数学基础（二）
先复习上节我们最后讲到的[等价关系]：
如果二元关系R同时满足自反、对称和传递性，称R为等价关系。
Z上的同余关系～是等价关系。
继续往前走……
[集合的交集]：参见标准教科书。通常用符号∩表示。
[集合的并集]：参见标准教科书。通常用符号∪表示。
[空集]：参见标准教科书。通常用符号φ表示。
[等价类]：设R是集合A上的等价关系，对于a∈A，称集合{x∈A|xRa（或aRx）}为a关于R的等价类－－注意R为等价类，所以xRa等同于aRx
直观意义上看，a关于R的等价类就是A中所有与a等价的元素的集合，a的等价类记为[a]。
即[a]＝{x∈A|xRa}，由集合的概念，x∈[a]←→xRa。很明显a∈[a]。
举例：Z上模n的同余关系～对应得到的等价类，称为模n的同余类，或模n的剩余类，在不引起误解时，常省去“模n”简称为同余类，或剩余类。
注意：等价类概念与特定元素a密不可分，即先确定一个元素a，找出所有与之等价的元素，然后将它们构成一个集合（a就是其中的一个元素），并称此集合为等价类。
R为等价关系，则a关于R的等价类[a]，具有以下性质
性质1：[a]∩[b]≠空集φ←→[a]＝[b]
证明：←自然成立，[a]∩[b]＝[a]，不空
→设x∈[a]∩[b]，则x∈[a]且x∈[b]，即xRa且xRb，由对称性和传递性，有aRb（或bRa），下面我们将推出[a]＝[b]
设y∈[a]则yRa，由aRb得yRb（传递性），即y∈[b]，这说明[a]是[b]的子集，同理可证[b]是[a]的子集，因而[a]＝[b]
结论1：要么[a]∩[b]为空集，要么[a]＝[b]，两者必取其一。换句话，任意两个等价类，要么完全相同，要么互不相交。
结论2：一个元素只能属于一个等价类，因为不同的等价类无交集
[自然映射]：集合A上有等价关系R，称映射f：A→A/R≡a→[a]为A关于R的自然映射，简称自然映射
举例：对于Z上的等价关系～，自然映射为f：Z→Z/～≡i→[i]
性质2：下面(A)、(B)、(C)、(D)四个条件为等同条件，即它们之间可以互相推导得到对方。
(A)[a]＝[b]←→(B)a∈[b]←→(C)aRb←→(D)bRa←→(E)b∈[a]
证明：首先，(B)←→(C)、(D)←→(E)完全成立（见等价类的定义），(C)←→(D)由对称性得到，下面证明(A)[a]＝[b]←→(C)aRb
→[a]＝[b]，且a∈[a]，得a∈[b]，即aRb。
←aRb，则a∈[b]，又a∈[a]，说明[a]、[b]有交集{a}，由性质1，[a]＝[b]
定理：等价类[x]可以用该等价类的任意一个元素（即任意一个与x等价的元素）a表示
证明：a∈[x]，因而[x]＝[a]。
定理：任意一个等价类，由且仅由相互等价的元素组成。
证明：设[a]为等价类。对于a而言，集合中所有元素与a的关系只有两种：要么等价，要么不等价。
与a等价的元素构成[a]，这些元素之间也互相等价。与a不等价的元素不属于[a]，它与[a]中其他元素也不等价。
上面的结论，反过来是否成立呢？我们有
定理：对于集合A上的等价关系R，所有相互等价的元素构成的集合，可以（且仅可以）用其中任一元素对应的等价类表示。
证明：假设a、b、c……相互等价，则[a]＝[b]＝[c]……，且{a、b、c……}包含于（[a]∪[b]∪[c]……）＝[a]＝[b]＝[c]……
反之，对于任意x∈[a]（或[b]、[c]、……），表明xRa，故x∈{a、b、c……}，综合以上，得到
{a、b、c……}＝（[a]∪[b]∪[c]……）＝[a]＝[b]＝[c]……
对于a、b、c……之外的元素z，由于z与它们都不等价，因而[z]≠[a]，从而不能用[z]表示[a]。
[商集]：集合A中所有元素关于等价关系R的等价类构成的集合，称为A关于R的商集(通常简称为A的商集)，记为A/R。
由定义，A/R＝{[a]|a∈A}。注意，A/R的元素是等价类，该等价类同时又是A的子集，并且A/R中所有等价类的集合并＝A
举例：Z关于～的商集（假设模n）Z/～＝{…、[-2]n、[-1]n、[0]n、[1]n、[2]n、…}。[]下标n着重表示是模n的等价类。
当我们不强调模n时，常记为Z/～＝{…、[-2]、[-1]、[0]、[1]、[2]、…}
我们已经知道，两个等价类，要么相同，要么不相交。
考虑A/R中的元素（即等价类），其中所有相同的等价类合并为一个，最后剩下的等价类互相之间相交为空。
最终，A等于若干个不相交的等价类的并。
举例：Z关于～的商集（假设模n）Z/～，经过化简后，等于{[0]n、[1]n、[2]n、…、[n-1]n}（共n个等价类），后面我们将它作为一个定理陈述。
如上图，集合A包括元素a、b、m、n、p、q、x、y、z，其中[a]＝[b]＝[x]，[m]＝[n]＝[y]，[p]＝[q]＝[z]，合并相同的等价类后，A＝[x]∪[y]∪[z]，也可以取其他等价类，比如A＝[a]∪[m]∪[p]或[b]∪[n]∪[q]。实际上只要在剩下不相交的等价类中任取一个元素作为代表就可以。
定理：Z关于～的商集Z/～＝{[0]、[1]、[2]、…、[n-1]}
证明：设0≤i、j≤n－1，且i≠j，则[i]≠[j]。用反证法，假设[i]＝[j]，则i～j，得出n|(i－j)，矛盾（因为|i－j|≤n－1）。
另外，对于任意i∈Z，存在0≤j≤n－1满足[i]＝[j]。这是很明显的，由带余除法定理，存在k∈Z、0≤j＜n满足i=k*n+j
i－j＝k*n，从而i～j（参见同余关系的等价条件），故[i]＝[j]。