[cf839d]Winter is here容斥原理

题意：给定一个数列${a_i}$，若子序列长度为$k$，最大公约数为$gcd$，定义子序列的权值为$k*gcd (gcd  > 1)$。求所有子序列的权值和。 答案对10^9+7取模。

解题关键：容斥原理求序列中各$gcd$的个数，亦可用莫比乌斯函数。

逆序求的话，前面直接减后面的个数，在后面一项就相当于相加了，如此往复。

关于知道所有$gcd$为$n$的个数之后答案的求法：

法一：

$egin{array}{l}
1C_n^1 + 2C_n^2 + ... + nC_n^n\
= n(C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1})\
= n{2^{n - 1}}
end{array}$

法二：

$egin{array}{l}
[{(x + 1)^n}]' = n{(x + 1)^{n - 1}}\
{(x + 1)^n} = sumlimits_{i = 1}^n {C_n^i{x^i}} \
n{(x + 1)^{n - 1}} = sumlimits_{i = 1}^n {C_n^ii{x^{i - 1}}}
end{array}$

法三：逆序相加

容斥解法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
#define inf 0x3f3f3f3f
ll c[1000004],pw[1000007],sum[1000007];
int main(){
    ll n,x,mx=-inf;
    cin>>n;
    pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n+3;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>x,c[x]++,mx=max(mx,x);//hash一下 
    ll ct;
    ll ans=0;
    for(int i=mx;i>1;i--){
        ct=0;
        for(int j=i;j<=mx;j+=i){
            ct=(ct+c[j])%mod;
            sum[i]-=sum[j];
        }
        sum[i]=(sum[i]+ct*pw[ct-1]%mod+mod)%mod; 
        ans=(ans+sum[i]*i%mod+mod)%mod;
    }
    cout<<ans<<"
";
    return 0;
}

 莫比乌斯反演解法：

#include<bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll mu[1000020],c[1000060],cnt[1000050],pw[1000050],g[1000050];
void sievemu(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
            mu[j]-=mu[i];
        }
    }
}

int main(){
    sievemu(1000005);
    ll n,x,mx=-inf;
    cin>>n;
    pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*2%mod;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>x,c[x]++,mx=max(mx,x);
    for(int i=2;i<=mx;i++){
        ll ss=0;
        for(int j=i;j<=mx;j+=i){
            ss+=c[j];
        }
        if(ss) cnt[i]=ss*pw[ss-1]%mod;
    }
    //计算gcd倍数的个数
     
    //对答案进行莫比乌斯反演 
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<=mx;i++){
        for(int j=i;j<=mx;j+=i){
            g[i]=(g[i]+cnt[j]*mu[j/i]%mod+mod)%mod;
        }
        ans=(ans+i*g[i]%mod+mod)%mod;
    }
    cout<<ans<<"
";
    return 0;
}