卡方分布

样本均值与样本方差

样本均值：$overline{X}=frac{sum_{i=1}^k X_i}{k}$

样本方差：$Var(X)=frac{sum_{i=1}^k |X_i-overline{X}|}{k}$

正态分布

$f(x|mu,sigma^2)=frac{1}{(2pi)^1/2}exp[-frac{1}{2}(frac{x-mu}{sigma})^2]$ , $mu$为均值，$sigma$为标准差，$mu$决定了中心轴的位置，$sigma$决定了函数的高度。

标准正态函数：

$f(x|0,1)=frac{1}{(2pi)^1/2}exp(-frac{1}{2}x^2)$ 

伽马分布

首先说说伽马分布的由来，伽马分布是基于著名的伽马函数推导而来，过程如下

$Gamma(a)=int_0^infty  {x^{a-1}e^{-x}dx}quadquad ext{伽马函数}$

$Gamma(n)=(n-1)Gamma(n-1)=(n-1)!Gamma(1)$

$Gamma(frac{1}{2})=pi^{frac{1}{2}}$

设$x = mu eta  = varphi (mu )$

根据$x = varphi (mu ),int {f(x)g(x)} dx = int {f circ } varphi (mu )g circ varphi (mu )varphi '(mu )$

得到：$Gamma (a) = {eta ^a}int_0^infty  {{mu ^{a - 1}}{e^{ - mu eta }}dmu } $

所以伽马分布（概率密度函数）为： $f(mu|a,eta)=frac{eta ^a}{Gamma (a)} {mu ^{a - 1}}{e^{ - mu eta }}$

这样，在对 $f(mu|a,eta)$求$int_0^{+infty}$的时候(伽马分布的概率分布函数)，结果永远等于1.

卡方分布

　　公式：$f(x) = frac{1}{{{2^{n/2}}Gamma (n/2)}}{x^{n/2 - 1}}{e^{ - x/2}}$

这是一个自由度为2的卡方分布，其实是一个$Gamma$分布的变形，当$alpha  = 1$ , 并且$eta  = 1/2$的$Gamma$分布。

为什么要叫卡方分布呢？这个公式又跟正态分布有千丝万缕的关系，对于一个随机变量$X$，服从标准正态分布，则$X$的随机变量的平方$Y=X^2$便服从自由度为1的卡方分布，推导过程略去，自由度该如何取值呢？ 如果一个随机变量自由度就是1，如果是$X_1....X_k$自由度就是k了,并且$X_1^2....X_k^2$服从自由度为k的卡方分布。就是正态分布的随机变量的平方就是卡方分布。