Catalan数
前10项
(1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862)
（注：从第(0)项起）
计算式
- (C_n=frac{1}{n+1}dbinom{2n}{n})
- (C_{n+1}=sum_{i=0}^nC_iC_{n-i})
- (C_n=dbinom{2n}{n}-dbinom{2n}{n-1})
- (C_n=frac{4n-2}{n+1}C_{n-1})
组合意义
1、由(n)个(+1)和(n)个(-1)构成的(2n)项序列中，满足(forall kin[1,2n],sum_{i=1}^ka_igeq 0)的序列数量
大家都知道结论：(C_n=frac{1}{n+1}dbinom{2n}{n})，在这里给出证明
考虑从相反的方面进行考虑，即用总序列数(dbinom{2n}{n})减去不合法的序列数
对于每一个不合法的序列，必定存在一个最小的(k)使得(sum_{i=1}^k a_i<0)，也就是有(sum_{i=0}^{k-1}a_i=0)且(a_k=-1)
很明显(k)是奇数
考虑将前(k)项取相反数，那么该序列变成了一个含有(n+1)个(+1)和(n-1)个(-1)的序列，容易知道一个不合法的原序列只会对应一个新序列
同理，在新序列中一定会存在一个(k)使得(sum_{i=0}^ka_i=1)，此时再一次取前(k)项的相反数，又会得到一个不合法的原序列
因此不合法的序列和新序列是一一映射的关系，而新序列的总数也就是(dbinom{2n}{n-1})
于是最终答案就是(dbinom{2n}{n}-dbinom{2n}{n-1}=frac{1}{n+1}dbinom{2n}{n})
由这一条组合意义可以引申出许多本质一样的组合意义
- 在网格图上从((0,0))走到((n,n))，每次只走一个单位长度，不走回头路，且不穿过（可碰到）直线(y=x)的方案数。（向右：(+1)，向上：(-1)）
- (2n)个人排队买票，票价5角，有(n)个人持有1元硬币，另(n)个人持有(5)角硬币，求不使用额外的(5)角钱的排队方案（(5)角：(+1)，(1)元：(-1)）
2、凸(n+1)边形被其内部不相交的对角线划分成三角形区域的方案数
这是上面的第二个式子(C_{n+1}=sum_{i=0}^nC_iC_{n-i})，我们有(f_n=sum_{i=2}^{n-1}f_if_{n-i-1})，故(f_n=C_{n+2})
类似的还有
- (n)个节点的不同的二叉树，考虑在中序遍历中根节点的位置即可
3、其它
本质上和第一点是相同的，关键是对偶数位置的转化