GBDT (Gradient Boosting Decision Tree)属于集成学习中的Boosting流派,迭代地训练基学习器 (base learner),当前基学习器依赖于上一轮基学习器的学习结果。 不同于AdaBoost自适应地调整样本的权值分布,GBDT是通过不断地拟合残差 (residual)来“纠错”基学习器的。
1. Gradient Boosting
Gradient Boosting Machine (GBM) 是由大牛Friedman [1,2] 提出来,基本思想非常简单:基学习器存在着分类/回归错误的情况,在下一轮基学习器学习时努力地纠正这个错误。在回归问题中,这个错误被称为残差。比如,在学习样本((x, y))得到一个模型(f),预测值为(hat{y} = f(x));那么残差则为:
如果定义损失函数为平方损失(frac{1}{2}(y-f(x))^2),那么其梯度为
可以发现:残差为负梯度方向。对于平方损失,每一步优化是很简单的;但是,对于其他损失函数呢?Friedman利用负梯度近似残差,将Gradient Boosting推广到一般损失函数(L(y, x))。步骤如下:
(1) 计算伪残差 (pseudo-residual),
(2) 基学习器(h_m(x))拟合样本({ (x_i, r_{im}) });
(3) 计算最优乘子 (multiplier) (gamma_m),使得
(4) 更新模型
egin{equation}
f_m(x) = f_{m-1}(x) + gamma_m h_m(x)
label{eq:update}
end{equation}
如此迭代,直至结束或模型收敛;最后一步得到的模型(f_M(x))即为GBM的最终模型。
2. GBDT
如果基学习器为决策树时,GBM则被称为GBDT。决策树本质上是对特征空间的划分({ R_{jm} }),因此基学习器(h_m(x))可改写为
其中,(b_{jm})为预测值,(I(.))为指示函数。那么,式子eqref{eq:update}可以改写为
GBDT的算法步骤如下图所示(图片来自于 ESL [3]):
为了减小过拟合,通过Shrinkage的方式:
其中,(upsilon)称之为学习率 (learning rate)。经验表明:当学习率(upsilon < 0.1)时,泛化能力远远超过没有Shrinkage的模型(即(upsilon =1))。但是,低学习率同时也带来了更多的迭代次数。
sklearn包GradientBoostingRegressor实现了回归GBDT(分类用GradientBoostingClassifier),参数如下
loss: 损失函数,默认为平方损失ls
learning_rate: 学习率
n_estimators: 基学习器数目
max_depth: 决策树的最大深度
max_features: 最多特征数
3. 参考资料
[1] Friedman, Jerome H. "Greedy function approximation: a gradient boosting machine." Annals of statistics (2001): 1189-1232.
[2] Friedman, Jerome H. "Stochastic gradient boosting." Computational Statistics & Data Analysis 38.4 (2002): 367-378.
[3] Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome H. Friedman. The elements of statistical learning. Springer, Berlin: Springer series in statistics, 2009.
[4] Cheng Li, A Gentle Introduction to Gradient Boosting.