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  • 线性代数-方阵的逆阵

    方阵的定义:对于矩阵Amn 当m=n时,A为方阵;

    逆阵定义:对于方阵A,使得AB = I = BA,则BA的逆阵。(I为单位矩阵

    定理:

    A为可逆矩阵,则其逆阵唯一,用符号A-1表示,记作: AA-1 = I = A-1A。

    可逆矩阵为非退化矩阵,不存在逆阵的方阵为退化矩阵。

    • 1、若A可逆则,A-1可逆 且(A-1-1 = A
    • 2、若k为实数且不等于0,则kA也可逆,且 (kA)-1 = k-1A-1
    • 3、若A、B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,(AB)-1 = B-1A-1
    • 4、若A可逆,则A'也可逆,(A')-1 = (A-1)'。

    验证1: 对于任意方阵A

    根据逆阵的定义,存在矩阵B,使得AB = I 有:

     根据矩阵的乘法有:a+2b =1;c+2d = 0;3a+4b = 0,3c+4d = 1; a=-2、b=3/2、c=1、d=-1/2。即:

     则B为A 的逆阵,相同方法计算出B 的逆阵为:

     即(A-1-1 = A。

    验证2:

    对于任意方阵A 和实数k(k不等于0),设k = 2则:

         

    kA的逆阵有:

     k-1A-1为:

     则:(kA)-1 = k-1 A-1

     验证3:

    设:

     

      

      

     

     验证4:

     设:

        

         

    即:(A')-1 = (A-1)'。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/engeng/p/15205047.html
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