[NOIP2016TG] 洛谷 P1850 换教室

https://www.luogu.org/problem/P1850

题意？太长懒得概括。

期望概述

期望，记为(E(x)),是对于若干个概率事件，结果与概率之积的总和。

期望的数学意义是：对于一个结果均匀分布的事件，期望是无数次实验结果的平均值。

对于非均匀分布的事件，期望反映平均取值的大小。

掷骰tou子结果的平均数为3.5，这类问题说明非均匀分布事件的期望值可能不等于任何一个结果。

（以上为个人理解，可能有误，欢迎指正）

分析

Floyd求最短路略。

首先明确，对于一个要换教室的集合，直接计算期望值是很难的。当然，可以枚举所有子集再计算，可是。。会TLE。所以考虑用递推（动态规划）的方式计算答案。

当前教室与之前教室都不换，答案为确定的距离，直接得出

(cost=dis[c[i-1]][c[i]])

在当前教室i选择更换的情况下，可能成功也可能失败，则期望值是

(cost=dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*k[i])

在前一个教室选择更换的情况下，相应地有

(cost=dis[c[i-1]][d[i]]*k[i]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]))

而如果前一个教室选择更换，也相应会有两种情况。由乘法原理可以得到四种情况，相加则是

(cost=dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i]))

(+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i])

(+dis[d[i-1]][c[i]]*(1-k[i])*k[i-1])

(+dis[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i])

我们根据当前节点是否选择，将上述代价分为两组。根据题意，还有两维：当前教室和已经更换的教室数目。即

(f[i][j][k](kin{0,1}))

表示第i个教室之前，更换了j个教室，是否更换第i个教室的最小期望代价。

综上所述，状态转移方程为

f[i][j][0]=min(f[i-1][j][1]+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1]),f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]])

f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]]*k[i]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]),f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*(1-k[i])*k[i-1]+dis[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i])
//如果阅读不方便请看上文的LATEX

代码

惯例：仍然是抄的

//注：本题的状态定义为浮点数，要注意数据类型的转换
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=2005,MAXV=305;
int n,m,v,e;
int c[MAXN],d[MAXN];
double ans=1e9,k[MAXN],f[MAXN][MAXN][2],dis[MAXV][MAXV];//dis为距离
int x,y,z;
int main()
{
	
	scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&v,&e);
	for(int i=1;i<=v;i++)
		for(int j=1;j<=v;j++)
			dis[i][j]=1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&d[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf",&k[i]);
	for(int i=1;i<=e;i++)
	{
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
		dis[y][x]=min(dis[y][x],(double)z);
		dis[x][y]=min(dis[x][y],(double)z);//处理重边
	}
	
	for(int i=1;i<=v;i++)
		dis[i][i]=0;//处理自环
	for(int t=1;t<=v;t++)
		for(int i=1;i<=v;i++)
			for(int j=1;j<i;j++)
				if(dis[i][t]+dis[t][j]<dis[i][j])
					dis[i][j]=dis[j][i]=dis[i][t]+dis[t][j];//Floyd
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
			f[i][j][1]=f[i][j][0]=1e9;
	f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;//初始化
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m&&j<=i;j++)
		{
			f[i][j][0]=min(f[i-1][j][1]+dis[d[i-1]][c[i]]*k[i-1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1]),f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]);
			if(j)
			f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]]*k[i]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i]),f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-k[i-1])*(1-k[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-k[i-1])*k[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*(1-k[i])*k[i-1]+dis[d[i-1]][d[i]]*k[i-1]*k[i]);
            //状态转移
		}
	for(int i=0;i<=m;i++)
		ans=min(min(ans,f[n][i][1]),f[n][i][0]);//答案更换的教室数目不确定
	printf("%.2lf",ans);
	return 0;
}

最后，祝大家身体健康，再见。