学霸”不只是不懂浪漫 (转)
最近流行一个段子叫《【学霸的爱情》：公车上，一对情侣卿卿我我，甜言蜜语。男：“亲爱的，我好爱你~” 女：“我也是！而且我的爱是你的两倍！” 男：“哇！那我就又是你的三倍呢！” 学霸：“哼。设男女爱意分别为x与y，方程y=2x，x=3y，求解得x=y=0。”
看来学霸童鞋一点也不懂浪漫，要么就是嫉妒人家秀恩爱，于是想让人家死得快。本学渣目测这个学霸会被情侣劈到异次元空间去^o^
除此之外，这位学霸还有知识结构上的缺陷。显然，上面的方程在实数域内只有解x=y=0，但这也就中学数学的水平。在计算机专业混了4年的本学渣表示，只要知道有限域，上面这个尴尬可立破。
什么是有限域呢？根据wikipedia的定义：包含有限个元素的域被称为有限域。那么，域又是什么呢？“在抽象代数中，域（Field）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。”域满足某些性质，比如加法、乘法的交换率、结合律，乘法对加法的结合律等。
好了，没人关心概念。还是看实战吧。根据有限域的定义易知，对自然数域以5取模（神马？不知道模运算？好吧，就是余数），结果是个有限域。把这个域记作GF(5)，那么GF(5)上的x+y就相当于自然数域N上的x+y mod 5，GF(5)上的x*y相当于N上的x*y mod 5……减法和除法是加法和乘法的逆运算。
回到这道题目，若x = 4，y = 3，那么2x = 8 mod 5 = 3，3y = 9 mod 5 = 4，于是妹纸的爱是汉纸的两倍，汉纸的爱是妹纸的三倍，小两口秀恩爱成功，学霸孤枕难眠。
有限域在密码学里有非常重要的应用。著名的RSA算法就用到了以素数为模的域GF(P)。对密码学感兴趣的童鞋请务必不要做这么可怜的学霸。
当然，抽象代数里的四则运算可以跟数域的四则运算完全不一样。比如在二进制多项式域GF(2^m)，其中的每个元素都是二进制多项式，其四则运算的定义也跟数域不一样，但同样满足域的性质。GF(P)和GF(2^m)都可以用于椭圆曲线加密算法。神马？你不知道椭圆曲线加密算法？微软从Windows XP开始的序列号就是用这种算法搞哒！
另外，有限域也被称为伽罗华域（Galois Filed，缩写GF，不是女朋友的意思哦），得名于英年早逝的著名二逼数学家伽罗华，说他二逼，是因为他21岁时死于决斗。