整除(p_1cdots p_i)的数之和，答案(dfrac{1}{2}nvarphi(n))）
• 字母(a_1,cdots,a_n)各有两个，用它组成的(2n)元字中，相同字母不相邻的字有多少个？
2.2.3 经典反演公式
最后来讨论正整数集在整除关系下偏序集，其实这是Möbius反演公式的最初原型。当(d|n)时，先来计算(mu(n,d))，为此考虑偏序集(D(n))，其中(n=p_1^{e_1}cdots p_k^{e_k})。前面知道它同构于(L_{e_1+1} imescdots imes L_{e_k+1})，(mu_i(n_i,d_i))（(n_i,d_i)分别是(n,d)中(p_i)的幂）当(n_i=d_i)相等时为(1)，当(n_i=d_ip_i)时为(-1)，其它为(0)。
利用公式（9）可以证明，(mu(n,d))只与(m=dfrac{n}{d})有关，由此可直接记作(mu(m))。它就是经典Möbius函数，易知它有表达式（23），其下的经典Möbius反演公式便是式（24），之前的反演公式是推广后的结论。
[mu(m)=left{egin{matrix}(-1)^r,& ext{all }e^i=1\0,& ext{others}end{matrix} ight.,;;(m=p_1^{e_1}cdots p_r^{e_r},; ext{all }e^i>0) ag{23}]
[f(n)=sum_{d|n}g(d);Leftrightarrow;g(n)=sum_{d|n}mu(dfrac{n}{d})f(d) ag{24}]