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  • 约瑟夫环

    关于约瑟夫环问题,无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。


    为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
    问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

    我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
      k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
    现在我们把他们的编号做一下转换:

    k     --> 0
    k+1   --> 1
    k+2   --> 2
    ...
    ...
    k-2   --> n-2
    k-1   --> n-1

    解x'    ----> 解为x
    注意<x’就是最终的解>

    变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n

    如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!下面举例说明:
     
    假设现在是6个人(编号从0到5)报数,报到(2-1)的退出,即<m=2>。那么第一次编号为1的人退出圈子,从他之后的人开始算起,序列变为2,3,4,5,0,即问题变成了这5个人报数的问题,将序号做一下转换:
    2 -->0
    3 -->1
    4 -->2
    5 -->3
    0 -->4
    现在假设x为0,1,2,3,4的解,x'设为那么原问题的解(这里注意,2,3,4,5,0的解就是0,1,2,3,4,5的解,因为1出去了,结果还是一个),根据观察发现,x与x'关系为x'=(x+m)%n,因此只要求出x,就可以求x'。x怎么求出呢?继续推导吧。0,1,2,3,4,,同样是第二个1出列,变为(2,3,4,0),转换下为
    2 -->0
    3 -->1
    4 -->2
    0 -->3
    很简单,同样的道理,公式又出来了,x=(x''+m)%5,这里变成5了。即求n-1个人的问题就是找出n-2的人的解,n-2就是要找出n-3,等等
    因此,就可以回去看上面的推导过程了。
     
    好了,思路出来了,下面写递推公式:
    令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

    递推公式
    f[1]=0;
    f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

    有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
    由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:

    复制代码
     1 #include <stdio.h>
     2 int main()
     3 {
     4     int n, m, i, s = 0;
     5     printf ("N M = ");
     6     scanf("%d%d"&n, &m);
     7     for (i = 2; i <= n; i++)
     8     {
     9         s = (s + m) % i;
    10     }
    11     printf (" The winner is %d ", s+1);
    12 }
    复制代码
    这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

    相比之下,解法二的优越性不言而喻,同时说明数学确实很重要。

    在问题的基础上再演变一下,如果是n 个人(编号 1...n),先去掉第 m 个数,然后从 m+1 个开始报 1,报到 k 的退出,剩下的人继续从 1 开始报数.求胜利者的编号.  

     

    这样的话,其实和原题基本解法是一样的,把去掉第m个数之后第m+1个数看成第一个就可以了,所以需要转换一下,于是程序为:

    int main(void){

        int  n, k, m;

        while( scanf("%d%d%d", &n, &k, &m), n || k || m ){

       int  i, d, s=0;

            for( i=2; i <= n; ++i ) s = (s+k)%i;

            k = k%n; if( k == 0 ) k=n;

            d = (s+1) + (m-k);//首先去掉的m可以看成是从m-k+1(较1偏移为m-k)开始报数

            if( d >= 1 && d <= n ) printf("%d ", d);

            else if( d < 1 ) printf("%d ", n+d);

            else if( d > n ) printf("%d ", d%n);

        }

        return 0;

    }

    转载于:http://blog.163.com/soonhuisky@126/blog/static/157591739201321341221179/

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/emptyCoder/p/6285893.html
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