整数划分问题

整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

    n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

例如但n=4时，他有5个划分，

4=4，

4=3+1，

4=2+1+1，4=2+2,

4=1+1+1+1。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

1.递归法：

   根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

   (1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

   (2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

      (a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

      (b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分(f(n,n-1))。

      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

   (4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);

   (5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

       (a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这情况下

          为f(n-m,m)

       (b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);

      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

      综上所述：

                             f(n, m)=   1;              (n=1 , m=1)

               f(n,m)   =    f(n, n);                   (n<m)

                             1+ f(n, m-1);              (n=m)

                             f(n-m,m)+f(n,m-1);         (n>m>1)

java实现：

public class DivideInteger {
    
    public static int f(int n,int m){
        if(n<1||m<1) return 0;
        if(n==1||m==1) return 1;
        if(n<m) return f(n,n);
        if(n==m) return 1+f(n,n-1);
        return f(n-m,m)+f(n,m-1);
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(f(6,6));
    }
    
}