从数学到密码学（六）

数学基础（一）

进入数学世界后，一切都要遵从这里的规矩。通常而言，都是先给出基本的定义，再用逻辑法则进行推导，最后得到结论（有时用“定理”、“推论”表示之）。

下面我们就按照这一套路，从高中的基本概念开始，逐步走入大学的数学殿堂，直至达到我们的最终目标－－密码学。

后面涉及的符号先说明如下：

1、所有定义都以方括号[]表示
2、←、→分别表示 从右边推导左边 和 从左边推导右边 的过程
3、重要的结论，用定理表示，粗体

[集合]、[元素]：一些事物的全体叫做一个集合，集合中的每一个事物称为这个集合的元素。（好象是废话，此处特意强调）
举例1：全体整数（…、-2、-1、0、1、2、…），构成一个集合，称为整数集，通常用符号Z表示。
举例2：全体自然数（1、2、…），构成一个集合，称为自然数集，通常用符号N表示。
　　　－－关于N的定义，通常有两种，我们采用其中的一种（把0排除在外），另一种定义是将0也算在自然数范围之内。

从集合和元素的概念出发，自然得到集合和元素之间的关系——“属于”与“包含”。
[属于、包含]：x是集合A的元素，则记作x∈A（称为“x属于A”或“A包含x”）。

推论：对于所考虑的范围内，任意一个对象x和任意一个集合A，以下两种情况有且仅有一种成立：
(1)x是A的元素，此时记作x∈A
(2)x不是A的元素，称为“x不属于A”或“A不包含x”

对于一个集合，其构成元素的次序都无关紧要。
比如由数字1、2、3构成的集合可记为{1，2，3}，它与集合{3，2，1}是一回事。

带余除法定理：设a∈Z，n∈N，则存在唯一的整数q、r∈Z，满足a=q*n+r，其中0≤r＜n
上式中，q称为商，r称为余数，有时候为了强调，称r为q模n的余数。
举例：7 = 2*3 + 1，所以称1为7模3（或2）后的余数（2、3的位置对称）

[映射]（又称为[函数]）：此定义太普通，请查教科书。

[子集]、[父集]：此定义请查教科书。

[笛卡尔积]： 两个集合A和B的笛卡尔积A×B定义为：A×B={<x,y>|x∈A且y∈B}。请注意，A×B中的元素是有次序的。
通俗地说，A和B的笛卡尔积就是，分别遍历A、B中所有元素得到的有序对所构成的集合。
举例：设A={a，b}，B={1，2}，则A×B={<a,1>，<a,2>，<b,1>，<b,2>}

如果A与B相等，则退化为集合A上的笛卡尔积：A×A={<x,y>|x、y∈A}。
集合A上的笛卡尔积就是遍历A中所有元素得到的有序对构成的集合。
举例：对于A={a，b}，则A×A={<a,a>，<a,b>，<b,a>，<b,b>}

[集合上的二元关系]：笛卡尔积A×A的任意一个子集，称为A上的二元关系。
A×A的子集与A上的二元关系是一个事物的两种说法，指的是同一个概念。在不引起模糊的情况下，二元关系简称为关系。
通常用子集的名字（大写字母）表示二元关系。
举例：A={a，b}，则R={<a，a>}，S={<a，b>，<b，a>}，T={<a，b>}都是A×A的子集，因而都是A上的二元关系，也分别用R、S、T表示。

我们注意到，二元关系的元素与平面上的坐标表示很象，只不过后者是数字的有序对。

<a，b>∈二元关系R，常简记为aRb。即aRb与<a，b>∈R（R为某个笛卡尔积的子集）是一回事。在不引起误解的情况下，二元关系简称为关系。
举例：对于关系U={<a，a>}，S={<a，b>，<b，a>}，T={<a，b>}，我们分别有aUa，aSb，bSa，aTb

通常，aRb并不意味着bRa。以上例中的关系T为例，aTb成立，但bTa不成立（因为不属于T），见稍后的对称性定义。

下面是集合上一些特殊的二元关系

如果对于任何x∈A满足：xRx，则说R是自反的，或R满足对称性。
举例：U、S、T不是自反的，因为bUb、bSb、bTb不成立。

如果对于任何x、y∈A满足：若xRy则yRx，则说R是对称的，或R满足对称性。
换句话说，xRy、yRx要么同时成立，要么同时不成立。
举例：U、S是对称的。T不是对称的。

如果对于任何x、y、z∈A满足：若xRy、yRz，则xRz，则说R是传递的，或R满足传递性。
举例：U是传递的。

设n为正整数，定义整数集Z上的二元关系～（也即Z×Z的子集）如下：
～={(a，b)|a、b∈Z且a－b是n的倍数}，称～为模n的同余关系，或简称同余关系

可以证明，如下同余关系与下面条件等价：
　　a～b
←→a－b＝k*n，其中k∈Z
←→n|(a－b)，|表示整除
←→a、b关于模n的余数相同（这就是为什么称为同余关系的原因）

[等价关系]：如果关系R同时满足自反、对称和传递性，称R为等价关系。
直接按定义验证，可以证明，Z上的同余关系～是等价关系。