离散卷积与自相关信号处理系列[原创]

一、  定义

离散信号f(n),g(n)的定义如下：

N-----为信号f(n)的长度

s(n)----为卷积结果序列,长度为len(f(n))+len(g(n))-1

例：

f(n) = [1 2 3]; g(n) = [2 3 1];

s(0) = f(0)g(0-0) + f(1)g(0-1)+f(2)g(0-2)

= 1*2 + 2*0 + 3*0 =2

s(1) = f(0)g(1-0) + f(1)g(1-1) + f(2)g(1-2)

   = 1*3 + 2*2 + 3*0 = 7

s(2) = f(0)g(2-0) + f(1)g(2-1) + f(2)g(2-2)

=1*1 + 2*3 + 3*2=13

s(3) = f(0)g(3-0) + f(1)g(3-1) + f(2)g(3-2)

=1*0 + 2*1 + 3*3=11

s(4) = f(0)g(4-0) + f(1)g(4-1) + f(2)g(4-2)

=1*0 + 2*0 + 3*1=3

最终结果为:

     s(n) = [2 7 13 11 3]

上述计算图示如下：

在数学里我们知道f(-x)的图像是f(x)对y轴的反转

     g(-m)就是把g(m)的序列反转，g(n-m)的意义是把g(-m)平移的n点：

如上图g(m)在信号处理中通常叫做滤波器或掩码，卷积相当于掩码g(m)反转后在信号f(n)上平移求和。Matlab计算卷积的函数为conv,

>> A = [1 2 3];

B = [2,3,1];

convD = conv(A,B)

convD =

     2     7    13    11     3

相应的二维卷积定义如下：

二、     离散自相关

有了卷积的概念相关的定义跟卷积相似，离散信息f(n)的自相关用下式定义

R(n) = f(n)*f(-n);

容易看出自相关函数有如下性质：

1. R(n)=R(-n);
2. n=0时，R(0)为信号的能量

     

    

      3.R(0)为自相关函数的最大值

三、     卷积应用

图像的边缘检测，我们先看一个掩码Sobel算子，分小平方向(x轴)和垂直方向(y轴)两种：

一、     卷积应用

图像的边缘检测，我们先看一个掩码Sobel算子，分小平方向(x轴)和垂直方向(y轴)两种：

f(n,m)跟Gx卷积结果是什么呢？f(n,m)*Gx=?

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