数学基础（三）
从本节起，我们开始进入大学数学的领域－－近世代数（也称抽象代数）。
先给出几个基本概念/定义。
[代数运算]：对于集合A的任意元素a、b，如果按某一运算法则（通常用某个记号，比如*来表示）进行运算，可以得到唯一的结果c∈A，则称运算法则*为集合A上的一个二元代数运算。
说明：
1、代数运算的实质是：定义域和值域都在同一集合上的映射（或函数）。
2、在此语境下，我们也说“集合A在运算法则*下封闭”，或“集合A对运算法则*封闭”，这些说法都是等价的。
3、我们讨论的代数运算都只涉及2个元素，所以通常省去“二元”，称为代数运算，或者简称运算。
4、需要明确的是，*只是一个运算符号，一个记号而已，我们可以用+、^等符号代替它。在上述定义中，我们既不知道也不关心它具体是怎样运算的，所以理论上可以随便用个符号代替（当然在讨论某一个例时，要尽量使用大家都认可的符号）。我们真正关注的是，在此定义下，该运算法则具有哪些通用的代数学上的性质可以为我们所用。可以想见，这些性质与具体运算法则无关，却普遍适用－－这正是抽象的威力。
[代数系统]：若集合A具有代数运算*（即对*运算封闭），则称(A，*)是代数系统
说明：
1、具有代数运算的集合或者对运算封闭的集合就是代数系统。代数运算和代数系统是一体两面。
2、有时候，在明确知道代数运算*的情况下，可以省略运算符号，直接称A是代数系统。事实上，我们所讨论都是代数系统，因为没有代数运算的集合没有多大用处。
举例：对于整数集Z，加法运算（用加号+表示）和乘法运算（用乘号*表示）都是Z上的代数运算（很简单，是吧）
比如，取a=2、b=3，由加法运算法则，得到结果5，即2+3＝5，由乘法运算法则，则得到结果6，即2*3＝6，这说明（Z，+）、（Z，*）构成代数系统。
一个集合上可以有多个代数运算，比如整数集Z上同时定义了加法和乘法运算。
对于商集Z/～＝{[0]、[1]、[2]、…、[n-1]}，在Z/～上定义等价类之间的运算法则+：[i]+[j]≡[i+j]，其中i、j为等价类的代表元素
说明：
1、≡读作“定义为”
2、具体运算如下：取两个等价类中的代表元素，将它们相加，然后再做[自然映射]（[自然映射]不记得？请看前面的内容）
3、≡左边方括号[]之间的+表示等价类之间的运算，是新定义的运算法则的记号，≡右边的+（在方括号号[]中）表示普通的加法运算。
4、参与运算的对象是等价类，结果也是等价类。但是两个等价类“相加”（即进行+运算）能否得到唯一的等价类，还不明确，因为同一等价类可以有多个代表元素，它们相加后可能有多个结果，对应的等价类也可能有多种结果。
幸运的是，+的运算结果是唯一的（这是Z/～能走入密码学的基础），请见下面
定理：+是Z/～上的代数运算
证明：设A、B是等价类，i、j是A的代表元素，s、t是B的代表元素，故i～j，s～t，根据～的定义，i－j＝k*n，s－t＝l*n（其中k、l∈Z，n是模－－还记得吗，～必须与某一个自然数n相关联），两式相加，得(i+s)－(j+t)＝(k+l)*n，这正是[i]+[s]=[j]+[t]
定理：对于元素A,B,C∈Z/～，有(A+B)+C=A+(B+C)－－左边等号表示A先加B，得到的结果再加C
证明：设A=[i]，B=[j]，C=[k]，则
(A+B)+C
=([i]+[j])+[k]
=[i+j]+[k]
=[i+j+k]
=[i]+[j+k]
=[i]+([j]+[k])
=A+(B+C)
说明：上述情况下，称“运算+是可结合的”，或“+满足结合律”。
定理：[0]是Z/～中的特殊元素，满足：[0]+[i]=[i]+[0]=[i]，其中i为Z/～中任意等价类的代表元素
证明：[0]+[i]=[0+i]=[i]=[i+0]=[i]+[0]
定理：对于任意元素A∈Z/～，都存在一个元素B∈Z/～，满足：A+B=[0]=B+A
证明：设A=[i]，很明显只要取B=[-i]就能够满足：A+B=[i+(-i)]=[0]=[(-i)+i]+B+A
[群]：对于集合G，给定G上的一个运算法则+，满足下列四个条件，则称(G,+)或G为一个群
1、G对运算+是封闭的，即对任意元素a、b∈G，有唯一确定的元素c∈G，满足c=a+b
2、G对运算+是可结合的，即对任意a、b、c∈G，满足a+(b+c)=(a+b)+c
3、G中有一元素e，对任意a∈G，满足a+e=e+a=a
4、对于任意a∈G，都有一个b∈G，满足a+b=b+a=e
说明：
1、条件3中的e称为单位元或恒等元，条件4中的b称为a的可逆元（或逆元），有时记为a-1
2、条件4成立的前提，是条件3中的单位元存在
3、单位元是相对具体运算而言，如果G中存在另外一个代数运算_，则“对于任意a，a_e=e_a=e”可能不成立，即e可以不是运算_的单位元。
4、再次强调，+只是运算法则的一个记号，我们完全可以用+、-、*来代替
根据上面的四个定理，Z/～对于运算+构成一个群。我们说，（Z/～，+）是一个群。或者在不引起混淆的情况下，省去+称Z/～是一个群。
此外，对于Z/～，运算+还满足另一个性质：对于任意A、B∈Z/～，A+B=B+A
证明：设A=[i]，B=[j]，则A+B=[i]+[j]=[i+j]=[j+i]=[j]+[i]=B+A
说明：上述情况下，称运算+是可交换的，或+满足交换律。称Z/～（相对运算+）是交换群，有时候又称为可换群。
Z/～作为一个群，其元素个数是有限的，故称为有限群。
说明：对于群Z/～，为了突出它与模n的关系，我们常简记为Zn。后面将一直使用这个记号，请注意。