[poj2891]Strange Way to Express Integers(扩展中国剩余定理)

题意：求解一般模线性同余方程组

解题关键:扩展中国剩余定理求解。两两求解。

$left{ {egin{array}{*{20}{l}}
{x = {r_1}\,mod \,{m_1}}\
{x = {r_2}\,mod \,{m_2}}
end{array}} ight.$

为了代码的符号清晰，将转化后的系数都为正，故如下设方程。

$left{ {egin{array}{*{20}{l}}
{x = {r_1} - {k_1}{m_1}}\
{x = {r_2} + {k_2}{m_2}}
end{array}} ight.$

${r_1} - {r_2} = {k_2}{m_2} + {k_1}{m_1}$

以上其实是另一个模线性同余方程组。

考虑$ax + by = c$

由模线性同余方程的存在定理：$gcd (a,b)|c$

$egin{array}{l}
frac{a}{{gcd (a,b)}}x + frac{b}{{gcd (a,b)}} = frac{c}{{gcd (a,b)}}\
x equiv {(frac{a}{{gcd (a,b)}})^{ - 1}}frac{c}{{gcd (a,b)}}mod (frac{b}{{gcd (a,b)}})
end{array}$

 回归原式：

$x$即为${k_1}$

推出原式中的$x$

$x = {r_1} - {k_1}{m_1} = {r_1} - {m_1}{(frac{{{m_1}}}{{gcd ({m_1},{m_2})}})^{ - 1}}frac{{{r_2} - {r_1}}}{{gcd ({m_1},{m_2})}}mod frac{{{m_1}{m_2}}}{{gcd ({m_1},{m_2})}}$

一般化这个结论，模数即为lcm，可直接记住

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,y,r[20002],m[20002],n;
ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    ll d=a;
    if(b)   d=extgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
    else  x=1,y=0;
    return d;
}
ll excrt(int n,ll *m,ll *r){
    ll M=m[0],pre=r[0],d;//a是模数 
    for(int i=1;i<n;i++){
        d=extgcd(M,m[i],x,y);
        if((pre-r[i])%d!=0) return -1;
        x=(pre-r[i])/d*x%m[i];
        pre-=x*M;
        M=M/d*m[i];//lcm 
        pre%=M;
    }
    return (pre%M+M)%M;
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    while(cin>>n){
        for(int i=0;i<n;i++) cin>>m[i]>>r[i];
        ll ans=excrt(n,m,r);
        printf("%lld
",ans);
    } 
}