[xdoj1158]阶乘求逆元(常用于求组合数)

http://acm.xidian.edu.cn/problem.php?id=1158

 解题关键：此题注意将$sumlimits_{i = 0}^x {C_x^iC_y^{i + k}}$转化为$C_{x + y}^{x + k}$

利用二项式定理，

一方面，

${(1 + a)^y}{(1 + frac{1}{a})^x}$的${a^k}$项的系数，第一个二项式的${a^j}$的系数$C_y^j$，第二个二项式的${a^{ - i}}$系数为$C_x^i$，令$j - i = k$，$j = i + k$，即$sumlimits_{i = 0}^x {C_x^iC_y^{i + k}}$

另一方面，

${(1 + a)^y}{(1 + frac{1}{a})^x} = {(1 + a)^{x + y}}{a^{ - x}}$,此时${a^k}$项的系数为$C_{x + y}^{x + k}$，得证。

1、打表

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long  ll;
const ll mod=1e9+7;
ll x,y,k;
ll fac[2000005],inv[2000005];

ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
    ll res=1;
    while(n){
        if(n&1) res=res*x%mod;
        n>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return res;
}

ll Inv(ll x){
    return mod_pow(x,mod-2,mod);
}

int main(){
    fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=2000000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;//预处理一下，阶乘 
    inv[2000000]=mod_pow(fac[2000000],mod-2,mod);//Fac[N]^{MOD-2}
    for(int i=2000000-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    
    
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k)){
        if(y==k)  printf("1
");
        else if(y<k)  printf("0
");
      //  else   printf("%lld
",fac[x+y]*inv(fac[x+k])%mod*inv(fac[y-k])%mod);
      else printf("%lld
",(fac[x+y]%mod*inv[x+k]%mod*inv[y-k]%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

2、打表+逆元实现

为什么是$n{!^{mod  - 2}}$

$n{!^{p - 2}}*n! = n{!^{p - 1}} = 1mod { m{ p;}}$(费马小定理)p为质数，此题中即为mod

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long  ll;
const ll mod=1e9+7;
ll x,y,k;
ll fac[2000005],inv[2000005];

ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
    ll res=1;
    while(n){
        if(n&1) res=res*x%mod;
        n>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return res;
}

ll Inv(ll x){
    return mod_pow(x,mod-2,mod);
}

int main(){
    fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=2000000;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;//预处理一下，阶乘 
    //inv[2000000]=mod_pow(fac[2000000],mod-2,mod);//Fac[N]^{MOD-2}
    //for(int i=2000000-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    
    
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&k)){
        if(y==k)  printf("1
");
        else if(y<k)  printf("0
");
        else   printf("%lld
",fac[x+y]*Inv(fac[x+k])%mod*Inv(fac[y-k])%mod);
      //else printf("%lld
",(fac[x+y]%mod*inv[x+k]%mod*inv[y-k]%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}