数学基础（四）－－群的性质
声明：凡是在本系列中涉及到数学知识，我会尽量解释、证明其中的原理，但不会对所有论证细节进行推敲（此时通常都会推荐参考教科书）
因为我们的目标是快速掌握密码学的基本数学基础。之所以给出较为详尽的推导过程，主要是满足一些读者刨根问底的需要。
继续话题。
根据定义，群(G,+)的运算满足结合律：对于任意a、b、c∈G，a+(b+c)=(a+b)+c。这条性质有什么用呢？
先看一个例子，假设要将群G中的4个元素a,b,c,d用+先后串起来进行运算，有很多种运算次序，我们考虑其中的一类情况：
即4个元素相对的位置顺序不变，变化的只是运算的优先级，比如：
((a+b)+c)+d－－先计算a+b，得到的结果（可以看作是“a与b的和”）与c相加，得到的“和”再与d相加
a+((b+c)+d)－－先计算b+c，得到的和去加d，结果再与a相加（严格说a在前面，因为一般而言a+b不等于b+a）
((a+b)+(c+d))－－先分别计算a+b和c+d，再把得到的两个“和”相加
等等，有多种形式，那么以上这几个最终结果有什么关系吗？结合律告诉我们，这几个结果最终都是相等的。
换句话说，只要参与运算元素的位置不变，运算顺序就不会对运算结果有影响，此时重新排列表达式的括号并不会改变其值。
想知道为什么是这样，请参考标准的抽象代数教科书，一般都会给出证明（事实上利用数学归纳法就可以证明）。
有鉴于此，我们可以将运算中涉及的括号都去掉，比如将a+(b+c)或(a+b)+c记为a+b+c，将((a+b)+c)+d、a+((b+c)+d)或((a+b)+(c+d))记为a+b+c+d
因为不管在何处加括号，其最终运算结果都是相同的。
如果群的运算还满足交换律（Zn上的+运算就是个例子，可以由定义验证），则群中任意多个元素间的运算，随便打乱运算顺序和位置，最终结果都是一样的
举例验证：设a,b,c为交换群G的元素，则(c+b)+a=(b+c)+a=a+(b+c)=a+b+c, 而(b+a)+c=(a+b)+c=a+b+c，两个结果是相等的
群中的单位元，根据不同情况，可能会用e、1或0来表示。
但是应该注意：这里的1和0都是一个记号，只是表示它们具有群中单位元的性质（见群定义中的条件3和4），不要与阿拉伯数字1和0混淆，它们虽然符号一样，但含义不同。
群G中的单位元和某一元素(比如a)对应的逆元，是否可以有多个？可以证明，单位元和元素的逆元都是唯一的
这在某种程度上打消了我们的担心，因为如果有多个单位元或某一元素有多个逆元，则我们要用到它们的时候，取哪一个好呢？
我们已经知道，Zn={[0]，[1]……[n-1]}关于运算+(见前面对+的定义）构成群，该群的元素是等价类，比如元素[0]={……-2n,-n,0,n,2n……}
如何在计算机中表示群Zn的元素（即等价类）？由于每个等价类都包含无限个整数，而计算机的存储器（不管是内存还是外存）都是有限的
自然想到用等价类的某个代表元素来表示等价类，直觉告诉我们，选0，1，……，n-1分别代表[0]，[1]……[n-1]共n个等价类最为恰当
问题马上出来：这n个数之间是怎样运算的？注意到，它们之间不能像平常的加法一样运算，比如说，1和(n-1)如果按正常加法运算,结果等于n
但是n不在0，1，……，n-1之间，连运算的封闭性都不满足。
怎么办？还是回到原来对等价类[]加法+的定义，既然我们选的这n个数表示等价类，那它们也同样满足原来运算+的定义
原来：[i]+[j]≡[i+j]——i,j事先被限制在0,n-1之间
现在： i + j ≡多少？很明显，只要将i+j除以n，得到余数r就可以作为等价类的代表元素，证明如下
设i+j=k*n+r，则(i+j)-r=k*n，由定义，(i+j)～r，从而[i+j]=[r]，r又是余数，必然有0≤r＜n，这说明r正是我们要的那个数
结论：如果i,j作为计算机中的表示，用来代表Zn中的等价类，则等价类的运算，即i+j的结果是(i+j)除以n得到的余数，也称为模n的余数。
用公式来说，就是，对于0≤i,j＜n，i+j=(i+j)mod n——对于任意整数n，我们用i(mod n)来表示i模n的余数。有时候也用i%n来表示。
提到模n的余数，我们补充一点相关的性质，根据定义，如果[a]=[b]，[c]=[d]，则[a]+[c]=[a+c]=[b+d]=[b]+[d]
令a=b(mod n)，c=d(mod n)，则[b(mod n)+d(mod n)]=[b+d]，两边都是等价类
分别取范围在0,n-1之间的等价元，则有(b(mod n)+d(mod n))(mod n)=(b+d)(mod n)
这说明：求两个整数之和的模n的余数，可以先分别计算这两个整数模n的余数，然后把两个余数相加，再对相加的和取余数，就得到想要的结果。
以上步骤，看起来有点麻烦，但是如果b，d很大，则避免了大数的相加运算（代之以模运算，其运算效率有所提高），总的来说，还是划得来的。
稍后将看到，这在求两个大整数乘积的模运算时尤其有用。
最后再补充一点群的基础知识。
为什么要在群中引入逆元的概念，结论是：可以使用消去法
举例：设a*b=a*c，两边同乘以a的逆元，则可以同时消去a，最终得到b=c
[子群]：(G,*)是群, I是G的非空子集, 如果I关于G的运算*构成群, 则称I为G的子群, 记作I≤G
(1) *在I上运算封闭
(2) *在I上结合律成立(由于*在G上结合律成立, 此条件自然成立)
(3) I中存在单位元1
(4) I中逆运算封闭，即I中任一元素都有逆元素在I中
可以证明，如果I是G的子群，则I的单位元1就是G的单位元
设a∈有限群(G,*)，我们分别计算a*a（平方运算，简记为a2）、a*a*a（立方运算，记为a3）、a*a*a*a（四次方a4）……，一直计算下去
根据抽屉原理（又称鸽笼原理），必然存在正整数m,n（假设m＞n)满足am=an，消去an，得am-n=1，我们把满足am=1的最小正整数m称为元素a的阶
用|a|表示。同样，称有限群G中的元素个数为群G的阶，用|G|表示。
关于有限群的阶与元素的阶，有以下性质
定理：设|a|=m，则对于任意正整数n，an=1←→m|n
定理：G中任一元素的阶整除|G|
定理：G为有限交换群，G中元素的最大阶=n，则G中任一元素的阶整除n