JOI 2018 Final 题解

题目列表：https://loj.ac/problems/search?keyword=JOI+2018+Final

T1 寒冬暖炉

贪心

暴力考虑每相邻两个人之间的间隔，从小到大选取即可

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
const int maxd=1000000007,N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long ll;
int n,k,a[100100],x[100100];

int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return x*f;
}

bool cmp(int x,int y)
{
	return x>y;
}

int main()
{
	n=read();k=read();
	int i;
	for (i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	if (k>=n) {printf("%d",n);return 0;}
	for (i=1;i<n;i++) x[i]=(a[i+1]-a[i]-1);
	sort(x+1,x+n);
	int ans=n;
	for (i=1;i<=n-k;i++) ans+=x[i];
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

T2 美术展览

贪心

在确定了(A_{min})和(A_{max})之后，我们显然会选取它们中间的所有数

将所有的美术品按照(A)为主关键字排序

将原式改为前缀和的形式

[S-(A_{max}-A_{min})=S_r-S_{l-1}-Ar+A_l=(S_r-A_r)+(A_l-S_{l-1}) ]

枚举(r)，同时维护(A_l-S_{l-1})的最大值即可

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
const int maxd=1000000007,N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long ll;
struct node{
	ll a,b;
}x[500100];
int n;

bool operator <(node p,node q)
{
	return p.a<q.a;
}

ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return x*f;
}

int main()
{
	int i;
	n=read();
	for (i=1;i<=n;i++) {x[i].a=read();x[i].b=read();}
	sort(x+1,x+1+n);
	ll sum=0,pre=0,ans=0;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		pre=max(pre,-sum+x[i].a);
		sum+=x[i].b;
		ans=max(ans,pre+sum-x[i].a);
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

T3 团子制作

dp

我们考虑在团子的中心点统计答案

由于中心点不在同一条对角线上的团子不可能重合，于是按照对角线dp

每一次考虑当前的团子是不放/横放/竖放

你看这个dp连数组都不用开

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
const int maxd=1000000007,N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long ll;
int n,m;
char s[3010][3010];

int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return x*f;
}

int getr(int x,int y)
{
	if (y-2<=0) return 0;
	//cout << "now: " << x << " " << y << endl;
	return ((s[x][y-1]=='R') && (s[x][y]=='G') && (s[x][y+1]=='W'));
}

int getC(int x,int y)
{
	if (x-2<=0) return 0;
	return ((s[x-1][y]=='R') && (s[x][y]=='G') && (s[x+1][y]=='W'));
}

int main()
{
	n=read();m=read();
	int i,j,k,ans=0;
	for (i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
	for (k=2;k<=n+m;k++)
	{
		int nx=min(k-1,n),ny=k-nx;
		int pre0=0,pre1=0,pre2=0;
		while ((nx>=1) && (ny<=m))
		{
			//cout << nx << " " << ny << endl;
			int r=getr(nx,ny),c=getC(nx,ny);
			int tmp=pre0;
			//cout << r << " " << c <<endl;
			pre0=max(pre0,max(pre1,pre2));
			if (r) pre1=max(tmp,pre1)+1;
			if (c) pre2=max(tmp,pre2)+1;
			//cout << pre0 << " " << pre1 << " " << pre2 << endl; 
			nx--;ny++;
		}
		//cout << endl;
		ans+=max(max(pre0,pre1),pre2);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

T4 月票购买

图论+DAG dp

贪心的考虑，(s->t)和(u->v)的路径如果要重合的话就一定会重合连续的一段

我们将(s->t)的所有最短路径拎出来并且按照(s->t)的方向定向，那么这一定是一个DAG

我们假设两条路径重合的是(x->y)，那么我们就是求(dis(u,x)+dis(y,v))的最小值

直接在DAG上跑即可，类似于tree dp

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll maxd=(ll)1e18+7,N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
struct node{
	int to,nxt,cost;
}sq[400400];

struct heapnode{
	int u;ll dis;
};
bool operator <(const heapnode &p,const heapnode &q)
{
	return p.dis>q.dis;
}
priority_queue<heapnode> q;
int n,m,s,t,from,to,all=0,head[100100];
ll dis_s[100100],dis_t[100100],dis_u[100100],dis_v[100100],
   mind_u[100100],mind_v[100100];
bool vis[100100];

int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return x*f;
}

void add(int u,int v,int w)
{
	all++;sq[all].to=v;sq[all].cost=w;sq[all].nxt=head[u];head[u]=all;
}

void dijkstra(int s,ll *dis)
{
	int i;
	for (i=1;i<=n;i++) dis[i]=maxd;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	dis[s]=0;q.push((heapnode){s,0});
	while (!q.empty())
	{
		heapnode now=q.top();q.pop();
		if (vis[now.u]) continue;
		vis[now.u]=1;int u=now.u;
		for (i=head[u];i;i=sq[i].nxt)
		{
			int v=sq[i].to;
			if (dis[v]>dis[u]+sq[i].cost)
			{
				//cout << v << " ";
				dis[v]=dis[u]+sq[i].cost;
				q.push((heapnode){v,dis[v]});
			}
		}
	}
}

void init()
{
	n=read();m=read();
	s=read();t=read();from=read();to=read();
	int i;
	for (i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		add(u,v,w);add(v,u,w);
	}
	dijkstra(s,dis_s);
	dijkstra(t,dis_t);
	dijkstra(from,dis_u);
	dijkstra(to,dis_v);
	//for (i=1;i<=n;i++) cout << dis_v[i] << " ";cout << endl; 
}

void dfs(int u)
{
	vis[u]=1;
	int i;
	mind_u[u]=dis_u[u];
	mind_v[u]=dis_v[u];
	for (i=head[u];i;i=sq[i].nxt)
	{
		int v=sq[i].to;
		if (dis_s[u]+dis_t[v]+sq[i].cost==dis_s[t])
		{
			if (!vis[v]) dfs(v);
			if (mind_u[u]+mind_v[u]>min(mind_u[v],dis_u[u])+min(mind_v[v],dis_v[u]))
			{
				mind_u[u]=min(mind_u[v],dis_u[u]);
				mind_v[u]=min(mind_v[v],dis_v[u]);
			}
		}
	}
}

void work()
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	dfs(s);
	printf("%lld",min(dis_u[to],mind_u[s]+mind_v[s]));
}

signed main()
{
	init();
	work();
	return 0;
}

T5 毒蛇越狱

最暴力的想法就是枚举？的取值，时间复杂度(O(2^{cnt_?}))，明显爆炸

然后发现可以对所有0的位置或所有1的位置进行容斥，时间复杂度(O(2^{cnt_0}))或(O(2^{cnt_1}))，依然无法保证

然后我们注意到(Lleq 20)

由于抽屉原理我们知道(min(cnt_?,cnt_0,cnt_1)leq 6)

于是复杂度瞬间有了保证

具体容斥过程可以看程序头部的注释

//sum[0][i]表示当i中的1恒定为1，剩下的位可0可1时的w之和 
//sum[1][i]表示当i中的0恒定为0，剩下的位可0可1时的w之和
//考虑容斥
//当0的个数小于6时，总数为sum[0][p1],但是这样的话某些该为0的位上就是1，枚举p0子集，依照0变为1的个数容斥 
//当1的个数小于6时，总数为sum[1][p2|p1]，但是这样的话某些该为1的位上就是0，枚举p1子集，依照当前状态与p1的差容斥 
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
const int maxd=1000000007,N=100000;
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long ll;
int l,q,n,cnt[1100000],sum[2][1100000],w[1100000];
char s[1100000];

int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
	return x*f;
}

int main()
{
	//freopen("a.in","r",stdin);
	//freopen("a.out","w",stdout);
	l=read();q=read();
	memset(sum,0,sizeof(sum));
	scanf("%s",s);n=(1<<l);
	int i,j;
	for (i=0;i<n;i++)
	{
		w[i]=s[i]-'0';sum[0][i]=w[i];sum[1][i]=w[i];
	}
	for (i=0;i<l;i++)
	{
		for (j=0;j<n;j++)
		{
			if (j&(1<<i)) {sum[0][j^(1<<i)]+=sum[0][j];sum[1][j]+=sum[1][j^(1<<i)];}
		}
	}
	for (i=1;i<n;i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	while (q--)
	{
		scanf("%s",s);
		int p0=0,p1=0,p2=0;
		for (i=0;i<l;i++)
		{
			if (s[l-i-1]=='0') p0+=(1<<i);
			else if (s[l-i-1]=='1') p1+=(1<<i);
			else p2+=(1<<i);
		}
		//cout << p0 << " " << p1 << " " << p2 << endl;
		ll ans=0;
		if (cnt[p0]<=6)
		{	
			for (i=p0;;i=(i-1)&p0)
			{
				if (cnt[i]&1) ans-=sum[0][i|p1];
				else ans+=sum[0][i|p1];
				if (!i) break;
			}
		}
		else if (cnt[p1]<=6)
		{
			for (i=p1;;i=(i-1)&p1)
			{
				if (cnt[i^p1]&1) ans-=sum[1][i|p2];
				else ans+=sum[1][i|p2];
				if (!i) break;
			}
		}
		else if (cnt[p2]<=6)
		{
			for (i=p2;;i=(i-1)&p2)
			{
				ans+=w[i|p1];
				if (!i) break;
			}
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}