专题1.5

专题1.5 - 写个线段树板子

线段树什么功能就不需要多说了，这边主要是讲讲(lazy)标记的作用。

普通的线段树，修改的效率为(Omicron(nlog n))，查询效率为(Omicron(nlog n))，修改的效率甚至比直接修改还慢（当然直接修改就没法维护线段树了），那么怎么可以提高修改的效率？

这里需要引入(lazy)标记的概念，具体原理如下：

1.修改时，如果修改范围恰好为当前区间范围，停止向下搜索，打上(lazy)标记。

2.修改时，如果范围并非恰好，需要向下传递一次(lazy)标记。

3.查询时，优先向下传递(lazy)标记。

这边给出两个模板：

洛谷P3372

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define fast ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int maxn = 1e5 + 10;
int n, m;
ll tmp[maxn], a[4 * maxn], lazy[4 * maxn];
using namespace std;
void build(int o, int l, int r)
{
    if (l == r)
    {
        a[o] = tmp[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o;
    int rs = 2 * o + 1;
    build(ls, l, mid);
    build(rs, mid + 1, r);
    a[o] = a[ls] + a[rs];
}
void pushdown(int o, int l, int r)
{
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o, rs = 2 * o + 1;
    lazy[ls] += lazy[o];
    lazy[rs] += lazy[o];
    a[ls] += (mid - l + 1) * lazy[o];
    a[rs] += (r - mid) * lazy[o];
    lazy[o] = 0;
}
void Update(int o, int l, int r, int ql, int qr, int d)
{
    if (l == ql && r == qr)
    {
        a[o] += (r - l + 1) * d;
        lazy[o] += d;
        return;
    }
    pushdown(o, l, r);
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o, rs = 2 * o + 1;
    if (mid >= qr)
        Update(ls, l, mid, ql, qr, d);
    else if (mid < ql)
        Update(rs, mid + 1, r, ql, qr, d);
    else
    {
        Update(ls, l, mid, ql, mid, d);
        Update(rs, mid + 1, r, mid + 1, qr, d);
    }
    a[o] = a[ls] + a[rs];
}
ll Query(int o, int l, int r, int ql, int qr)
{
    if (l == ql && r == qr)
        return a[o];
    pushdown(o, l, r);
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o, rs = 2 * o + 1;
    if (mid >= qr)
        return Query(ls, l, mid, ql, qr);
    else if (mid < ql)
        return Query(rs, mid + 1, r, ql, qr);
    else
    {
        return Query(ls, l, mid, ql, mid) + Query(rs, mid + 1, r, mid + 1, qr);
    }
}
int main()
{
    fast;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> tmp[i];
    }
    build(1, 1, n);
    int opt;
    while (m--)
    {
        cin >> opt;
        if (opt == 1)
        {
            int l, r, d;
            cin >> l >> r >> d;
            Update(1, 1, n, l, r, d);
        }
        else
        {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            cout << Query(1, 1, n, l, r) << '
';
        }
    }
}

洛谷P3373

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define fast ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0)
const int maxn = 1e5 + 10;
int p;
int n, m;
ll tmp[maxn], a[4 * maxn], add[4 * maxn], mul[4 * maxn];
using namespace std;
void build(int o, int l, int r)
{
    if (l == r)
    {
        a[o] = tmp[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o;
    int rs = 2 * o + 1;
    build(ls, l, mid);
    build(rs, mid + 1, r);
    a[o] = a[ls] + a[rs];
}
void pushdown(int o, int l, int r)
{
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o, rs = 2 * o + 1;
    mul[ls] = mul[ls] * mul[o] % p;
    mul[rs] = mul[rs] * mul[o] % p;
    add[ls] = (add[ls] * mul[o] + add[o]) % p;
    add[rs] = (add[rs] * mul[o] + add[o]) % p;
    a[ls] = (a[ls] * mul[o] + add[o] * (mid - l + 1)) % p;
    a[rs] = (a[rs] * mul[o] + add[o] * (r - mid)) % p;
    add[o] = 0;
    mul[o] = 1;
}
void Update_mul(int o, int l, int r, int ql, int qr, int d)
{
    if (l == ql && r == qr)
    {
        a[o] = a[o] * d % p;
        mul[o] = mul[o] * d % p;
        add[o] = add[o] * d % p;
        return;
    }
    pushdown(o, l, r);
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o, rs = 2 * o + 1;
    if (mid >= qr)
        Update_mul(ls, l, mid, ql, qr, d);
    else if (mid < ql)
        Update_mul(rs, mid + 1, r, ql, qr, d);
    else
    {
        Update_mul(ls, l, mid, ql, mid, d);
        Update_mul(rs, mid + 1, r, mid + 1, qr, d);
    }
    a[o] = (a[ls] + a[rs]) % p;
}
void Update_add(int o, int l, int r, int ql, int qr, int d)
{
    if (l == ql && r == qr)
    {
        a[o] += (r - l + 1) * d;
        add[o] += d;
        return;
    }
    pushdown(o, l, r);
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o, rs = 2 * o + 1;
    if (mid >= qr)
        Update_add(ls, l, mid, ql, qr, d);
    else if (mid < ql)
        Update_add(rs, mid + 1, r, ql, qr, d);
    else
    {
        Update_add(ls, l, mid, ql, mid, d);
        Update_add(rs, mid + 1, r, mid + 1, qr, d);
    }
    a[o] = (a[ls] + a[rs]) % p;
}
ll Query(int o, int l, int r, int ql, int qr)
{
    if (l == ql && r == qr)
        return a[o] % p;
    pushdown(o, l, r);
    int mid = (l + r) / 2;
    int ls = 2 * o, rs = 2 * o + 1;
    if (mid >= qr)
        return Query(ls, l, mid, ql, qr) % p;
    else if (mid < ql)
        return Query(rs, mid + 1, r, ql, qr) % p;
    else
    {
        return (Query(ls, l, mid, ql, mid) + Query(rs, mid + 1, r, mid + 1, qr)) % p;
    }
}
int main()
{
    fast;
    cin >> n >> m >> p;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> tmp[i];
    }
    build(1, 1, n);
    for (int i = 1; i <= 4 * n; i++)
    {
        add[i] = 0;
        mul[i] = 1;
    }
    int opt;
    while (m--)
    {
        cin >> opt;
        if (opt == 1)
        {
            int l, r, d;
            cin >> l >> r >> d;
            Update_mul(1, 1, n, l, r, d);
        }
        else if (opt == 2)
        {
            int l, r, d;
            cin >> l >> r >> d;
            Update_add(1, 1, n, l, r, d);
        }
        else
        {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            cout << Query(1, 1, n, l, r) << '
';
        }
    }
}

值得注意的是，需要注意向下传递(lazy)的顺序，以及对结果的影响。