Normal Equations

Normal Equations 的由来

假设我们有m个样本。特征向量的维度为n。因此，可知样本为{(x⁽¹⁾,y⁽¹⁾), (x⁽²⁾,y⁽²⁾),... ..., (x^(m),y^(m))},其中对于每一个样本中的x⁽ⁱ⁾,都有x⁽ⁱ⁾={x₁⁽ⁱ⁾, x_n⁽ⁱ⁾,... ...,x_n⁽ⁱ⁾}。令 H(θ)=θ₀ + θ₁x₁ +θ₂x₂ +... + θ_nx_n，则有

若希望H(θ)=Y，则有

X · θ = Y

我们先来回忆一下两个概念：单位矩阵 和 矩阵的逆，看看它们有什么性质。

（1）单位矩阵E

AE=EA=A

（2）矩阵的逆A^-1

要求：A必须为方阵

性质：AA^-1=A^-1A=E

再来看看式子 X · θ = Y

若想求出θ，那么我们需要做一些转换：

step1：先把θ左边的矩阵变成一个方阵。通过乘以X^T可以实现，则有

X^TX · θ = X^TY

step2：把θ左边的部分变成一个单位矩阵，这样就可以让它消失于无形了……

(X^TX)^-1(X^TX) · θ = (X^TX)^-1X^TY

step3：由于(X^TX)^-1(X^TX) = E，因此式子变为

Eθ = (X^TX)^-1X^TY

E可以去掉，因此得到

θ = (X^TX)^-1X^TY

这就是我们所说的Normal Equation了。

Normal Equation VS Gradient Descent

Normal Equation 跟 Gradient Descent（梯度下降）一样，可以用来求权重向量θ。但它与Gradient Descent相比，既有优势也有劣势。

优势：

Normal Equation可以不在意x特征的scale。比如，有特征向量X={x₁, x₂}, 其中x₁的range为1~2000，而x₂的range为1~4，可以看到它们的范围相差了500倍。如果使用Gradient Descent方法的话，会导致椭圆变得很窄很长，而出现梯度下降困难，甚至无法下降梯度（因为导数乘上步长后可能会冲出椭圆的外面）。但是，如果用Normal Equation方法的话，就不用担心这个问题了。因为它是纯粹的矩阵算法。

劣势：

相比于Gradient Descent，Normal Equation需要大量的矩阵运算，特别是求矩阵的逆。在矩阵很大的情况下，会大大增加计算复杂性以及对计算机内存容量的要求。

什么情况下会出现Normal Equation，该如何应对？

（1）当特征向量的维度过多时（如，m <= n 时）

 解决方法：① 使用regularization方式

　　　　　or ②delete一些特征维度

（2）有redundant features（也称为linearly dependent feature）

例如，　x₁= size in feet²

　　　　x₂ = size in m²

　　　　feet和m的换算为 1m≈3.28feet所以，x₁ ≈ 3.28² * x₂, 因此x₁和x₂是线性相关的（也可以说x₁和x₂之间有一个是冗余的）

解决方法：找出冗余的特征维度，删除之。

练习

练习的介绍页面见Ng的openclassroom  Exercise: Multivariate Linear Regression

下载页面上的数据，然后载入matlab中。

y(i)表示价格，x(i)表示房屋面积和房间数：

样本数m=47。

step1：对数据进行预处理

给每一个x向量，都增加一个x₀=1的分量。

m = 47;
x=[ones(m,1),ex3x];

查看x矩阵：

step2：带入normal equation公式θ = (X^TX)^-1X^TY，求解权重向量。

 y=ex3y;
 theta = inv(x'*x)*x'*y;

求得θ向量为

如果我想预计“1650-square-foot house with 3 bedrooms”的价格，那么由X * θ = Y可知：

price = [1,1650,3]* theta ;

我们取消matlab中的科学计数法，看看price的价格是多少：

>> format long g
>> price

price =  293081.464334897

我们在给出的样本中，找一个接近的样本比比看：

23号样本的房屋面积为1604，房间数也为3，它的价格为

我们可以尝试画出H(θ)函数的图像看看：

先分别用min和max函数找出房屋面积（x1）和房间个数（x2）的最大和最小值，有

x1∈[852,4478]

x2∈[1,5]

x1=linspace(852,4478,47);
x2=linspace(1,5,47);
[xx1,xx2]=meshgrid(x1,x2);
h_theta = theta(1)*ones(47,47) + theta(2)*xx1 + theta(3)*xx2;
surf(xx1,xx2,h_theta);

可以看到H(θ)为如下平面：